【正文】 對(duì)于一個(gè) 2N 點(diǎn)實(shí)序列 a(n)，其中 0≤n≤2N1，要計(jì)算的 2N 點(diǎn)傅里葉變換 Xa(m)。這使用這 種方法，在組合輸入和拆散輸出的操作中， FFT 運(yùn)算量減半，這樣利用實(shí)數(shù) FFT 18 哈爾濱工業(yè)大學(xué)工學(xué)碩士學(xué)位論文 算法來計(jì)算實(shí)輸入序列的 DFT 的速度幾乎是一般復(fù) FFT 算法的兩倍。如不采取 特殊措施，往往是把 x(n)視為一個(gè)虛部為零 的復(fù)序列，這樣會(huì)增加運(yùn)算量。 實(shí)序列 FFT 的高效算法 在發(fā)現(xiàn)了 FFT 結(jié)果的線性和奇偶對(duì)稱性之后，人們認(rèn)識(shí)到兩個(gè) N 點(diǎn)實(shí)序列 的 FFT 可以使用一個(gè) N 點(diǎn)的復(fù)序列的 FFT 來實(shí)現(xiàn)，并提出了使用 N 點(diǎn)復(fù)序列 的 FFT 求取 2N 點(diǎn)的實(shí)序列 FFT 的方法。 r WN 因子的確定 對(duì)于第 m 級(jí)運(yùn)算，一個(gè) DFT 蝶形運(yùn)算的兩節(jié)點(diǎn) “ 距離 ” 2m1，為因而式 (38) 可以寫成： r ??X m (k ) ??X m ?1 (k ) ??X m ?1 (k ??2 m?1 )WN ?m ?1m ?1r??X m (k ??2 ) ??X m ?1 (k ) ??X m?1 (k ??2 )WN r為了完成式 (39)的運(yùn)算，還必須知道系數(shù) WN 的變換規(guī)律： (39) (1) 把上式中蝶形運(yùn)算兩節(jié)點(diǎn)中的第一個(gè)節(jié)點(diǎn)標(biāo)號(hào)值 k， 表示成 M 位二進(jìn)制 數(shù)（ N=2M）； (2) 把此二進(jìn)制數(shù)乘上 2Mm，即將此 M 位二進(jìn)制數(shù)左移 Mm 位，（ m 表示 第 m 級(jí)運(yùn)算），右邊空出來的位置補(bǔ)零，此數(shù)即為所求 r 的二進(jìn)制數(shù)。 圖 32 N=8 倒位序的變址處理 17 哈爾濱工業(yè)大學(xué)工學(xué)碩士學(xué)位論文 蝶形運(yùn)算兩節(jié)點(diǎn)的 “距離 ” 以圖 32 的 8 點(diǎn)的 FFT 為例，其輸入是倒序的，輸出是自然順序的。若 JI，意味著此 x(I)在前面已和 x(J)調(diào)換過，不必 再調(diào)換了； JI， 若才將兩存儲(chǔ)單元內(nèi)容互換。 N=8 時(shí)把按自然順序存放在存儲(chǔ)器單元中的數(shù)據(jù)，換成 FFT 原位運(yùn)算流圖 所要求的倒位序變址功能如圖 32 所示，當(dāng) I=J 時(shí)，不必調(diào)換；當(dāng) I≠J 時(shí)，需要 將原來存放數(shù)據(jù) x(I)的存儲(chǔ)單元內(nèi)調(diào)入數(shù)據(jù) x(J)，而存放 x(J)的存儲(chǔ)單元內(nèi)調(diào)入 x(I)。自然順序數(shù) I 增加 1，是在順序數(shù)的二進(jìn)制 最低位加 1，向左進(jìn)位，而倒序數(shù) J 則是在二進(jìn)制數(shù)最高位加 1，向右進(jìn)位。 倒位序規(guī)律 當(dāng)運(yùn)算完成后， FFT 的輸出 X(k)按正常順序排列在存儲(chǔ)單元中，但這時(shí)輸 入 x(n)卻不是按自然順序存儲(chǔ)的，這正是由于對(duì) x(n)做奇、偶分開所產(chǎn)生的。式 (38)的蝶形運(yùn)算 用圖 31 來表示，由一次復(fù)數(shù)乘法和兩次復(fù)數(shù)加（減）法組成。 X 1 (k ) X 1 ( k ) ??WNk X 2 ( k ) X 2 (k ) kWN X 1 ( k ) ??WNk X 2 (k ) 圖 31 時(shí)間抽取法蝶形運(yùn)算流圖 16 哈爾濱工業(yè)大學(xué)工學(xué)碩士學(xué)位論文 按時(shí)間抽取的 FFT 算法的特點(diǎn) 原位運(yùn)算（同址運(yùn)算） 原位運(yùn)算可節(jié)省存儲(chǔ)單元，降低設(shè)備成本。綜上， X (k ) 表達(dá)為前后兩部分為： k ??X (k ) ??X 1 (k ) ??WN X 2 (k ) ? ?N X (k ??) ??X 1 (k ) ??WNk X 2 (k )? ?2 k ??0,1,..., N ?1 2 (37) 可見，只要求出 0~(N/2－ 1)區(qū)間內(nèi)的所有 X1(k)和 X2(k)值，就可求出 0~(N － 1)區(qū)間內(nèi)的所有 X(k)值， 顯然節(jié)省了運(yùn)算量。這兩個(gè) N/2 點(diǎn)的 DFT 再按照式 (35)組合成一個(gè) N 點(diǎn)的 DFT。 按時(shí)間抽取 (DIT)的基 2FFT 算法原理 設(shè)序列 x(m)是長度 N=2m 的有限長序列，按 n 的奇偶把 x(m)分為兩個(gè) N/2 點(diǎn)的奇偶子序列： ??x(2r ) ??x1 (r ) ? ??x(2r ??1) ??x2 (r ) 則可將 DFT 化為： X (k ) ??DFT [ x(n)] ????x (n)W n ?0 N?1 2 r ?0 N?1 2 r ?0 N ?1 nk N N ?1 r ??0,1,... N ?1 2 N ?1 (33) ? n ?0 n偶數(shù) ??x(n)W nk N ? n??0 n奇數(shù) ??x(n)W nk N 2(2 ????x(2r )WN rk ????x(2r ??1)WN r ?1) k N?1 2 r ?0 N?1 2 r ?0 ????x1 (r )(WN2 )rk ??WNk ??x2 (r )(WN2 )rk 15 (34) 哈爾濱工業(yè)大學(xué)工學(xué)碩士學(xué)位論文 2π 2 N N ) 2 由于 W ??e 2 N ?j ?e ??j 2π /( ??WN / 2 ，故上式可表示為： N?1 2 r ?0 rkkk X (k ) ????x1 (r )WN / 2 ??WN ??x2 (r )WNrk/2 ??X 1 (k ) ??WN X 2 (k ) r ?0 N?1 2 (35) 式中 X1(k)和 X2(k)分別是 x1(r)和 x2(r)的 N/2 點(diǎn) DFT。它的算法形式有很多種，基本上可以分成兩大類，即按時(shí)間抽取 (DecimationinTime,縮寫為 DIT)法和按頻率抽取 (DecimationinFrequency,縮寫 為 DIF)法，如果算法是通過逐次分解時(shí)間序列 x(n)得到的，這種算法稱為按時(shí) 間抽取的算法。仔細(xì)觀察 DFT 的運(yùn)算就可以看出，利用系 nk數(shù) WN 的以下固有特性，就可以減少運(yùn)算量： nknk?(1) WN 的對(duì)稱性 ： ( WN )* = WN nk nknk(n (2) WN 的周期性： WN = WN n ??N ) k = WN ( k ??N ) nknkmnknknk /(3) WN 的可約性： WN = WmN ， WN = WN / mm 這樣，利用這些特性，使 DFT 運(yùn)算中有些項(xiàng)可以合并，并能使 DFT 分解 為更少點(diǎn)數(shù)的 DFT 運(yùn)算。所以，整個(gè) DFT 運(yùn)算共需要 4N 2 次實(shí)數(shù)乘法 和 2N(2N1)次實(shí)數(shù)加法。復(fù)數(shù)運(yùn)算實(shí)際上是由實(shí)數(shù)運(yùn)算來 完成的，這時(shí) DFT 運(yùn)算式可以寫成： X (k ) ????x (n)W n ?0 N ?1 n ?0 N ?1 nk N nk ????{Re[ x(n)] ??j Im[ x (n)]}{Re[WNnk ] ??j Im[WN ]} n ?0 N ?1 nknk ????{Re[ x( n)]Re[WN ] ??Im[ x( n )]Im[WN ] ??j (Re[ x (n)]Im[WNnk ] ??Im[ x(n)]Re[WNnk ])} (32) 14 哈爾濱工業(yè)大學(xué)工學(xué)碩士學(xué)位論文 由式 (32)可見，一次復(fù)數(shù)乘法需用四次實(shí)數(shù)乘法和二次實(shí)數(shù)加法； 一次復(fù) 數(shù) 加 法 需 二 次 實(shí) 數(shù) 加 法 ?？焖俑道锶~變換 (FFT)是數(shù)字信號(hào)處理 中最為重要的算法之一， FFT 出現(xiàn)后使得 DFT 的運(yùn)算大大簡化，運(yùn)算時(shí)間一般 可縮短一二個(gè)數(shù)量級(jí)之多，使 DFT 的運(yùn)算在實(shí)際中真正得到了廣泛的應(yīng)用 [15]。直到 20 世紀(jì) 60 年代由 Cooley 和 Tukey 提出了 DFT 運(yùn)算的一種快 速算法以后，情況才發(fā)生了 根本的變換。 例如，在信號(hào)的頻譜分析、系統(tǒng)的分析、 設(shè)計(jì)和實(shí)現(xiàn)中都會(huì)用到 DFT 的計(jì)算。離散傅里葉變換 簡稱 DFT(Discrete Fourier Transform)，是對(duì)離散信號(hào)進(jìn)行傅里葉變換的方法 [14]。 13 哈爾濱工業(yè)大學(xué)工學(xué)碩士學(xué)位論文 第 3章 電力參數(shù)測(cè)量算法的分析研究及仿真 基于傅里葉變換的諧波分析算法 傅里葉變換是數(shù)字信號(hào)處理領(lǐng)域中的一種分析工具，可以將信號(hào)從時(shí)域變 換到頻域，稱為傅里葉正變換；也可以把信號(hào)從頻域變換到時(shí)域，稱為傅里葉 反變換。 本章小結(jié) 本章圍繞基本電力參數(shù)和電能質(zhì)量各項(xiàng)指標(biāo)的數(shù)字化實(shí)現(xiàn)進(jìn)行了具體的理 論分析，給出了基本電力參數(shù)包括電壓、電流、有功功率、無功功率、視在功 率和功率因數(shù)的測(cè)量原理和方法，同時(shí)根據(jù)電能質(zhì)量國家標(biāo)準(zhǔn)的有關(guān)規(guī)定，給 12 哈爾濱工業(yè)大學(xué)工學(xué)碩士學(xué)位論文 出了電壓偏差和頻率偏差的 的定義和測(cè)量方法?，F(xiàn)有的小波函數(shù)還都無法實(shí)現(xiàn)諧波的精確測(cè)量，因而必須 設(shè)法構(gòu)造一個(gè)分頻嚴(yán)格、能量集中的小波函數(shù)，改善測(cè)量精度。小波變換應(yīng) 用在諧波測(cè)量方面尚處于初級(jí)階段 [12][13]。原則上，凡傳統(tǒng)傅里葉變換能夠分析的地方都可以用 小波變換來代替。 人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)（ ANN）已應(yīng)用于許多重要的領(lǐng)域，但應(yīng)用于電力系統(tǒng)諧波 領(lǐng)域尚屬起步階段，將神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)理論應(yīng)用于諧波測(cè)量的主要目的是解決諧波測(cè) 量的精度和實(shí)時(shí)性問題，希望在精度和實(shí)時(shí)性方面能相對(duì)其他方法得到提高 [11]。 1984 年，日本學(xué)者 等提出瞬時(shí)無功功率理論， 提出基于三相三線制電路的 pq 法和 ipiq 法兩種諧波電流的測(cè)量方法。同步采樣有兩種實(shí)現(xiàn)方式： 軟件同步和硬件同步。采樣法包括同步采樣和準(zhǔn)同步采樣?，F(xiàn) 在，人們已經(jīng)提出了很多的改善方法： (1) 使用加窗插值算法對(duì) FFT 結(jié)果進(jìn)行 修正，給出了不同窗函數(shù)（如矩形窗、海寧窗、布萊克曼窗、布萊克曼 哈里斯 窗等）的插值算法，實(shí)際測(cè)量中選用矩形窗和海寧窗就能夠有效地提高測(cè)量精 度，減少泄漏，抑制諧波之間或噪聲的干擾，較為準(zhǔn)確的測(cè)量諧波電流和諧波 電壓的幅值和相位。 快速傅里葉變換（ FFT）是目前數(shù)字化諧波測(cè)量應(yīng)用最為廣泛的一種方法， 它的優(yōu)點(diǎn)是精度較高、功能較多、使用方便，其缺點(diǎn)是需要一定時(shí)間的電流值， 進(jìn)行兩次變換，計(jì)算量大，檢測(cè)時(shí)間長 ，實(shí)時(shí)性不夠好。 現(xiàn)存諧波測(cè)量方法的比較 電力系統(tǒng)諧波測(cè)量技術(shù)經(jīng)歷了從模擬到數(shù)字的過程?，F(xiàn)代變壓器和大型電機(jī)在 穩(wěn)態(tài)運(yùn)行時(shí)不會(huì)給電網(wǎng)帶來明顯的畸變，當(dāng)有暫態(tài)擾動(dòng)，使其工作在正常范圍 以外，就會(huì)有大幅的畸變產(chǎn)生。大容量換流器為額定容量為兆瓦，其產(chǎn)生的諧波主要為 5 次以上的奇 次諧波；中等容量換流器的額定容量為幾十瓦到幾百千瓦，其諧波主要是 5 次 諧波；裝在家用電器上的小容量換流器，也是產(chǎn)生奇次諧波，且峰值與基波幾 乎重合，各諧波是加強(qiáng)的，最大的諧波電流是 3 次諧波，在中線上是疊加的。其諧波含量決定于設(shè)備本身的 特性和工作狀況，基本上與電力系統(tǒng)參數(shù)無關(guān)，是諧波恒流源。 ” 電網(wǎng)中諧波產(chǎn)生的原因主要有如下幾點(diǎn)： 電網(wǎng)本身存在著周期性的非正 (1) 弦獨(dú)立電源； (2) 工頻電壓或電流直接作用在非線性負(fù)載，產(chǎn)生倍頻諧波分量； (3) 電力系統(tǒng)時(shí)變負(fù)載的作用產(chǎn)生奇數(shù)次、偶數(shù)次、非整數(shù)次諧波，甚至使得工 頻基波消失。但實(shí)際的公用電網(wǎng)中，電壓、 電流波形并不是理想的正弦形式，這是因?yàn)橹C波的存在，使得波形產(chǎn)生畸變 [10]。用均方差 σ 來表示 f 與 fN 數(shù)學(xué)期望值的離散程度，即： 1n σ? ?????????( fi ??f N ) 2 n ??1 i ?1 通過 σ 的統(tǒng)計(jì)分析來評(píng)價(jià)系統(tǒng)的頻率偏差情況。 頻率偏差采用歐洲發(fā)電聯(lián)盟推薦的方法來進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析。只要保證采樣速率足夠高，即可使測(cè)量和算法具有很高的精度和 效率。 另一種測(cè)量方法是，首先對(duì)用交流采樣得到的采樣數(shù)據(jù)信號(hào)進(jìn)行數(shù)字濾波， 濾除其中的基波后，通過插值法求波形過零點(diǎn)的時(shí)刻，通過插值法求波形過零 點(diǎn)的時(shí)刻，進(jìn)而求得相應(yīng)的周期。該方法是通過硬件 檢測(cè)輸入波形的過零點(diǎn)，控制計(jì)數(shù)器計(jì)數(shù)的方式來實(shí)現(xiàn)。 頻率及頻率偏差的測(cè)量 根據(jù)《電能質(zhì)量 電力系統(tǒng)頻率允許偏差》中的規(guī)定 [9]，電力系統(tǒng)正常頻率 偏差允許值為 ，當(dāng)系統(tǒng)容量較小時(shí)偏差值可放寬到 。 《電 能質(zhì)量 供電電壓允許偏差》中明確規(guī)定了各電壓等級(jí)下的電壓偏差允許值，如 表 21 所示。 無功功率采用 Fryze 無功定義： Q ??S 2 ??P2 根據(jù)計(jì)算好的有功功率和視在功率，可得功率因數(shù)為： cos ? ? P S (210) (29) (28) 電能質(zhì)量指標(biāo)的測(cè)量 電壓偏差的測(cè)量 電壓允許偏差是指電力系統(tǒng)電壓緩慢變化時(shí)，實(shí)際電壓與系統(tǒng)標(biāo)稱電壓之 差 [8]。但要求電壓和電流采樣值