【正文】 【參考文獻】[1] ——“正切和余切”教學實錄[J].中學數(shù)學雜志（初中），2005,(1).^。“怎樣的數(shù)學課才算好課”和“怎樣才能上好數(shù)學課”是兩個異常艱難而且敏感的話題，就連全國性優(yōu)秀課評比活動中，由教研專家、特級教師組成的評委團也往往難于就評課的標準達成共識，甚至對同一堂課的評價大相徑庭，爭論激烈。以已知為基礎，以問題串為骨架，以活動為紐帶，以訓練為主線，以思維為武器，以知識為收獲，以方法為支撐，以思想為靈魂，以能力為歸宿，以“玩”為追求，以道理為媒介，以學生為主體，以教師為主導。；正是讓學生自己編題，才有了本節(jié)課問題的繁榮和開放。+tan45176。的值。,cot45176。,tan60176。小組2：求tan30176。例如，在正切和余切的教學中，在引出正切、余切的定義和符號表示和tanAcotA=1后，一改以往“教師出題，學生做”的傳統(tǒng)做法，而是讓學生仿照“正弦和余弦”一節(jié)中的問題，自己編題，最好能設計出創(chuàng)新性的問題。這樣不僅能極大地調(diào)動學生的積極性、求知欲，和敢于、善于提出問題的能力，而且學生要編題，那么他們就要綜合各方面的知識進行創(chuàng)造性的思考，就能掌握數(shù)學題的結構，破除教師命題的神秘感，從而真正提高學生的解題能力，還能使課堂上的問題更加豐富多彩。(3)讓學生編題讓學生編題是指在學生對知識、問題有較深透的理解的基礎上，自己模仿或創(chuàng)造性的編擬數(shù)學題，供全班同學研究和解答。將開放式的教學模式引入數(shù)學教學，給我們的學生創(chuàng)造一個發(fā)揮個性潛能的“生態(tài)空間”，讓我們的學生在數(shù)學圈里也能如水中魚，空中鳥，表現(xiàn)的那樣灑脫和多姿多彩，那樣的自由和奔放。開放，一方面是指課堂教學形式上的開放性，變“一言堂”為“群言堂”，最重要的當然是思想上的開放和自由；另一方面是指課堂教學中設計的問題要具有開放性，具體點講：只給出問題的條件要求解題者自行探索，可以獲得各種結論；或只給出問題的結論，要求解題者自行研究結論成立應具備的條件；或者對已給條件作出某種增刪，要求解題者自行歸結出原先給定的結論和相應變化；對已給的結論作出某種改變，要求解題者自行推斷原先給定的條件的相應變化；對條件、結論完整的題目改造成“給出條件，先猜結論（或結論為疑問性，或自定解題目標），再進行求解或證明”的形式，等等。(2)開放自從上世紀七十年代日本數(shù)學教育家島田茂等提出“開放性問題”以來，在國際數(shù)學教育界引起了廣泛的關注，數(shù)學開放題已成為世界性的數(shù)學教育熱點，開放式的教學模式是世界性的數(shù)學教學新的發(fā)展趨勢。A)②”等等?！保ǘx的變式）教師稍加引導，學生即得出了結論：“在圖1中，tanA=cotB，cotA=tanB.”進而得出了結論：“tanA=cot(90176。變式訓練是指教師通過對概念、圖形背景、題目的條件或結論、題目的形式等進行多角度、全方位的變化、引申，編制形式多樣（最好是具有探索性、開放性）的問題，讓學生討論、交流、解答，以加深學生對數(shù)學知識的理解，提高解題能力，增強創(chuàng)新意識。是對“合上書的策略”的有效補充和提升，是對學習真實性的保障?？梢哉f是換又沒有換，我們稱為換一個的策略。(2)換一個的策略所謂“換一個的策略”是指，課堂教學中，教師盡量不要照搬教材上的原例題。因為，人人都有惰性，一旦要求抽象概括概念、歸納探索公式、定理、法則，尋求解題思路等，若可以從書上直接獲得，則就會不僅懶于動手，而且懶于動腦。對此，我們不應當作出積極的反思和調(diào)整嗎？(1)合上書的策略所謂“合上書的策略”是指，課堂教學中，師生思考問題和分析問題時，要求學生合上書本。他除了肯定了剛才這位同學外，又面對全班學生說：請同學們推薦一位同學，再來朗讀一遍這篇課文好嗎？結果推薦的這位同學不負眾望，朗誦的不僅朗朗上口，而且聲情并茂。讀的是面紅耳赤、嗑嗑巴巴，學生和聽課的教師都為這位教師捏著一把汗，這位學生終于“讀”完了。這就不僅需要教師要有深厚的、寬廣的專業(yè)知識作保證，而且要有一定的教學機智。所以，我們主張：教師不僅會“通法”，而且要會“巧法”。解題水平高的教師，面對學生提出的問題，總是信心十足，敢于現(xiàn)場給予解答，師生共同經(jīng)歷如何思考、如何修正錯誤思路、如何找到正確思路的探索過程，長此以往，不僅樹立了教師的權威，而且重要的是學生學會了怎樣解題。若一位教師，面對學生提出的問題，總是不能現(xiàn)場解答，而是過后才講給學生，那么就會在學生中威信掃地，教師沒了權威，教學效果可想而知。例如，在正切和余切的教學中，就是按照“復習舊知→讓學生變換觀察角度，關注還未研究的有哪些問題→讓學生提出問題→引出新知→通過類比‘正弦、余弦’自得‘正切、余切’的定義和符號表示→觀察得新結論→讓學生類比‘正弦、余弦’一節(jié)，自己編題”的思路、線索展開的。一組目的明確、富有情趣、具有層次性、符合邏輯性、富含挑戰(zhàn)性和探究性、蘊含數(shù)學思考價值、環(huán)環(huán)相扣的問題串，可以使一節(jié)數(shù)學課，在不斷的激發(fā)學生的學習興趣和探索欲望，促進學生深入的數(shù)學思考的氛圍中，使課堂教學連續(xù)不斷地從一個高潮到另一個高潮。任意銳角的正切值等于它的余角的余切值，任意銳角的余切值等于它的余角的正切值。即∠B=90176。師：觀察⑦，⑧，⑨，⑩四式，同學們有無新的發(fā)現(xiàn)？生7：在圖1中，tanA=cotB,cotA=tanB。意在教會學生首先能用類比的方法設計問題，進而訓練和培養(yǎng)學生提出問題的能力）小組1：在圖1中，寫出∠B的正切和余切。師：觀察上述兩式，同學們有何發(fā)現(xiàn)？后，如下，仍像是在“玩”和在師：你們發(fā)現(xiàn)了一個同角三角函數(shù)關系式，很了不起?。∠旅嫱瑢W們分小組試著設計幾個問題，讓大家共同思考。“數(shù)學是‘玩’出來的”中的“玩”不僅有“變式、變換、類比、猜想、探索、推廣、應用”的含義，而且要環(huán)環(huán)相扣，使數(shù)學學習變成一系列的“智力游戲”?！边@說明數(shù)學學習不應當是枯燥乏味的、晦澀難懂的，而應當是通過積極的智力參與，從變化數(shù)學知識的形式、內(nèi)容出發(fā)，在“玩”中學習數(shù)學、理解數(shù)學、研究數(shù)學、做數(shù)學、發(fā)現(xiàn)數(shù)學。英國哲學家羅素說：“數(shù)學就是推理，就是由一些假設經(jīng)過推理得到新的結論。希爾伯特(D。即讓學生借助于原有的知識和經(jīng)驗在數(shù)學的“未知世界”中進行自主、積極地探索，從而有所發(fā)現(xiàn)。這樣學生自己就會想到，直線a與直線b垂直應記為“a⊥b”；到后面再學習三角形時，學生自然會想到，三角形ABC應記為△ABC；平行四邊形ABCD應記為“”，圓O要用⊙O來表示等等。再例如，有一類符號是一種象形符號，教學時也可以講道理。這樣不也就講了道理了嗎？又例如，有一類符號是取自某種語言中相關詞的第一個字母，教學時也可以講道理。使教師的“對手”，也是教學相長的助手不斷壯大）師：好！這樣，∠A的正切，記做tanA；∠A的余切，記做cotA。例如，在正切和余切的教學中，在引進了正切和余切的概念之后，接下來需要引進正切和余切的符號表示，這時，進行了以下教學設計：師：同學們都知道，∠A的正弦和余弦均是用數(shù)學符號來表示的，且分別是用“正弦和余弦”的英文“sine和cosine”中的前三個字母來表示的，那么，同學們認為LA的“正切和余切”應當分別用什么符號來表示呢？（可以查漢英詞典）生4：因為，“正切和余切”的英文分別是“tangent和cotangent”，所以，猜測“正切和余切”應當分別用符號“tan和cot”來表示。要把印在書上的數(shù)學知識轉(zhuǎn)化為學生容易接受的教育形態(tài)”。生3：如圖1，我們把∠A的對邊與鄰邊的比叫做∠A的正切；把∠A的鄰邊與對邊的比叫做∠A的余切。Ⅳ。這也就是我們今天要學習的內(nèi)容。這充分說明，不是學生提不出問題，而是教師沒有給學生創(chuàng)造提出問題的情境和機會。（學生從圖1中發(fā)現(xiàn)不僅可以組成①和②這兩個比，還可以得到其他一些比。它不僅自然，而且滲透了提出問題的方法，培養(yǎng)了學生提出問題的能力。圖1Ⅱ.借助舊知，提出問題師：好！看著圖1，你們學習了的正弦和余弦之后，有無疑問需要提出來讓同學們思考？（可以適當啟發(fā)：或者說除了以上兩種三角函數(shù)（兩種