【正文】 g chStr = + V[i].charAt(V[i].length() 1)。//把指針 i指向滿足條件的第一個(gè)集合 while(i m){ int ch。 V[i].length() == len)//找與最后一個(gè)初始化的 V[m1]子集內(nèi)元素個(gè)數(shù)相同的集合，把指針 i指向滿足條件的集合 i 。 while(i = 0 amp。 if(m == 0)V[m ++] = 。另，子集使用字符型形式存放的 //我們是按照子集中元素個(gè)數(shù)從小到大逐個(gè)添加的，后面的子集是前面對(duì)應(yīng)子集加上一個(gè)元素組成的，故用遞歸 public void initialV(int m , int len) {//m代表下一個(gè)即將初始化的 V數(shù)組的元素的下標(biāo)； len是最后一個(gè)初始化的元素的長度 if(m (int)(2,N1) 1)return。//為 V分配空間 initialV(0,0)。本城市與本城市間距離也為無窮大。 j ++){ c[i][j] = ()。 i ++) for(int j = 0 。//為 c分配空間 for(int i = 0 。//輸入錯(cuò)誤，結(jié)束！ } (請(qǐng)輸入城市相鄰城市間距離（城市從 0開始編號(hào)，且出發(fā)城市為第 0個(gè)城市?。? )。 if(N = 1){ (不符合要求，請(qǐng)認(rèn)真核對(duì)！ )。 (請(qǐng)輸入城市個(gè)數(shù)： （注意根據(jù)實(shí)際情況城市個(gè)數(shù)不可小于 1！）)。 initialV1()。//用于存放每種選擇下經(jīng)過的城市 static int IFINITE = 99999。//存放迭代結(jié)果 int N。//頂點(diǎn)生成的子集，這里把每一個(gè)子集用一個(gè)字符串表示 int[][] c。 import 。 5. 建議 當(dāng)城市個(gè)數(shù)較少時(shí)，用動(dòng)態(tài)規(guī)劃法求出最優(yōu)解；當(dāng)城市個(gè)數(shù)較多并且各邊的代價(jià)值分布比較均勻時(shí)，貪心法可以給出較好的近似解。另外，程序中有詳細(xì)注釋，程序中變量取名都是根據(jù)變量的性質(zhì)和所代表的含義命名的，也相應(yīng)提高了程序的可讀性。而對(duì)于貪心法，本文很好地避免了這個(gè)問題，一旦城市編號(hào)確定，可以從任意城市出發(fā)，這也是本文中貪心法優(yōu)于動(dòng)態(tài)規(guī)劃法的一點(diǎn)。 另外，動(dòng)態(tài)規(guī)劃法有一個(gè)明顯的缺點(diǎn)，就是出發(fā)城市只能是第 0 個(gè)城市（城市從 0 開始編號(hào)），若出發(fā)城市改變，則必須以該城市為第 0個(gè)城市順序給其他城市編號(hào)，輸入城市間距離。 動(dòng)態(tài)規(guī)劃法相對(duì)貪心法來說雖然要精確些，但代碼相對(duì)繁雜很多，對(duì)時(shí)間和空間要求很多，僅適用于城市數(shù)量較小的情況。 想 貪心法中，由于貪心法相對(duì)動(dòng)態(tài)規(guī)劃法要簡單很多，每次在查找最近城市時(shí)所得的頂點(diǎn)均為最后該法最佳路徑所經(jīng)過的城市編號(hào)，規(guī)模相對(duì)較小，容易確定，操作相對(duì)簡單，所以本文用數(shù)組 V[]存放最佳路徑所經(jīng)過的城市編號(hào)順序相對(duì)來說方便很多。另，在計(jì)算 d[i][j] =min(c[i][k]+d[k][j1])時(shí)，獲得 d[k][j1]的過程比較困難，運(yùn)用字符串后，我們就可以首先找到指定字符，然后去掉該字符，返回剩余字符串，在與V[]逐個(gè)比較，找到與其相等的 V[]中元素對(duì)應(yīng)下標(biāo)，此下標(biāo)即為 j1；具體求解過程可參考附錄源程序，有詳細(xì)說明。因?yàn)楹竺嬖貍€(gè)數(shù)較多的子集與前面比其元素個(gè)數(shù)少 1的子集間有一定對(duì)應(yīng)關(guān)系，所以用遞歸方式，可以簡便很多。 四、 總結(jié) 本文主要重點(diǎn)討論了動(dòng)態(tài)規(guī)劃法和貪心法求解 TSP問題算法，并附錄給出了相應(yīng)程序。對(duì)這 1r 個(gè)孩子結(jié)點(diǎn)分別估算可能取得的目標(biāo)函數(shù)值1()boundx ，其含義是以該孩子結(jié)點(diǎn)為根的子樹所可能取得 的目標(biāo)函數(shù)值不大于 1()boundx ，也就是部分解應(yīng)滿足： 1 1 2 1 2 1 2( ) ( , ) .. . ( , , .. ., ) .. . ( , , .. ., )knb o u n d x b o u n d x x b o u n d x x x b o u n d x x x? ? ? ? ? 本文本欲詳細(xì)討論該算法，但無奈在編程問題中，尚有問題有待解決，時(shí)間所限，不得已放棄。 4. 分支限界法 假設(shè)求解最大化問題，解向量為 12( , ,..., )nX x x x? ，其中， ix 的取值范圍為某個(gè)有窮集合 iS ， | | (1 )iiS r i n? ? ? 。 //從頂點(diǎn) v出發(fā)繼續(xù)求解 時(shí)間復(fù)雜性 2()T On? 但需注意，用最近鄰點(diǎn)貪心策略求解 TSP問題所得的結(jié)果不一定是最優(yōu)解。 V=V{v}。 u=u0。 算法討論 1． P={ }。本文僅重點(diǎn)討論最近鄰點(diǎn)策略及其求解過程。 時(shí)間復(fù)雜性 ： T( ) ( 2 )nn O n?? 和蠻力法相比，動(dòng)態(tài)規(guī)劃法求解 TSP 問題，把原來的時(shí)間復(fù)雜性是 O(n!)的排列問題，轉(zhuǎn)化為組合問題，從而降低了算法的時(shí)間復(fù)雜性，但它仍需要指數(shù)時(shí)間。 d[0][ n12 1]=min(c[0][k]+d[k][m])。 d[i][j]=min(c[i][k]+d[k][m])。 in。 j n12 1。 i++) //初始化第 0列 d[i][0]=c[i][0]。( , ) m i n ( , ) ( )( , ) ( )ikkid i V c d k V k k Vd k c k i? ? ? ??? 算法討論： （ 1） for (i=1。V V i?? ，于是， TSP 問題的動(dòng)態(tài)規(guī)劃函數(shù)為： ? ?? ?? ?39。(, )diV 表示從頂點(diǎn) i出發(fā)經(jīng)過 39。因此 ，我們可以知道用蠻力法求解 TSP問題，只能解決問題規(guī)模很小的實(shí)例。一個(gè) 20 城市的 TSP 問題有大約有60,000,000,000,000,000個(gè)可能解。這是一個(gè)非常大的數(shù)，隨著 n的增長， TSP問題的可能解也在迅速增長。如對(duì)于圖 1，我們求解過程如下： （ 1） 路徑： 12341；路徑長度： 18； （ 2） 路徑： 12431；路徑長度： 11； （ 3） 路徑： 13241；路徑長度： 23； （ 4） 路徑： 13421；路徑長度： 11； （ 5） 路徑： 14231；路徑長度： 18； （ 6） 路徑： 14321；路徑長度： 18； 從中，我們可以知道，路徑（ 2）和（ 4）路徑長度最短。在使用分支限界法搜索問題的解空間樹時(shí)，首先根據(jù)限界函數(shù)估算目標(biāo)函數(shù)的界 [down, up]，然后從根結(jié)點(diǎn)出發(fā)，擴(kuò)展根結(jié)點(diǎn)的 1r 個(gè)孩子結(jié)點(diǎn)，從而構(gòu)成分量 1x 的 1r 種可能的取值方式。大致步驟如下： 1）建立數(shù)學(xué)模型來描述問題； 2）把求解的問題分成若干個(gè)子問題