帶電粒子在勻強(qiáng)磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)(參考版)
2024-08-16 06:20本頁面
【正文】 R y x O P(a,b) v0 Q 由圖知 a/btan, ?? ??q 2 222212baabtantantan?? ??qRabtan?q abaR222 ???由牛頓第二定律得： RvmRqQk 202 ? akqmv)ba(Q22022 ??θ β y x O P(a,b) v0 qa mv B 0 2 ? y x O P(a,b) v0 ) ( 2 2 2 0 b a q amv B ? ? y x O P(a,b) v0 R Q akq mv b a Q 2 ) ( 2 0 2 2 ? ? y x O P(a,b) v0 B1 B2 y x O P(a,b) v0 E y x O P(a,b) v0 E B y x O P(a,b) v0 E y x O P(a,b) v0 E y x O P(a,b) v0 B 。（用題設(shè)已知條件和有關(guān)常數(shù)） y x O P(a,b) v0 解：方案一： 在直角坐標(biāo)系 xOy內(nèi)加上垂直紙面向里的勻強(qiáng)磁場(chǎng) B，使電荷 (m， q)在洛倫茲力作用下繞 O′ 點(diǎn)從 O到 P作勻速圓周運(yùn)動(dòng)，其軌道半徑為 R，電荷運(yùn)動(dòng)軌跡如圖示。要求： （ 1）需說明運(yùn)動(dòng)性質(zhì)并畫出軌跡圖。己知 B1≠B2，一個(gè)帶正電的粒子電量為 q，質(zhì)量為 m，以大小為 v0的速度垂直邊界 M與磁場(chǎng)方向射人 MN間磁場(chǎng)區(qū)，試討論粒子速度 v0應(yīng)滿足什么條件，才可通過這兩個(gè)磁場(chǎng)區(qū)，并從邊界面P射出？（不計(jì)粒于重力） N l2 l1 B1 B2 M P v0 v0 O1 O2 θ θ ? R1 R1 R2 R2 ? + θ = ?/2 R1= mv0/B1q R2= mv0 /B2q l1 = R1 sinθ l2 = R2(1－ cos?) 解析 ： m q(B1l1+B2l2) v0≥ 討論 ： 如圖，直角坐標(biāo)系內(nèi)，質(zhì)量為 m，帶電量為 +q的離子從原點(diǎn) O沿 y軸正方向以初速度 v0出發(fā)，重力不計(jì)。在兩極間加上電壓。 B1 E O B2 L d O1 O3 O2 212qE L m V? RVmBq V 2? qmELBR 21?qmELBRd62160sin 0 ??qEmLqEmVaVt 22221 ??? qBmTt 3232 ??? qBmTt 35653 ???qBmqEmLtttt3722321?????由以上兩式，可得 （ 2）在電場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)時(shí)間 在中間磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)時(shí)間 在右側(cè)磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)時(shí)間 則粒子的運(yùn)動(dòng)周期為 帶電粒子在磁場(chǎng)中偏轉(zhuǎn)，由牛頓第二定律得： 解：（ 1）如圖所示，帶電粒子在電場(chǎng)中加速，由動(dòng)能定理得： 粒子在兩磁場(chǎng)區(qū)運(yùn)動(dòng)半徑相同，三段圓弧的圓心組成的三角形 ΔO1O2O3是等邊三角形，其邊長(zhǎng)為 2R。一個(gè)質(zhì)量為 m、電量為 q、不計(jì)重力的帶正電的粒子從電場(chǎng)的左邊緣的 O點(diǎn)由靜止開始運(yùn)動(dòng)，穿過中間磁場(chǎng)區(qū)域進(jìn)入右側(cè)磁 場(chǎng)區(qū)域后，又回到 O點(diǎn)，然 后重復(fù)上述運(yùn)動(dòng)過程。 T = 2?r/Bq = 8π 10－ 5 s 運(yùn)動(dòng)周期為 t = 2T = 16π 10－ 5 s 例、 如圖，空間分布著有理想邊界的勻強(qiáng)電場(chǎng)和勻強(qiáng)磁場(chǎng)。 P v0 B B 解析： 由洛倫茲力提供向心力， qv0B = mv02/r ， r = m=R。 O x d B d B （ 4）若電子在磁場(chǎng)區(qū)域做圓周運(yùn)動(dòng)的軌道半徑為 r，穿過磁場(chǎng)區(qū)域打到熒光屏上的位置坐標(biāo)為 x，則由（ 2）中的軌跡圖可得： 2222 drrx ?注意到： r=mv/eB 和 eU = mv2/2 emUBer 21?? 所以，電子打到熒光屏上的位置坐標(biāo) x和金屬板間電勢(shì)差 U的函數(shù)關(guān)系為： ? ? ???????? ??meBdUBedemUemUeBx 2222 22222練： 在真空中，半徑為 R=向外的 B=1T的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，此區(qū)域外圍足夠大空間有垂直紙面向里的大小也為 B的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，一帶正電的粒子從邊界上的 P點(diǎn)沿半徑向外，以速度 v0=5 103m/s進(jìn)入外圍磁場(chǎng)，已知粒子帶電量 q=5 10－ 6 C，質(zhì)量 m=2 10－ 10 kg，不計(jì)重力。 N d d B B M + O x S1 S2 熒光屏 K （ 1） 根據(jù)動(dòng)能的定理得： eU0 = mv02/2 欲使電子不能打到熒光屏上，應(yīng)有： r = mv0/eB ≤ d ， （ 2）電子穿過磁場(chǎng)區(qū)域而打到熒光屏上時(shí)運(yùn)動(dòng)的軌跡如圖所示。 （ 1）求 U在什么范圍內(nèi)，電子不能打到熒光屏上？ （ 2）試定性地畫出能打到熒光屏上電子運(yùn)動(dòng)的軌跡。取屏上與 S S2共線的 O點(diǎn)為原點(diǎn)，向上為正方向建立 x軸。 t1 = T1/6， t2 = T2/2 由 qvB = mv2/R 得： R1= mv/qB1 = r ， R2= mv/ qB2 = r/2 ， ∴ B2= 2B1 T1 =2πR1/v= 2πm/qB1 T2 =2πR2/v= 2πm/qB2 t1 + t2 = t 即 πm／ 3qB1 + πm／ qB2 = t 125563mmBBqt qt??? ? ?例、 如圖， M、 N為兩塊帶等量異種電荷的平行金屬板， S S2為兩正對(duì)小孔， 板右側(cè)有兩寬度均為 d的勻強(qiáng)磁場(chǎng)區(qū)域，磁感應(yīng)強(qiáng)度大小均為 B，方向如圖。 解： 粒子在磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)軌跡如圖示 : 用 B1 , B2 , R1 , R2 , T1 , T2 , t1 , t2分別表示在磁場(chǎng) Ⅰ 區(qū)和 Ⅱ區(qū)中的磁感應(yīng)強(qiáng)度，軌道半徑和周期及運(yùn)動(dòng)時(shí)間。 A3 A4 A2 A1 O 60176。 qt m B 3 5 2 ? ? qt m B 6 5 1 ? ? A3 A4 A2 A1 O 60176。一質(zhì)量為 m、帶電量為 +q的粒子以某一速度從 Ⅰ 區(qū)的邊緣點(diǎn) A1處沿與 A1A3成 30186。 （ 不考慮重力 ， 設(shè)碰撞過程中無動(dòng)能損失 ） 求： ⑴ 電子到達(dá)小孔 S時(shí)的速度大?。? ⑵ 電子第一次到達(dá) S所需要的時(shí)間； ⑶ 電子第一次返回出發(fā)點(diǎn)所需的時(shí)間 。 電子與孔 S及圓心 O在同一直線上 。 其上有一內(nèi)壁光滑的半徑為 R的絕緣圓筒與 N板相切 ， 切點(diǎn)處有一小孔 S。 把磁場(chǎng)圓周分為 n等份，粒子經(jīng) n－ 1次碰撞返回 A， 則有： 解： r = R tan α 2 n α ＝ 2π n = R tan ? 兩次碰撞間粒子運(yùn)動(dòng)時(shí)間： nRnvnvrt ??q tan)2( ??)5,4,3( ??n兩次碰撞間軌跡圓圓心角： nnn)2(2 ?? ???qnRvnntt ?? tan)2( ??總A O v R r O′ α θ C 思考： 上述解答是基于粒子在筒壁內(nèi)繞筒壁一周經(jīng) n次碰撞射出的情況，若粒子在筒壁內(nèi)繞筒壁一周不能射出呢？ ? ?121nknq ? ? ??? ??? ? ? ? ? ?11 2 1222nn mt T n kqBqq ?????? ? ? ? ? ?12 1kn k R nt vtan ??? ??將 B代入后可得 解：
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