第二章優(yōu)化設(shè)計(jì)的理論與數(shù)學(xué)基礎(chǔ)(參考版)
2025-08-04 13:02本頁面
【正文】 。 可知函數(shù) F（ x）為二次正定函數(shù)，如果按共軛方向 S1， S2，進(jìn)行兩次一維搜索就達(dá)到目標(biāo)函數(shù)的極小點(diǎn) x*。 解 ： ⑴ 第一個(gè)搜索方向 。 例題 2：設(shè)二維目標(biāo)函數(shù) ，給定方向 S1=e1， 初始點(diǎn) 。 二次收斂性是指一種算法，如果對(duì)于二次正定函數(shù)，從理論 上只要進(jìn)行有限次一維搜索 ， 就可以達(dá)到理論極小點(diǎn)，把這種算 法稱為具有 二階收斂性（二次收斂性） 或 有限步收斂法。 對(duì)于一般的二元二次正定函數(shù) ， 按其共軛方向進(jìn)行兩次搜索也必定達(dá)到函數(shù)的極小點(diǎn)。 若在切于橢圓的直線上取方向 S1，連接兩個(gè)切點(diǎn) ， 為方向 S2，則 S1， S2為共軛方向。 展開 函數(shù)值分別為 d1， d2的兩條等值線 Ⅰ ， Ⅱ ，方程為： 等值線任意點(diǎn)切線斜率為 ，可對(duì)上式求導(dǎo)而得， 則切線斜率為 過點(diǎn) 橢圓切線斜率分別記為 K1， k2，則有： 當(dāng)所引的兩條直線平行，且切于等值線（橢圓 )于點(diǎn) , ,則該兩條切線斜率相等， k1=k2，即 ④ 分別將切點(diǎn) 與坐標(biāo)原點(diǎn)相連接，兩直線 ox1， ox2 的斜率分別記為 )1(x )2(x)1(1)1(201 xxk ?)2(1)2(202 xxk ?如果有 ，說明兩點(diǎn)連線必通過坐標(biāo)原點(diǎn) o（橢圓中心） 將式④寫成 0201 kk ?或 將上式展開整理后得 由于函數(shù) F（ x1， x2）是二次齊次函數(shù)，圖形為橢圓，所以 ，則必有 。 二元二次正定目標(biāo)函數(shù)的等值線為一組同心的橢圓，其 中心是函數(shù)的極小點(diǎn) 。 可以得出結(jié)論： 當(dāng)矢量系中矢量的數(shù)目超過 設(shè)計(jì)空間的維數(shù)時(shí)，矢量系必線 性相關(guān) 非零矢量構(gòu)成的正交矢量系 必線性獨(dú)立。例如二維平面的三個(gè)矢量 取一組系數(shù) α 1=1， α 2=1/4， α 3=1，使 矢量系 {Si}（ i=1， 2， 3）是線性相關(guān)的，由下圖說明 將 S3用 S1與 S2的線性組合表示為 可見，同一平面上任意三個(gè)矢量必定線性相關(guān)。 任意兩個(gè)矢量 S1與 S2，如果它們是共線的，則矢量 S1 與 S2必線性相關(guān)。 對(duì)于矢量系的線性獨(dú)立問題簡(jiǎn)述如下 : 設(shè)有非零矢量系： S1， S2……S n，若存在一組不全為 零的實(shí)數(shù) α1， α 2， …… α n， 使 成立，則該矢量系稱為 線性相關(guān)矢量系 。 對(duì)于由 k個(gè)非零矢量 S1， S2……S k組成的矢量系 {Si}，若 存在著 i
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