廣西桂林市20xx屆高三11月月考數(shù)學理試題word版含答案(參考版)
2024-11-19 13:28本頁面
【正文】 平面 PAB⊥平面 ABCD， PA＝ PB＝ 2AB． （ 1）證明： PC⊥ AB； （ 2）求二面角 B－ PC－ D 的余弦值． 答案： 20. (本小題滿分 12分 ) 已知橢圓 M ： 13222 ?? yax ( 0?a )的一個焦點為 )0,1(?F ，左右頂點分別為 BA, ，經(jīng)過點 F 的直線 l 與橢圓 M 交于 DC, 兩點 . （ 1） 求橢圓方程 ； （ 2） 記 ABD? 與 ABC? 的面積分別為 1S 和 2S ，求 || 21 SS ? 的最大值 . 解： （ 1） ∵點 )0,1(?F 為橢圓的一個焦點，∴ 1?c ，又 32?b ，∴ 4222 ??? cba ， ∴橢圓方程為 134 22 ??yx .????????????????? 4分 （ 2） 當 直線 l 斜率不存在時，直線方程為 1??x ， 此時 )23,1(?D， )23,1( ??C， ABD? 與 ABC? 的面積 相等， 0|| 21 ??SS ?????5分 當 直線 l 斜率存在時，設直線方程為 )1( ?? xky ( 0?k )， ??????????? 6分 設 ),( 11 yxC ， ),( 22 yxD 顯然 21,yy 異號 . 由?????????)1(134 22xkyyx 得 01248)43(2222 ????? kxkxk ， ?????????? 7分 顯然 0?? ，方程有實根，且2221 43 8 kkxx ????，2221 43 124 kkxx ? ??， ??????????8分 此時212121212 43|12|2)(|2|)1()1(|2||2||||||2|| kkkxxkxkxkyyyySS ??????????????， ?????????? 10分 由 0?k 可得 3||4|| 3212||4|| 31243||122 ?????? kkkkkk ，當且僅當 23??k 時等號成立 . ∴ || 21 SS ? 的最大值為 3 ?????????? 12分 【考向】（ 1）橢圓的標準方程的求法；（ 2）用韋達定理及均值不等式求面積最值問題 . 1( ) ( ) 2 ln ( )f x a x x ax? ? ? ? R． （ Ⅰ ）若 2a? ，求曲線 ()y f x? 在點 (1, (1))f 處的切線方程； （ Ⅱ ）求函數(shù) ()fx的單調(diào)區(qū)間 ； （ Ⅲ ）設函數(shù) () agxx??．若至少存在 一個 0 [1,e]x ? ，使得 00( ) ( )f x g x? 成立，求實數(shù) a 的取值范圍． 【答案】 函數(shù)的定義域為 ? ?0,?? ， 2221 2 2( ) (1 ) a x x af x a x x x??? ? ? ? ?． ??????????????????? 1分 （Ⅰ）當 2a? 時，函數(shù) 1( ) 2 ( ) 2 lnf x x xx? ? ?， (1) 0f ? ， (1) 2f? ? ． 所以曲線 ()y f x? 在點 (1, (1))f 處的切線方程為 0 2( 1)yx? ? ? ， 即 2 2 0xy? ? ? ．??????????????????????????? 3分 （Ⅱ）函數(shù) ()fx的定義域為 (0, )?? ． （ 1）當 0a? 時， 2( ) 2 0h x ax x a? ? ? ?在 (0, )?? 上恒成立， 則 ( ) 0fx? ? 在 (0, )?? 上恒成立，此時 ()fx 在 (0, )?? 上單調(diào)遞減． ????? 4分 （ 2）當 0a? 時， 244a?? ? ， （?。┤?01a??， 由 ( ) 0fx? ? ，即 ( ) 0hx? ，得 211ax a??? 或 211ax a??? ； ?????? 5分 由 ( ) 0fx? ? ，即 ( ) 0hx? ，得 221 1 1 1aaxaa? ? ? ???． ????????? 6分 所以函數(shù) ()fx的單調(diào)遞增區(qū)間為 211(0, )aa?? 和 211( , )aa?? ??， 單調(diào)遞減區(qū)間為 221 1 1 1( , )aaaa? ? ? ?． ?????????????? 7分 （ⅱ）若 1a? ， ( ) 0hx? 在 (0, )?? 上恒成立，則 ( ) 0fx? ? 在 (0, )?? 上恒成立，此時()fx 在 (0, )?? 上單調(diào)遞增． ????????????????????????8分 （Ⅲ） ）因為存在一個 0 [1,e]x? 使得 00( ) ( )f x g x? ， 則 002lnax x? ，等價于 002lnxa x? .??????????????????? 9分 令 2ln() xFxx?，等價于“當 ? ?1,ex? 時， ? ?mina F x?” . 對 ()Fx求導，得22(1 ln )() xFx x?? ?. ????????????????? 10分 因為當 [1,e]x? 時， ( ) 0Fx? ? ，所以 ()Fx在 [1,e] 上單調(diào)遞增 . ????? 11分 所以 m in( ) (1) 0F x F??，因此 0a? . ????????????????
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