【正文】 間關(guān)系如圖．再隨后，只放水不進(jìn)水，水放完為止，則這段時(shí)間內(nèi) (即 x≥ 20)， y 與 x 之間函數(shù)的函數(shù)關(guān)系是 ________． 解析： 設(shè)進(jìn)水速度為 a1 升 /分鐘，出水速度為 a2 升 /分鐘，則由題意得????? 5a1＝ 205a1＋ 15(a1－ a2)＝ 35 ，得 ????? a1＝ 4a2＝ 3 ，則 y＝ 35－ 3(x－ 20)，得 y＝－ 3x＋ 95，又因?yàn)樗磐隇橹?，所以時(shí)間為 x≤ 953 ，又知 x≥ 20，故解析式為 y＝－ 3x＋95(20≤ x≤ 953 )． 答案： y＝－ 3x＋ 95(20≤ x≤ 953 ) 10．函數(shù) f(x)＝ (1－ a2)x2＋ 3(1－ a)x＋ 6. (1)若 f(x)的定義域?yàn)?R，求實(shí)數(shù) a 的取值范圍； (2)若 f(x)的定義域?yàn)?[－ 2,1]，求實(shí)數(shù) a 的值． 解： (1)① 若 1－ a2＝ 0，即 a＝ 177。 高中數(shù)學(xué)（ 2022）第一輪復(fù)習(xí)專題 華南師范附中 第一章 集合 第一節(jié) 集合的含義、表示及基本關(guān)系 A 組 1．已知 A＝ {1,2}， B＝ {x|x∈ A}，則集合 A 與 B 的關(guān)系為 ________． 解析： 由集合 B＝ {x|x∈ A}知， B＝ {1,2}． 答案： A＝ B 2．若 ? {x|x2≤ a， a∈ R}，則實(shí)數(shù) a 的取值范圍是 ________． 解析： 由題意知， x2≤ a 有解，故 a≥ ： a≥ 0 3．已知集合 A＝ {y|y＝ x2－ 2x－ 1， x∈ R}，集合 B＝ {x|－ 2≤ x8}，則集合 A 與B 的關(guān)系是 ________． 解析： y＝ x2－ 2x－ 1＝ (x－ 1)2－ 2≥ － 2， ∴ A＝ {y|y≥ － 2}， ∴ B A. 答案： B A 4． (2022 年高考廣東卷改編 )已知全集 U＝ R，則正確表示集合 M＝ {－ 1,0,1}和 N＝ {x|x2＋ x＝ 0}關(guān)系的韋恩 (Venn)圖是 ________． 解析： 由 N={x|x2+x=0}，得 N={1,0}，則 N ： ② 5． (2022 年蘇、錫、常、鎮(zhèn)四市調(diào)查 )已 知集合 A＝ {x|x5}，集合 B＝ {x|xa}，若命題 “ x∈ A” 是命題 “ x∈ B” 的充分不必要條件，則實(shí)數(shù) a 的取值范圍是________． 解析： 命題 “ x∈ A” 是命題 “ x∈ B” 的充分不必要條件， ∴ A B， ∴ a5. 答案： a5 6． (原創(chuàng)題 )已知 m∈ A， n∈ B，且集合 A＝ {x|x＝ 2a， a∈ Z}， B＝ {x|x＝ 2a＋ 1， a∈ Z}，又 C＝ {x|x＝ 4a＋ 1， a∈ Z}，判斷 m＋ n 屬于哪一個(gè)集合？ 解： ∵ m∈ A， ∴ 設(shè) m＝ 2a1， a1∈ Z，又 ∵ n∈ B， ∴ 設(shè) n＝ 2a2＋ 1， a2∈ Z，∴ m＋ n＝ 2(a1＋ a2)＋ 1，而 a1＋ a2∈ Z， ∴ m＋ n∈ B. B 組 1．設(shè) a， b 都是非零實(shí)數(shù)， y＝ a|a|＋ b|b|＋ ab|ab|可能取的值組成的集合是 ________． 解析： 分四種情況： (1)a0 且 b0； (2)a0 且 b0； (3)a0 且 b0； (4)a0且 b0，討論得 y＝ 3 或 y＝－ ： {3，－ 1} 2．已知集合 A＝ {－ 1,3,2m－ 1}，集合 B＝ {3， m2}．若 B? A，則實(shí)數(shù) m＝ ________. 解析： ∵ B? A，顯然 m2≠ － 1 且 m2≠ 3，故 m2＝ 2m－ 1，即 (m－ 1)2＝ 0， ∴ m＝ ： 1 3．設(shè) P， Q 為兩個(gè)非空實(shí)數(shù)集合，定義集合 P＋ Q＝ {a＋ b|a∈ P， b∈ Q}，若 P＝ {0,2,5}， Q＝ {1,2,6}，則 P＋ Q 中元素的個(gè)數(shù)是 ________個(gè)． 解析： 依次分別取 a＝ 0,2,5； b＝ 1,2,6，并分別求和，注意到集合元素的互異性， ∴ P＋ Q＝ {1,2,6,3,4,8,7,11}． 答案： 8 4．已知集合 M＝ {x|x2＝ 1}，集合 N＝ {x|ax＝ 1}，若 N M，那么 a 的值是 ________． 解析： M＝ {x|x＝ 1 或 x＝－ 1}， N M，所以 N＝ ?時(shí)， a＝ 0；當(dāng) a≠ 0 時(shí)， x＝ 1a＝ 1 或－ 1， ∴ a＝ 1 或－ ： 0,1，－ 1 5．滿足 {1} A? {1,2,3}的集合 A 的個(gè)數(shù)是 ________個(gè)． 解析： A 中一定有元素 1，所以 A 有 {1,2}， {1,3}， {1,2,3}． 答案： 3 6．已知集合 A＝ {x|x＝ a＋ 16， a∈ Z}， B＝ {x|x＝ b2－ 13， b∈ Z}， C＝ {x|x＝ c2＋ 16，c∈ Z}，則 A、 B、 C 之間的關(guān)系是 ________． 解析： 用列舉法尋找規(guī)律． 答案： A B＝ C 7．集合 A＝ {x||x|≤ 4， x∈ R}， B＝ {x|xa}，則 “ A? B” 是 “ a5” 的 ________． 解析： 結(jié)合數(shù)軸若 A? B? a≥ 4，故 “ A? B” 是 “ a5” 的必要但不充分條件． 答案： 必要不充分 條件 8． (2022 年江蘇啟東模擬 )設(shè)集合 M＝ {m|m＝ 2n， n∈ N，且 m500}，則 M 中所有元素的和為 ________． 解析： ∵ 2n500， ∴ n＝ 0,1,2,3,4,5,6,7,8.∴ M 中所有元素的和 S＝ 1＋ 2＋ 22＋ ? ＋ 28＝ ： 511 9． (2022 年高考北京卷 )設(shè) A 是整數(shù)集的一個(gè)非空子集，對(duì)于 k∈ A，如果 k－ 1?A，且 k＋ 1?A，那么稱 k 是 A 的一個(gè) “ 孤立元 ” ． 給定 S＝ {1,2,3,4,5,6,7,8}，由S 的 3 個(gè)元素構(gòu)成的所有集合中，不含 “ 孤立元 ” 的集合共有 ________個(gè)． 解析： 依題可知，由 S 的 3 個(gè)元素構(gòu)成的所有集合中，不含 “ 孤立元 ” ，這三個(gè)元素一定是相連的三個(gè)數(shù)．故這樣的集合共有 6 個(gè)． 答案： 6 10．已知 A＝ {x， xy， lg(xy)}， B＝ {0， |x|， y}，且 A＝ B，試求 x， y 的值． 解： 由 lg(xy)知， xy0，故 x≠ 0， xy≠ 0，于是由 A＝ B 得 lg(xy)＝ 0， xy＝ 1. ∴ A＝ {x,1,0}， B＝ {0， |x|， 1x}． 于是必有 |x|＝ 1， 1x＝ x≠ 1，故 x＝－ 1，從而 y＝－ 1. 11．已知集合 A＝ {x|x2－ 3x－ 10≤ 0}， (1)若 B? A， B＝ {x|m＋ 1≤ x≤ 2m－ 1}，求實(shí)數(shù) m 的取值范圍； (2)若 A? B， B＝ {x|m－ 6≤ x≤ 2m－ 1}，求實(shí)數(shù) m 的取值范圍； (3)若 A＝ B， B＝ {x|m－ 6≤ x≤ 2m－ 1}，求實(shí)數(shù) m 的取值范圍． 解： 由 A＝ {x|x2－ 3x－ 10≤ 0}，得 A＝ {x|－ 2≤ x≤ 5}， (1)∵ B? A， ∴① 若 B＝ ?，則 m＋ 12m－ 1，即 m2，此時(shí)滿足 B? A. ② 若 B≠ ?，則????? m＋ 1≤ 2m－ 1，－ 2≤ m＋ 1，2m－ 1≤ 5.解得 2≤ m≤ 3. 由 ①② 得， m 的取值范圍是 (－ ∞ ， 3]． (2)若 A? B，則依題意應(yīng)有????? 2m－ 1m－ 6，m－ 6≤ － 2，2m－ 1≥ 5.解得????? m－ 5，m≤ 4，m≥ 3.故 3≤ m≤ 4， ∴ m 的取值范圍是 [3,4]． (3)若 A＝ B，則必有????? m－ 6＝－ 2，2m－ 1＝ 5， 解得 m∈ ?.， 即不存在 m 值使得 A＝ B. 12．已知集合 A＝ {x|x2－ 3x＋ 2≤ 0}， B＝ {x|x2－ (a＋ 1)x＋ a≤ 0}． (1)若 A 是 B 的真子集，求 a 的取值范圍； (2)若 B 是 A 的子集，求 a 的取值范圍； (3)若 A＝ B，求 a 的取值范圍． 解： 由 x2－ 3x＋ 2≤ 0，即 (x－ 1)(x－ 2)≤ 0， 得 1≤ x≤ 2，故 A＝ {x|1≤ x≤ 2}， 而集合 B＝ {x|(x－ 1)(x－ a)≤ 0}， (1)若 A 是 B 的真子集，即 A B，則此時(shí) B＝ {x|1≤ x ≤ a}，故 a2. (2)若 B 是 A 的子集，即 B? A，由數(shù)軸可知 1≤ a≤ 2. (3)若 A=B，則必有 a=2 第二節(jié) 集合的基本運(yùn)算 A 組 1． (2022 年高考浙江卷改編 )設(shè) U＝ R， A＝ {x|x0}， B＝ {x|x1}，則 A∩ ?UB＝ ____. 解析： ?UB＝ {x|x≤ 1}， ∴ A∩ ?UB＝ {x|0x≤ 1}． 答案： {x|0x≤ 1} 2． (2022 年高考全國(guó)卷 Ⅰ 改編 )設(shè)集合 A＝ {4,5,7,9}， B＝ {3,4,7,8,9}，全集 U＝A∪ B，則集合 ?U(A∩ B)中的元素共有 ________個(gè)． 解析： A∩ B＝ {4,7,9}， A∪ B＝ {3,4,5,7,8,9}， ?U(A∩ B)＝ {3,5,8}． 答案： 3 3．已知集合 M＝ {0,1,2}， N＝ {x|x＝ 2a， a∈ M}，則集合 M∩ N＝ ________. 解析： 由題意知， N＝ {0,2,4}，故 M∩ N＝ {0,2}． 答案： {0,2} 4． (原創(chuàng)題 )設(shè) A， B 是非空集合，定義 A? B＝ {x|x∈ A∪ B 且 x?A∩ B}，已知 A＝ {x|0≤ x≤ 2}， B＝ {y|y≥ 0}，則 A? B＝ ________. 解析： A∪ B＝ [0，＋ ∞ )， A∩ B＝ [0,2]，所以 A? B＝ (2，＋ ∞ )． 答案： (2，＋ ∞ ) 5． (2022 年高考湖南卷 )某班共 30 人，其中 15 人喜愛(ài)籃球運(yùn)動(dòng)， 10 人喜愛(ài)乒乓球運(yùn)動(dòng)， 8 人對(duì)這兩項(xiàng)運(yùn)動(dòng)都不喜愛(ài)，則喜愛(ài)籃球運(yùn)動(dòng)但不喜愛(ài)乒乓球運(yùn)動(dòng)的人數(shù)為 ________． 解析： 設(shè)兩項(xiàng)運(yùn)動(dòng)都喜歡的人數(shù)為 x，畫(huà)出韋恩圖得 到方程 15x+x+10x+8=30 x=3， ∴ 喜愛(ài)籃球運(yùn)動(dòng)但不喜愛(ài)乒乓球運(yùn)動(dòng)的人數(shù)為 153=12(人 )． 答案： 12 6． (2022 年浙江嘉興質(zhì)檢 )已知集合 A＝ {x|x1}，集合 B＝ {x|m≤ x≤ m＋ 3}． (1)當(dāng) m＝－ 1 時(shí)，求 A∩ B， A∪ B； (2)若 B? A，求 m 的取值范圍． 解： (1)當(dāng) m＝－ 1 時(shí)， B＝ {x|－ 1≤ x≤ 2}， ∴ A∩ B＝ {x|1x≤ 2}， A∪ B＝{x|x≥ － 1}． (2)若 B? A，則 m1，即 m的取值范圍為 (1，＋ ∞ ) B 組 1．若集合 M＝ {x∈ R|－ 3x1}， N＝ {x∈ Z|－ 1≤ x≤ 2}，則 M∩ N＝ ________. 解析： 因?yàn)榧?N＝ {－ 1,0,1,2}，所以 M∩ N＝ {－ 1,0}． 答案： {－ 1,0} 2．已知全集 U＝ {－ 1,0,1,2}，集合 A＝ {－ 1,2}， B＝ {0,2}，則 (?UA)∩ B＝ ________. 解析： ?UA＝ {0,1}，故 (?UA)∩ B＝ {0}． 答案： {0} 3． (2022 年濟(jì)南市高三模擬 )若全集 U＝ R，集合 M＝ {x|－ 2≤ x≤ 2}， N＝ {x|x2－ 3x≤ 0}，則 M∩ (?UN)＝ ________. 解析： 根據(jù)已知得 M∩ (?UN)＝ {x|－ 2≤ x≤ 2}∩ {x|x0 或 x3}＝ {x|－2≤ x0}． 答案： {x|－ 2≤ x0} 4．集合 A＝ {3， log2a}， B＝ {a， b}，若 A∩ B＝ {2}，則 A∪ B＝ ________. 解析： 由 A∩ B＝ {2}得 log2a＝ 2， ∴ a＝ 4，從而 b＝ 2， ∴ A∪ B＝ {2,3,4}． 答案： {2,3,4} 5． (2022 年高考江西卷改編 )已知全集 U＝ A∪ B 中有 m 個(gè)元素， (?UA)∪ (?UB)中有 n 個(gè)元素．若 A∩ B 非空，則 A∩ B 的元素個(gè)數(shù)為 ________． 解析： U＝ A∪ B 中有 m 個(gè)元素， ∵ (?UA)∪ (?UB)＝ ?U(A∩ B)中有 n 個(gè) 元素， ∴ A∩ B 中有m－ n 個(gè)元素． 答案： m－ n 6． (2022 年高考重慶卷 )設(shè) U＝ {n|n 是小于 9 的正整數(shù) }， A＝ {n∈ U|n 是奇數(shù) }， B＝ {n∈ U|n 是 3 的倍數(shù) }，則 ?U(A∪ B)＝ ________. 解析： U＝ {1,2,3,4,5,6,7,8}， A＝ {1,3,5,7}， B＝ {3,6}， ∴ A∪ B＝ {1,3,5,6,7}， 得 ?U(A∪ B)＝ {2,4,8}． 答案