【正文】 2. 綜合成績分數(shù)換算成“ 優(yōu)秀、良好、中等、及格、不及格”五級制（優(yōu)秀 ： 100≥ X≥ 90；良好： 90X≥ 80；中等：80X≥ 70；及格： 70X≥ 60；不及格： X60），按等級來填寫。 參考文獻 [1] 茆詩松，程依明，濮曉龍 .概率論與數(shù)理統(tǒng)計教程 .2版 .北京：高等教育出版社， ：106107. [2] 邵丹 . 正態(tài)分布與參考值范圍 [EB/OL]. [2021131]. [3] 馬 淑 英 . NORMSDIST() 函 數(shù) 計 算 標 準 正 態(tài) 分 布 函 數(shù) 值 [EB/OL]. [2021421]. [4] 茆詩松，程依明，濮曉龍 .概率論與數(shù)理統(tǒng)計教程 .2版 .北京：高等教育出版社， ：106107. [5] 茆詩松，程 依明，濮曉龍 .概率論與數(shù)理統(tǒng)計教程 .2版 .北京：高等教育出版社， ：106107. [6] 茆詩松，程依明，濮曉龍 .概率論與數(shù)理統(tǒng)計教程 .2版 .北 京：高等教育出版社， ：106107. [7] 全國十二所重點師范大學(xué)聯(lián)合編寫 .2 版 .北京：教育科學(xué)出版社， 2021,12： 308. [8] 鄒啟文 . 概 率 統(tǒng) 計 理 論 在 教 育 評 價 中 的 應(yīng) 用 [EB/OL]. [20211224]. [9] 張純 . 聚焦普通高中學(xué)業(yè)水平考試 [EB/OL]. [202148]. [10] 田 華 .論正態(tài)分布在教育評價中的應(yīng)用 [EB/OL]. [2021225]. 5973403. 黃山學(xué)院 本科畢業(yè)論文 (設(shè)計 )任務(wù)書 題 目 正態(tài)分布及其在教育評價中的應(yīng)用 一、課題的內(nèi)容和任務(wù)要求 二、進度安排（ 起止時間： 年 月 日 ～ 年 月 日 ） 三、主要參考資料 學(xué)生簽名： 指導(dǎo)教師簽名： 院系領(lǐng)導(dǎo)簽名 ： 1 黃山學(xué)院 本科畢業(yè)論文 (設(shè)計 )開題報告 題目 題目性質(zhì) 社會實踐中完成 □基礎(chǔ)理論研究 □文獻 綜述型 □其它 □實驗 □實習(xí) □工程實踐 □社會調(diào)查 一、選題依據(jù)和目標 （該研究的目的、意義、國內(nèi)外研究現(xiàn)狀及發(fā)展趨勢） （請注明實驗、實習(xí)、工程實踐、社會調(diào)查等）；基礎(chǔ)理論研究；文獻綜述；其它。因為這是 求某一分數(shù)段的概率問題，所以我們首先將原始分數(shù)轉(zhuǎn)化為標準分數(shù)，即 Z 分數(shù)， 70 7 0 8 5 2 .56Z ?? ? ? 80 8 0 8 5 0 .8 36Z ?? ? ? 再求 到 之 間 的 概 率 ， 通 過 查 標 準 正 態(tài) 分 布 函 數(shù) 表 可 得( 2. 5 ) 0. 29 67 , ( 0. 83 ) 0. 49 38P Z P Z? ? ? ? ? ?，所以分數(shù)在 70 分到 80 分之間的概率 為P==，即分數(shù)在該分數(shù)段的學(xué)生約為 300 ≈ 59 人。 利用正態(tài)分布的理論可以根據(jù)等級求出各個等級的人數(shù)，同時還 可以估計某個分數(shù)區(qū)間的人數(shù)。 例如，某學(xué)校高一年級總共有 1000 名學(xué)生，在期 中考試中，其英語成績剛好符合正態(tài)分布，現(xiàn)在學(xué)校要將學(xué)生的英語成績分成優(yōu)、良、中、差四個等級，那么每個等級應(yīng)該設(shè)定多少學(xué)生？像這樣的問題就可以利用上面的方法來確定，將 Z 為 3到 3 分成四個等份，因為在 3 到 3 以外的為小概率事件。然而正態(tài)分布在確定每個等級的人數(shù)中又起著很重要的作用。 [9]學(xué)生的成績就實行了等級計分，分為 A、 B、 C、 D 四個等級。 18 例如 ,某市先設(shè)定初中一年級的優(yōu)生率為 20%，在期末考試中，語文、數(shù)學(xué)、英語的平均成績分別是 82 分、 85 分、 84 分，它們的標準差分別是 1 1 ，那么語文、數(shù)學(xué)和英語各科的優(yōu)生分數(shù)線就可以利用前面的公式求出來，優(yōu)生分數(shù)線分別為： 0. 5 0. 2 0. 3P? ? ?,查標準正態(tài)分布表可得， Z=， = 0 .8 5 1 2 + 8 2 = 9 2 .2X ?語 ， = 0. 85 13 + 85 = 96 .0 5X ?數(shù) ， = 0. 85 11 .5 + 84 = 93 .8X ?英 這將比事先擬定的優(yōu)生分數(shù)線更能服眾 ,才不會被老師們所反對，可見，正態(tài)分布在確定分數(shù)線中的作用是很大的。利用正態(tài)分布的理論來解決這個問題，就會輕松、合理許多。有很多教育管理部門直接擬定一個分數(shù)線，然后按照這個分數(shù)線去評定優(yōu)秀生，這樣做其實很不科學(xué)，也被很多教師所反對。 同樣，用這種方法還可以確定各個年級以及各個學(xué)科的優(yōu)生分數(shù)線，無論對哪個學(xué)?；蛘吣膫€年級來說，其中都會有一部分優(yōu)秀生。查表 690 分對應(yīng)的比例為 %， 如果這位考 生為 前年某 省理工類考生， 前年 理工類考生數(shù)為 9786 人， 那么 他超過 9505 人，比他分數(shù)高的考生 大概 281 人 ，其 算法 如下 ： 9786()。 其 標準分數(shù)的平均分為 500，標準差為 100，每 個 常模轉(zhuǎn)換分數(shù)都與 相應(yīng) 分數(shù)以下的考生數(shù)和 考生 總數(shù) 的 比例有 一 定的對應(yīng)關(guān)系。因為這之間有中考和高考，而中考和高考都是按照一定的比例來錄取的，而錄取分數(shù)線的確定就需要科學(xué)、合理，這樣才公平、公正。如果評價對象在入口或者出口上存在較大的差異，則還可以分別計算各自入口或出口的標準分數(shù)，再用它們的標準分數(shù)之差來進行比較，就更能對教學(xué)效果做出更 加 科學(xué)、公正、客觀的評價。 17 由于三位老師所教的學(xué)科不同，只是從原始分數(shù)的角度是沒有辦法進行直接比較的，所以應(yīng)該從具有等距意義的標準分數(shù)比較，評價的結(jié)果卻截然不同，語文老師的教學(xué)效果則是最好的。 13 60ZZ?? 英語 乙 84 89 數(shù)學(xué) 丙 86 90 人們看到上面的表格，習(xí)慣上會認為數(shù)學(xué)教師的教學(xué)效果最好，因為從班上的平均分去看，數(shù)學(xué)考試的分數(shù)最高。 例如，現(xiàn)在要評價某個學(xué)校初二年級語文、英語、數(shù)學(xué)三位教師在上學(xué)期的教學(xué)效果，給出 表 的相關(guān)數(shù)據(jù)如下： 表 科目 教師 X縣 X班 S Z 39。ZZ????,其中， 39。標準分數(shù)準確地刻畫了一個分數(shù)在一批分數(shù)中的相對位置，但是，由于標準分數(shù)有負值，并且有時會帶有小數(shù)的，就不容易被人們理解和應(yīng)用，因此人們在標準分數(shù)的基礎(chǔ)上進一步轉(zhuǎn)換，從而便發(fā)展起了一系列其他形式的標準分。當某個原始分數(shù)等于平均分時，標準分數(shù)就等于 0，即 Z=0；當原始分數(shù)大于標準分數(shù)時，標準分數(shù)為正值，即 Z＞ 0；當原始分數(shù)小于標準分數(shù) 時平均分時，標準分數(shù)為負值，即 Z＜ 0。 [8]然而， 在統(tǒng)計學(xué)中又稱標準分數(shù)為 “Z 分數(shù) ”，它是原始分數(shù)與總體平均數(shù)的差，再除以總體的標準差所得的商，其求法去下： XXZ S?? ,其中 X 為原始分數(shù)， S 為總體的標準差， X 為總體的平均數(shù)。為了使評定更具客觀性、科學(xué)性，只有將這些非標準化的計分轉(zhuǎn)化為標準化的計分，然后再進行分析比較。 在實際的教學(xué)中，如果只是單一的依靠所測定的原始分數(shù)來進行分析比較，比如，總分數(shù)、平均分等，這就存在著很大的不科學(xué)性，是不可取的。在 大多數(shù)的教育統(tǒng)計中，都將考試的原始分數(shù)進行轉(zhuǎn)換，轉(zhuǎn)換成標準分數(shù) ， 只有這樣才能使教學(xué)評價更為公平、公正、客觀。對于那些不同考試成績的原始分數(shù)就不能用原始的代數(shù)方法來處理了，也不能進行相互比較，因為它們的基準不同， 所有 就失去了可比性。 在我統(tǒng)計的分數(shù)中，也會 出現(xiàn) 原始分數(shù)不服從正態(tài)分布的，原因有 很 多種，可能由于考試試題特別難或者特別容易，也可能是因為考試的人數(shù)較少，還有可能是由于考紀偏松或者為了片面追求某種達標的目的等等，這些因素都 有可 能造成考試成績的原始分數(shù)呈偏態(tài)分布。在大多數(shù)的考試中， 都會有 幾個同學(xué)得滿分，二三十分的也總會有幾個人，而大多數(shù)人的分數(shù)都在 八十分左右。但如果考試人數(shù)很少時，或者考題偏難或偏于容易，成績就會出現(xiàn)偏態(tài)分布。因此，對考試成績做出定量分析是一項非常必要的工作。 比如學(xué)生的能力，學(xué)生的考試成績，比較學(xué)生以及老師的相對位置，評定等級人數(shù)的確定，考試錄取分數(shù)線的確定 等等。 [7]它是教育部門評定學(xué)校工作的一個重要手段。 [6] ~ (1, )iX b p ， iEX p? ， (1 )iDX p p??，1nniiSX???, 且 12, nX X X 獨立同分布，根據(jù)林德伯格 萊 維 中 心 極 限 定 理 可 知 ， 設(shè) ~ ( , )nS b n p ， n?? 時，~ ( , ( 1 ) )nS N np np p?。由該定理可知，設(shè) ? ?nX 獨立同分布，方差存在，不管原來的分布是什么，只要當 n 充分大，就可以用正態(tài)分布去逼近隨機變量和的分布。 [4] 當 n?? 時， * 1 ~ ( 0 , 1 )niinXnYNn????? ? ，其中1()niiE X n?? ??， 21()niiD X n?? ??，可知 21 ~ ( , )nii X N n n????。正態(tài)分布的“ 3? 原則”在實際工作中有著廣泛的應(yīng)用，比如工業(yè)生產(chǎn)上的控制圖、質(zhì)量管理、質(zhì)量控制等等。 解： ( ) ( ) ( ) 2 ( ) 1P X k k k k??? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 當 k =1 時， ( ) 0. 68 26P X k??? ? ? 當 k =2 時， ( ) 0. 95 45P X k??? ? ? 當 k =3 時，