【正文】 矩形ABCD的三個頂點B（1, 0）、C（3, 0）、D（3, 4）．以A為頂點的拋物線y＝ax2＋bx＋c過點C．動點P從點A出發(fā)，以每秒個單位的速度沿線段AD向點D運動，運動時間為t秒．過點P作PE⊥x軸交拋物線于點M，交AC于點N． （1）直接寫出點A的坐標，并求出拋物線的解析式；（2）當t為何值時，△ACM的面積最大？最大值為多少？（3）點Q從點C出發(fā)，以每秒1個單位的速度沿線段CD向點D運動，當t為何值時，在線段PE上存在點H，使以C、Q、N、H為頂點的四邊形為菱形？【答案】（1）A（1，4）；y＝－x2＋2x＋3；（2）當t＝２時，△AＭC面積的最大值為1；（3）或．【解析】（1）由矩形的性質(zhì)得到點A的坐標，由拋物線的頂點為A，設拋物線的解析式為y＝a（x－1）2＋4，把點C的坐標代入即可求得a的值；（2）由點P的坐標以及拋物線解析式得到點M的坐標，由A、C的坐標得到直線AC的解析式，進而得到點N的坐標，即可用關于t的式子表示MN，然后根據(jù)△ACM的面積是△AMN和△CMN的面積和列出用t表示的△ACM的面積，利用二次函數(shù)的性質(zhì)即可得到當t＝２時，△AＭC面積的最大值為1；（3）①當點Ｈ在Ｎ點上方時，由PＮ＝CQ，PN∥CQ，得到四邊形PNCQ為平行四邊形，所以當PQ＝CQ時，四邊形FECQ為菱形，據(jù)此得到，解得t值；②當點Ｈ在Ｎ點下方時，NH=CQ=，NQ＝CQ時，四邊形NHCQ為菱形，NQ2＝CQ2，得：，解得t值．解：（1）由矩形的性質(zhì)可得點A（1，4），∵拋物線的頂點為A，設拋物線的解析式為y＝a（x－1）2＋4，代入點C（3, 0），可得a＝－1．∴y＝－（x－1）2＋4＝－x2＋2x＋3．（2）∵P（，４），將代入拋物線的解析式，y＝－（x－1）2＋4＝，∴M（，），設直線AC的解析式為，將A（１,４），C（３,０）代入，得：，將代入得，∴N（，），∴MN ，∴，∴當t＝２時，△AＭC面積的最大值為1．（3）①如圖１，當點Ｈ在Ｎ點上方時，∵Ｎ（，），P（，４），∴PＮ＝４—（）＝＝CQ，又∵PN∥CQ，∴四邊形PNCQ為平行四邊形，∴當PQ＝CQ時，四邊形FECQ為菱形，PQ2＝PD2+DQ2 ＝，∴，整理，得．解得，（舍去）；②如圖２當點Ｈ在Ｎ點下方時，NH=CQ=，NQ＝CQ時，四邊形NHCQ為菱形，NQ2＝CQ2，得：．整理，得．．所以，（舍去）．“點睛”此題主要考查二次函數(shù)的綜合問題，會用頂點式求拋物線，會用兩點法求直線解析式，會設點并表示三角形的面積，熟悉矩形和菱形的性質(zhì)是解題的關鍵.6．已知，點為二次函數(shù)圖象的頂點，直線分別交軸正半軸，軸于點.（1）如圖1，若二次函數(shù)圖象也經(jīng)過點，試求出該二次函數(shù)解析式，并求出的值.（2）如圖2，點坐標為，點在內(nèi)，若點，都在二次函數(shù)圖象上，試比較與的大小.【答案】（1）,；（2）①當時，；②當時，；③當時，【解析】【分析】（1）根據(jù)一次函數(shù)表達式求出B點坐標，然后根據(jù)B點在拋物線上，求出b值，從而得到二次函數(shù)表達式，再根據(jù)二次函數(shù)表達式求出A點的坐標，最后代入一次函數(shù)求出m值.（2）根據(jù)解方程組，可得頂點M的縱坐標的范圍，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)，可得答案．【詳解】（1）如圖1，∵直線與軸交于點為，∴點坐標為又∵在拋物線上，∴，解得∴二次函數(shù)的表達式為∴當時，得，∴代入得，∴（2）如圖2，根據(jù)題意，拋物線的頂點為，即點始終在直線上，∵直線與直線交于點，與軸交于點，而直線表達式為解方程組，得∴點，∵點在內(nèi)，∴當點關于拋物線對稱軸（直線）對稱時，∴且二次函數(shù)圖象的開口向下，頂點在直線上綜上：①當時，；②當時，；③當時，.【點睛】本題考查二次函數(shù)與一次函數(shù)的綜合應用，難度系數(shù)大同學們需要認真分析即可.7．如圖，在平面直角坐標系中有拋物線y＝a（x﹣2）2﹣2和y＝a（x﹣h）2，拋物線y＝a（x﹣2）2﹣2經(jīng)過原點，與x軸正半軸交于點A，與其對稱軸交于點B；點P是拋物線y＝a（x﹣2）2﹣2上一動點，且點P在x軸下方，過點P作x軸的垂線交拋物線y＝a（x﹣h）2于點D，過點D作PD的垂線交拋物線y＝a（x﹣h）2于點D′（不與點D重合），連接PD′，設點P的橫坐標為m：（1）①直接寫出a的值；②直接寫出拋物線y＝a（x﹣2）2﹣2的函數(shù)表達式的一般式；（2）當拋物線y＝a（x﹣h）2經(jīng)過原點時，設△PDD′與△OAB重疊部分圖形周長為L：①求的值；②直接寫出L與m之間的函數(shù)關系式；（3）當h為何值時，存在點P，使以點O、A、D、D′為頂點的四邊形是菱形？直接寫出h的值．【答案】（1）①；②y＝﹣2x；（2）①1；②L＝；（3）h＝177。PN=MN，如圖4，∴MN=PN=3e+3，N（4e+3，3e+3），解得：e=?，∴t=AP=OA+OP=1+4e+3=，綜上所述，存在以P，M，N為頂點的三角形為等腰直角三角形，t的值為或或．【點睛】本題考查了待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，坐標系中三角形面積計算，等腰直角三角形的性質(zhì)，解一元二次方程，考查了分類討論和方程思想．第（3）題根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)找到相關線段長的關系是解題關鍵，靈活運用因式分解法解一元二次方程能簡便運算．2．已知二次函數(shù)的圖象以A（﹣1，4）為頂點，且過點B（2，﹣5）（1）求該函數(shù)的關系式；（2）求該函數(shù)圖象與坐標軸的交點坐標；（3）將該函數(shù)圖象向右平移，當圖象經(jīng)過原點時，A、B兩點隨圖象移至A′、B′，求△O A′B′的面積．【答案】（1）y=﹣x2﹣2x+3；（2）拋物線與x軸的交點為：（﹣3，0），（1，0）（3）15.【解析】【分析】（1）已知了拋物線的頂點坐標，可用頂點式設該二次函數(shù)的解析式，然后將B點坐標代入，即可求出二次函數(shù)的解析式；（2）根據(jù)函數(shù)解析式，令x=0，可求得拋物線與y軸的交點坐標；令y=0，可求得拋物線與x軸交點坐標；（3）由（2）可知：拋物線與x軸的交點分別在原點兩側，由此可求出當拋物線與x軸負半軸的交點平移到原點時，拋物線平移的單位，由此可求出A′、B′的坐標．由于△OA′B′不規(guī)則，可用面積割補法求出△OA′B′的面積．【詳解】（1）設拋物線頂點式y(tǒng)=a（x+1）2+4，將B（2，﹣5）代入得：a=﹣1，∴該函數(shù)的解析式為：y=﹣（x+1）2+4=﹣x2﹣2x+3；（2）令x=0，得y=3，因此拋物線與y軸的交點為：（0，3），令y=0，﹣x2﹣2x+3=0，解得：x1=﹣3，x2=1，即拋物線與x軸的交點為：（﹣3，0），（1，0）；（3）設拋物線與x軸的交點為M、N（M在N的左側），由（2）知：M（﹣3，0），N（1，0），當函數(shù)圖象向右平移經(jīng)過原點時，M與O重合，因此拋物線向右平移了3個單位，故A39?！郙Q=PQ=PR=NR=3e+3，∴xN=xM+3e+3+