【正文】 ， ∴ AB= = =10， ∵ AD平分 ∠ CAB， DC⊥ AC， DO⊥ AB， ∴ DC=DO， 在 Rt△ ACD和 Rt△ AOD中， ， ∴ Rt△ ACD≌ Rt△ AOD（ HL）， ∴ AC=AO=6， 設(shè) BD=x，則 DC=DO=8﹣ x， OB=AB﹣ AO=4， 在 Rt△ BOD中，根據(jù)勾股定理得： DO2+OB2=BD2， 即（ 8﹣ x） 2+42=x2， 解得： x=5， ∴ BD的長為 5； （ 3）解： ∵ 點 B′ 與點 B關(guān)于直線 DO對稱， ∴∠ B=∠ OB′D ， BO=B′O ， BD=B′D ， ∵∠ B為銳角， ∴∠ OB′D 也為銳角， ∴∠ AB′D 為鈍角， ∴ 當(dāng) △ AB′D 為等腰三角形時， AB′=DB′ ， ∵△ DOB∽△ ACB， ∴ = = ， 設(shè) BD=5x， 則 AB′=DB′= 5x， BO=B′O=4x ， ∵ AB′ +B′O +BO=AB， ∴ 5x+4x+4x=10， 解得： x= ， ∴ BD= ． 【點評】本題是相似形綜合題目，考查了相似三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理、全等三角形的判定與性質(zhì)、角平分線的性質(zhì)等知識；本題難度較大，綜合性強，特別是（ 2）（ 3）中，需要根據(jù)題意列出方程，解方程才能得出結(jié)果． 28．（ 2020?青島）已知：如圖，在矩形 ABCD中， AB=6cm， BC=8cm，對角線 AC， BD 交于點 0．點 P從點 A出發(fā)，沿方向勻速運動，速度為 1cm/s；同時，點 Q從點 D出發(fā)，沿 DC方向勻速運動，速度為 1cm/s；當(dāng)一個點停止運動時，另一個點也停止運動．連接 PO并延長，交 BC于點 E，過點 Q作QF∥ AC，交 BD于點 F．設(shè)運動時間為 t（ s）（ 0＜ t＜ 6），解答下列問題： （ 1）當(dāng) t為何值時， △ AOP是等腰三角形？ （ 2）設(shè)五邊形 OECQF的面積為 S（ cm2），試確定 S與 t的函數(shù)關(guān)系式； （ 3）在運動過程中，是否存在某一時刻 t，使 S五邊形 S 五邊形 OECQF： S△ ACD=9： 16？若存在，求出 t的值；若不存在，請說明理由； （ 4）在運動過程中，是否存在某一時刻 t，使 OD平分 ∠ COP？若存在， 求出 t的值；若不存在，請說明理由． 【考點】四邊形綜合題． 【分析】（ 1）根據(jù)矩形的性質(zhì)和勾股定理得到 AC=10， ① 當(dāng) AP=PO=t，如圖 1，過 P作 PM⊥ AO，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到 AP=t= ， ② 當(dāng) AP=AO=t=5，于是得到結(jié)論； （ 2）過點 O作 OH⊥ BC交 BC于點 H，已知 BE=PD，則可求 △ BOE的面積；可證得 △ DFQ∽△ DOC，由相似三角形的面積比可求得 △ DFQ的面積，從而可求五邊形 OECQF的面積． （ 3）根據(jù)題意列方程得到 t= ， t=0，（不合題意，舍去），于是得到結(jié)論； （ 4）由角平分線 的性質(zhì)得到 DM=DN= ，根據(jù)勾股定理得到 ON=OM= = ，由三角形的面積公式得到 OP=5﹣ t，根據(jù)勾股定理列方程即可得到結(jié)論． 【解答】解：（ 1） ∵ 在矩形 ABCD中， AB=6cm， BC=8cm， ∴ AC=10， ① 當(dāng) AP=PO=t，如圖 1， 過 P作 PM⊥ AO， ∴ AM= AO= ， ∵∠ PMA=∠ ADC=90176。 ， ∴∠ DOB=∠ ACB=90176。 ， AC=6， BC=8，點 D為邊 CB上的一個動點（點 D不與點 B重合），過 D作 DO⊥ AB，垂足為 O， 點 B′ 在邊 AB上，且與點 B關(guān)于直線 DO對稱，連接 DB′ ， AD． （ 1）求證： △ DOB∽△ ACB； （ 2）若 AD平分 ∠ CAB，求線段 BD 的長； （ 3）當(dāng) △ AB′D 為等腰三角形時，求線段 BD 的長． 【考點】相似形綜合題． 【分析】（ 1）由 ∠ DOB=∠ ACB=90176。 以及 ∠ AEB=90176。 ． 綜上可知：在 x軸上存在點 E，使以 A、 B、 E為頂點的三角形與 △ ACD相似，點 E的坐標(biāo)為（﹣ 2， 0）． 【點評 】本題考查了反比例函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征、一次函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征、待定系數(shù)法求函數(shù)解析式以及勾股定理，解題的關(guān)鍵是：（ 1）利用反比例函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征求出 m值；（ 2）根據(jù)待定系數(shù)法求出直線 AB的解析式；（ 3）分 ∠ ABE=90176。 時， ∠ ABE＞∠ ACD， 故 △ EBA與 △ ACD不可能相似； ③ 當(dāng) ∠ AEB=90176。 時，根據(jù) A、 B的坐標(biāo)可得出 AB的長度，以 AB為直徑作圓可知圓與 x軸無交點，故該情況不存在．綜上即可得出結(jié)論． 【解答】解：（ 1） ∵ 點 A（ 1， 4）在反比例函數(shù) y= （ x＞ 0）的圖象上， ∴ m=1 4=4， 故答案為： 4． （ 2） ∵ 點 B（ 2， a）在反比例函數(shù) y= 的圖象上， ∴ a= =2， ∴ B（ 2， 2）． 設(shè)過點 A、 B的直線的解析式為 y=kx+b， ∴ ，解得： ， ∴ 過點 A、 B的直線的解析式為 y=﹣ 2x+6． 當(dāng) y=0時，有﹣ 2x+6=0， 解得： x=3， ∴ 點 C的坐標(biāo)為（ 3， 0）． （ 3）假設(shè)存在，設(shè)點 E的坐標(biāo)為（ n， 0）． ① 當(dāng) ∠ ABE=90176。 時，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)，利用勾股定理即可找出關(guān)于 n的一元二次方程，解方程即可得出結(jié)論； ② 當(dāng) ∠ BAE=90176。 以及 ∠ AEB=90176。 ． 【點評】此題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是：熟記相似三角形的判定定理與性質(zhì)定理． 22．已知：如圖 △ ABC三個頂點的坐標(biāo)分別為 A（ 0，﹣ 3）、 B（ 3，﹣ 2）、 C（ 2，﹣ 4），正方形網(wǎng)格中，每個小正方形的邊長是 1個單位長度． （ 1）畫出 △ ABC向上平移 6個單位得到的 △ A1B1C1； （ 2）以點 C為位似中心，在網(wǎng)格中畫出 △ A2B2C2，使 △ A2B2C2與 △ ABC位似，且 △ A2B2C2與 △ ABC的位似比為 2： 1，并直接寫出點 A2的坐標(biāo)． 【考點】作圖 位似變換；作圖 平移變換． 【分析】（ 1）直接利用平移的性質(zhì)得出對應(yīng)點位置進(jìn)而得出答案； （ 2）利用位似圖形的性質(zhì)得出對應(yīng)點位置進(jìn)而得出． 【解答】解：（ 1）如圖所示： △ A1B1C1，即 為所求； （ 2）如圖所示： △ A2B2C2，即為所求， A2坐標(biāo)（﹣ 2，﹣ 2）． 【點評】此題主要考查了位似變換和平移變換，根據(jù)題意正確得出對應(yīng)點位置是解題關(guān)鍵． 23．如圖，一位同學(xué)想利用樹影測量樹高（ AB），他在某一時刻測得高為 1m的竹竿影長為 ，但當(dāng)他馬上測量樹影時，因樹靠近一幢建筑物，影子不全落在地面上，有一部分影子在墻上（ CD），他先測得留在墻上的影高（ CD）為 ，又測得地面部分的影長（ BC）為 ，他測得的樹高應(yīng)為多少米？ 【考點】相似三角形的應(yīng)用． 【分析】先求出墻上 的影高 CD落在地面上時的長度，再設(shè)樹高為 h，根據(jù)同一時刻物高與影長成正比列出關(guān)系式求出 h的值即可． 【解答】解：過 D作 DE∥ BC交 AB 于點 E， 設(shè)墻上的影高 CD落在地面上時的長度為 xm，樹高為 hm， ∵ 某一時刻測得長為 1m的竹竿影長為 ，墻上的影高 CD為 ， ∴ = ，解得 x=（ m）， ∴ 樹的影長為： +=（ m）， ∴ = ，解得 h=（ m）． 答：測得的樹高為 ． 【點評】本題考查的是相似三角形的應(yīng)用，解答此題的關(guān)鍵是正確求出樹的影長，這是此題的易錯點 ． 24．如圖，把 △ ABC沿邊 BA平移到 △ DEF的位置，它們重疊部分（即圖中陰影部分）的面積是 △ ABC面積的 ，若 AB=2，求 △ ABC移動的距離 BE的長． 【考點】平移的性質(zhì)． 【分析】根據(jù)平移的性質(zhì)得到 EF∥ AC，證得 △ BEG∽△ BAC，由相似三角形的性質(zhì)得到= = ，即可得到結(jié)論． 【解答】解： ∵ 把 △ ABC沿邊 BA平移到 △ DEF的位置， ∴ EF∥ AC， ∴△ BEG∽△ BAC， ∴ = = ， ∵ AB=2， ∴ BE= ． 【點評】本題主要考查相似三角形的判定和性質(zhì)、平移的性質(zhì)，關(guān)鍵在于求證 △ ABC與陰影部分為相似三角形． 25．如圖，點 A（ 1， 4）、 B（ 2， a）在函數(shù) y= （ x＞ 0）的圖象上，直線 AB與 x軸相交于點 C， AD⊥ x軸于點 D． （ 1） m= 4 ； （ 2）求點 C的坐標(biāo)； （ 3）在 x軸上是否存在點 E，使以 A、 B、 E為頂點的三角形與 △ ACD相似？若存在，求出點 E的坐標(biāo)；若不存在，說明理由． 【考點】反比例函數(shù)綜合題． 【分析】（ 1）有點 A的坐標(biāo)結(jié)合反比例函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征，即可得出 m的值； （ 2