第八章因子分析-文庫吧資料
2024-09-09 08:36本頁面
【正文】 ) x10： 股本 上述 十 個指標的樣本相關(guān)矩陣列于表 。從圖中容易直接看出旋轉(zhuǎn)后因子的實際意義。使用最大方差旋轉(zhuǎn)法后，因子按順時針方向旋轉(zhuǎn)了 θ=176。 40 表 旋轉(zhuǎn)后的因子載荷估計 變 量 主成分 主因子 極大似然 ： 100米 ： 200米 ： 400米 ： 800米 ： 1500米 ： 5000米 ： 10000米 ： 馬拉松 所解釋的總 方 差 的累計比例 1f2?ih*1x*2x*3x*4x*5x*6x*7x*8x*1f *2f *2f *2f*1f*1f41 ? 三種方法的因子載荷估計經(jīng)因子旋轉(zhuǎn)之后給出了大致相同的結(jié)果， 在因子 上的載荷依次增大，在因子 上的載荷依次減小，可稱 為 耐力因子 ，稱 為 （ 短跑 ） 速度因子 。 ? 正交矩陣 T的不同選取法構(gòu)成了正交旋轉(zhuǎn)的各種不同方法，在這些方法中使用最普遍的是 最大方差旋轉(zhuǎn)法 (varimax)，本節(jié)僅介紹這一種正交旋轉(zhuǎn)法。并且，此時的因子分析也能夠很好地用于對變量的聚類，即可將 p個原始變量清晰地聚成 m個因子所分別對應的 m組變量 。 ? A*A*′=ATT′A′=AA′， 故 因子 正交旋轉(zhuǎn)也不改變殘差矩陣。 p個坐標點a1,a2,?,ap經(jīng)正交旋轉(zhuǎn) 后轉(zhuǎn)換為新坐標 點 ， 顯然這p個點的幾何結(jié)構(gòu)仍保持不變 。 ? 對公共因子作正交旋轉(zhuǎn) f*=T′f的同時，載荷矩陣也相應地變?yōu)?A*=AT。 1。這時可 將 x1,x2,?,xp分成 m個部分 ， 分別 對應 f1,?, fm，這是一種使因子解釋大為簡化的理想情形，稱之為 簡單結(jié)構(gòu) 。 ? 如果 A的所有元素都接近 0或 177。 ? 因子是否易于解釋，很大程度上取決于因子載荷矩陣 A的元素結(jié)構(gòu)。 11? ( ) ( )niiin ??? ? ??Σ x x x x? ?AD和36 表 當 m=2時的極大似然解 變 量 因子載荷 共性方差 f1 f2 ： 100米 ? ： 200米 ? ： 400米 ? ： 800米 ? ： 1500米 ? ： 5000米 ： 10000米 ? ： 馬拉松 ? 所解釋的總 方差 的累計比例 1f2?ih2?ih*1x*2x*3x*4x*5x*6x*7x*8x37 167。 ? 例 在例 ，取 m=2，極大似然法的計算結(jié)果列于表 。 ? 對極大似然解， 各因子所解釋的總方差的比例未必像主成分解及主因子解那樣依次遞減。記 (μ,A,D)的極大似然估計為 ( )，即有 ? 可以證明， ，而 滿足以下方程組 ： ? ??,μ AD? ?? ??( , , ) m a x , ,LL ?μ AD μ AD? ?μ x ? ?AD和 11? ? ? ?? ? ?()? ?? ?dia g( )m??? ?????????Σ D A A I A D AD Σ AA=35 其中 。由樣本 x1,x2,?,xn計算得到的似然函數(shù)是μ和 Σ的函數(shù) L(μ,Σ)。計算得 于是約相關(guān)矩陣為 2ih2 2 2 21 2 3 42 2 2 25 6 7 8? ? ? 77 , 88 , 45 , 84? ? ? 27 , 55 , 67 , 05h h h hh h h h? ? ? ?? ? ? ?* 07 0 ? 00 05 06 ???????????????R????????32 的特征值為 從 起特征值已接近于 0，故取 m=2，相應的計算結(jié)果列于表 。 ? (3)取 ，此時 ， 得到的 是一個主成分解。 2i?2 2 21?? ?1 1 , 1 , 2 , ,mi i ijjh a i p??? ? ? ? ??2?i?30 特殊 (或共性 )方差的常用初始估計方法 ? (1)取 ，其中 rii是 的第 i個對角線元素，此時共性方差的估計為 ，它是 xi和其他 p?1個變量間樣本復相關(guān)系數(shù)的平方，該初始估計方法最為常用 ，但一般要求 滿秩 。又設(shè) 的前 m個特征值依次為 ，相應的正交單位特征向量為 ,則 A的 主因子解 為 2?i? 2i?21 12 12* 21 2 2212??? ? ??ppp p ph r rr h rr r h????? ? ? ??????R R D? ? ? ?2 2 2 2 212 ?? ? ? ? ? ?, di a g , , , 1ij p i irh ? ? ? ?? ? ? ?RD ，2ih*?R* * *12? ? ? 0m? ? ?? ? ? ?* * *12? ? ?, , , mt t t ? ?* * * * * *1 1 2 2? ? ? ?? ? ?, , , mm? ? ??A t t t29 由此我們可以重新估計特殊方差， 的最終估計為 ? 如果我們希望求得擬合程度更好的解，則可以采用迭代的方法，即利用 上 式中的 再作為特殊方差的初始估計，重復上述步驟，直至解穩(wěn)定為止。 ? R*中的對角線元素是 ，而不是 1，非對角線元素和 R中是完全一樣的，并且 R*也是一個非負定矩陣。 *1 1 2 1*2 1 2 2*3 1 2 3*4 1 2 4*5 1 2 5*6 1 2 6*7 1 2 7100 17 3100 67 32400 15 33800 49 12150 0 59 3100 38 92100 00 44 87x f fx f fx f fx f fx f fx f fx f f???????? ? ?? ? ?? ? ?? ? ?? ? ?? ? ?? ? ?（ 米 ）（ 2 米 ）（ 米 ）（ 米 ）（ 米 ）（ 50 米 ）（ 米 ）*8 1 2 8 80 11x f f ????????????? ? ? ?? （ 馬 拉 松 ）27 二、主因子法 ? 假定原始向量 x的各分量已作了標準化變換。
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