四川省樂山市20xx年中考數(shù)學真題試題含解析(參考版)
2024-11-30 20:49本頁面
【正文】 ． 26． 如 圖，在平面直角坐標系中，拋物線 y=ax2+bx+c交 x軸于 A、 B兩點，交 y軸于點 C（ 0，﹣ ）， OA=1，OB=4，直線 l過點 A，交 y軸于點 D，交拋物線于點 E，且滿足 tan∠ OAD= ． （ 1）求拋物線的解析式； （ 2）動點 P從點 B出發(fā)，沿 x軸正方形以每秒 2個單位長度的速度向點 A運動，動點 Q從點 A出發(fā)，沿射線 AE以每秒 1個單位長度的速度向點 E運動，當點 P運動到點 A時，點 Q也停止運動，設(shè)運動時間為 t秒． ① 在 P、 Q的運動過程中，是否存在某一時刻 t，使得 △ ADC與 △ PQA相似，若存在，求出 t的值；若不存在，請說 明理由． ② 在 P、 Q的運動過程中，是否存在某一時刻 t，使得 △ APQ與 △ CAQ的面積之和最大？若存在，求出 t的值；若不存在，請說明理由． 13 解：（ 1） ∵ OA=1， OB=4 ∴ A（ 1， 0）， B（﹣ 4， 0） 設(shè)拋物線的解析式為 y=a（ x+4）（ x﹣ 1） ∵ 點 C（ 0，﹣ ）在拋物線上 ∴ ﹣ 解得 a= ∴ 拋物線的解析式為 y= （ 2）存在 t，使得 △ ADC與 △ PQA相似． 理由： ① 在 Rt△ AOC中， OA=1， OC= 則 tan∠ ACO= ∵ tan∠ OAD= ∴∠ OAD=∠ ACO ∵ 直線 l的解析式為 y= ∴ D（ 0，﹣ ） ∵ 點 C（ 0，﹣ ） ∴ CD= 由 AC2=OC2+OA2，得 AC= 在 △ AQP中， AP=AB﹣ PB=5﹣ 2t， AQ=t 由 ∠ PAQ=∠ ACD，要使 △ ADC與 △ PQA相似 只需 或 14 則有 或 解得 t1= ， t2= ∵ t1＜ ， t2＜ ∴ 存在 t= 或 t= ，使得 △ ADC與 △ PQA相似 ② 存在 t，使得 △ APQ與 △ CAQ的面積之和最大 理由：作 PF⊥ AQ于點 F， CN⊥ AQ于 N 在 △ APF中， PF=AP?sin∠ PAF= 在 △ AOD中，由 AD2=OD2+OA2，得 AD= 在 △ ADC中，由 S△ ADC= ∴ CN= ∴ S△ AQP+S△ AQC= =﹣ ∴ 當 t= 時， △ APQ與 △ CAQ的面積之和最大 。 ．在 Rt△ DAH中， tan∠ ADH= = ， ∴ ∠ADH=30176。 ， ∴ ∠ HAE+∠ CAD=90176。 ，四邊形 EBDH是平行四邊形， ∴ BE=DH， EH=BD． ∵ AC= BD， CD= AE， ∴ ． ∵ ∠ HEA=∠ C=90176。 ， ∴ ∠ APE=30176。= ∠ EMD． ∵ AD∥ BF， ∴ ∠ EFB=90176。 ， ∴ △ FAE∽△ ACD， ∴ = ， ∠ FEA=∠ ADC． ∵ ∠ ADC+∠ CAD=90176。 ． （ 2）（ 1）中結(jié)論不成立，理由如下： 如圖 2，過點 A作 AF∥ CB，過點 B作 BF∥ AD相交于 F，連接 EF， ∴ ∠ FBE=∠ APE， ∠ FAC=∠ C=90176。 ， ∴ ∠ APE=45176。= ∠ EHD． ∵ AD∥ BF， ∴ ∠ EFB=90176。 ， ∴ △ FAE≌△ ACD， ∴ EF=AD=BF， ∠ FEA=∠ ADC． ∵ ∠ ADC+∠ CAD=90176。 ，點 D、 E分別在 BC、 AC邊上，連結(jié) BE、 AD交于點 P，設(shè) AC=kBD， CD=kAE，k為常數(shù)，試探究 ∠ APE的度數(shù)： 11 （ 1）如圖 1，若 k=1，則 ∠ APE的度數(shù)為 ； （ 2）如圖 2，若 k= ，試問（ 1）中的結(jié)論是否成立？若成立，請說明理由；若不成立，求出 ∠ APE的度數(shù)． （ 3）如圖 3，若 k= ，且 D、 E分別在 CB、 CA的延長線上，（ 2）中的結(jié)論是否成立 ，請說明理由． 解：（ 1）如圖 1，過點 A作 AF∥ CB，過點 B作 BF∥ AD相交于 F，連接 EF， ∴ ∠ FBE=∠ APE， ∠ FAC=∠ C=90176。 ， ∴ AC⊥ AB， ∴ AC∥ PO； （ 2）解：連結(jié) OA、 DF，如圖， ∵ PA、 PB是 ⊙ O的兩條切線， A、 B是切點， ∴ ∠ OAQ=∠ PBQ=90176。 （﹣ 8m） =4m2﹣ 1﹣ m2+2m﹣ 1
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