【正文】 ?? 111l n (1 ) l n (1 )23nnuunn ?? ? ? ? ? ??? 1lim lim ln (1 ) 02nnnu n? ? ? ?? ? ?? 所以 ,級數(shù) 111( 1) ln (1 )2nn n? ?? ????是收斂的 四．解： [教師答題時間： 5 分鐘 ][綜合題 ] 解方程 204 7 0xyz x yz y x? ? ??? ? ? ? ??得駐點 (1,2)? 2 , 1, 4xx xy yyz z z? ? ? 2 70AC B? ? ? ? ，且 0A? 所以函數(shù)在 ( 1,2)? 處取得極小值 ( 1,2) 1z ? ?? 五、 [教師答題時間： 5 分鐘 ][綜合題 ] 解：齊次方程為 2 1dy ydx x? ? 齊次方程的通解為 2( 1)y c x?? 用常數(shù)變易法，將 c 變?yōu)?u 即 2( 1)y u x??則 2( 1) 2 ( 1)y u x x u??? ? ? ? 原 方 程 變 為 1ux??? 212u x x c? ? ? ? 所以通解為 221( )( 1)2y x x c x? ? ? ? 六 ： 應用題 [教師答題時間： 5 分鐘 ][綜合題 ] 解： 由已知有 ( 2 )dy k M ydt ?? 通解為 22 ktMy Ce??? 由 , |tk y t???有 02MCy?? 所以人口數(shù)與時間的函數(shù)關系是20()22 ktMMy y e ?? ? ? 2022～ 2022 學年度第 二 學期 高等數(shù)學 12 試卷（ B 卷）標準答 案及評分標準 一、填空題（每題 3分，共 15 分） [三基類 ] [教師答題時間： 5 分鐘 ] １ . 旋轉橢球面； ２ . 1 1 50 2 1x y z? ? ????； ３ . 收斂； ４ . 1 2 2 201( , ) ( , )xxxI d x f x y d y d x f x y d y??? ? ? ?；５ . 120 , ( , )2!nnn xexn?? ? ?? ??? 二、選擇題（每小題 3 分，共 15 分） [三基類 ] [教師答題時間： 5 分鐘 ] 1．（ A）； 2．（ C）； 3．（ A）； 4．（ B）； 5．（ A）． 三、 計算題 [三基類、一般綜合型 ] [教 師答題時間： 26分鐘 ] [一般綜合 ] 解： 令 22( 1 )z x y? ? ?f(x,y,z)= 2 , 2 , 1x y zf x f y f? ? ? ? ? ( 2 , 1 , 4) 4 , ( 2 , 1 , 4) 2 , ( 2 , 1 , 4) 1x y zf f f? ? ? ? ?( 4, 2,1)n? ? ? 是 切 平 面 的 法 向 量 4(x2)2(y1)+(z4)=0 [三基類 ] 解： ( ) ( )( ) 1 ( ) 1x zzzFz y y z y y zx F y z e y z e?? ? ? ?? ? ? ? ??? ? ? ? ? ( ) 1( ) 1yzzFz x y zy F y z e?? ? ?? ? ??? ? ? ( ) ( ) 1( ) 1 ( ) 1zzz z y y z x y zd z d x d y d x d yx y y z e y z e? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ? ? ? [三基類 ] 解： w w x w y w zs x s y s z s? ? ? ? ? ? ?? ? ?2 2 c os 2 si nx t y t t? ? ? 210wsst? ???? 4. [一般綜合 ] 解 ： 題設二次積分的積分區(qū)域為 0,66y y x??? ? ? ? 重新確立積分區(qū)域 D 的積分限 0 , 06x y x?? ? ? ? 于是 6 6 6 60 0 0c o s c o s 1d d d d c o s d 2xyoxxy x x y x xxx? ? ? ?? ? ?? ? ? ? ? 5. [三基類 ] 解： 在極坐標下， ? ?? ?, | 0 2 , 0 2D r r? ? ?? ? ? ? ? 原式 = 2422 2 220 0 0 0( 1 ) 442rrd r r d r d??? ? ???? ? ? ?????? ? ? 6. [一般綜合 ] 解： 設 3!nn nnu n??1113 ( 1 ) ! 3 3l i m l i m l i m 11( 1 ) 3 ! ( 1 )nnnnnn n n nnu nnu n n en???? ? ? ? ? ???? ? ? ? ??? ?， 由比值判別法知級數(shù)13!n nnnn???? 發(fā)散 . 7. [一般綜合 ] 解： 設 310!nnu n?3 3 3131 0 ! 1 0l im l im l im 0 1( 1 ) ! 110nnnn n nnu nu n n??? ? ? ? ? ?? ? ? ? ??? 由比值判別法知級數(shù) 3110!nn n???收斂 ?原級數(shù)絕對收斂 . 四．解： [教 師答題時間： 5 分鐘 ][綜合題 ] 222( 2 2 4 1 ) 0( 2 2 )xxxyf e x y yf e y? ? ? ? ? ??? ???? 駐點為 1(,1)2? 2 2 2 24 ( 2 1 ) , 2 ( 2 2 ) , 2x x xx x x y y yf e x y y f e y f e? ? ? ? ? ? ? 1 1 1( , 1 ) 2 , ( , 1 ) 0 , ( , 1 ) 22 2 2x x x y y yf e f f e? ? ? ? ? ? 2 0, 0AC B A? ? ?具 有 極 小 值, 1) 2e? ??1f(2 五、 [教師答題時間： 5 分鐘 ][綜合題 ] 解： c os c ossi n 2x dx x dxy e x e dx c????? ? ?????? s i n s i n2 s in s inxxe x e d x c? ??? ? ?????? sin2 s in 2 xx ce ?? ? ? 六 ： 應用題 [教師答題時間： 5 分鐘 ][綜合題 ] 解： 由已知有 1 5dydt S??(1) 15dS Sdt ?? (2) 解微分方程 (2)得 5tS Ce?? 由 0| 10tS ? ? 得 , 10C? ,故存貯費用與時間 t 的函數(shù)關系為 510 tSe?? 將上式帶入微分方程 (1),得 51 510 tdy edt ?? 從而 511 52ty e t C? ? ? 由 0|0ty ? ? 得 ,1 12C??.從而銷售成本與時間 t 的函數(shù)關系為 311522ty e t? ? ? 2022～ 2022 學年度第 二 學期 高等數(shù)學 12 試卷（ C 卷）標準答案及評分標準 一、填空題（每題 3分，共 15 分） [三基類 ] [教師答題時間： 5 分鐘 ] １ . 1 ； ２ . ? ?? ?10yydxyxfdy ， ； ３ . 2； ４ . 2 2 2 2 2 2 2 2 2,x y zx y z x y z x y z????? ? ? ? ? ???；５ .02 2 s in s in3n xb nxdx??? ? 二 、選擇題（每小題 3 分，共 15 分） [三基類 ] [教師答題時間： 5 分鐘 ] 1．（ B）； 2．（ D）； 3．（ A）； 4．（ C）； 5．（ A）． 三、 計算題（每題 8分，共 56分） [三基類、一般綜合型 ] [教師答題時間： 26分鐘 ] （ 8分） [一般綜合 ] 解：212 fyfxxz ?????? ，．．．．．．．．．．．．．．．．．． 4分 ? ?2221222112 224 fx y ffyxx y fyx z ????????? ，．．．．．．．．．．．．．．．．．． 4分 （ 8分） [三基類 ] 解： 作極坐標變換 ?? s inc o s ryrx ?? ， ，有 ? ? ? ?? ?2 c os2202232c os si n ...... ...... .....48c os si n c os ...... ...... ...... 43Dx y dx dy d r drd?????? ? ?? ? ? ? ???? ? ?? ? ??? ? ??分分 （ 8 分） [三基類 ] 解：(1 , 0 ) (1 , 0 )( 2 ) 2z xyx? ? ? ?? ．．．．．．．．．．．．．．．．．． 1分 (1 , 0 ) (1 , 0 )( 4 ) 1z yxy? ? ? ? ?? ．．．．．．．．．．．．．．．．．． 1分 切線方向向量 ? ?(1 ,0 )1, 2 (1, 2 )sx? ? ? ? ．．．．．．．．．．．．．．．．． 2 分 得 1cos5??， 2cos5? ?? ．．．．．．．．．．．．．．．．． 2分 有(1,0) 45zl? ?? ．．．．．．．．．．．．．．．．． 2分 4. （ 8分） [一般綜合 ] 解： ? ?( ) l n l n 1 ( 1 )f x x x? ? ? ? 　 ． ． ． ． ． ． ． ． ３ 分 　 　 　 11( 1