mheaaa113-三個(gè)正數(shù)的算術(shù)--幾何平均不等式-課件(人教a選修4-5)(參考版)
2024-08-04 13:41本頁面
【正文】 (2sin2θ ＋ c os2θ ＋ c os2θ3)3＝k2108. 當(dāng)且僅當(dāng) 2sin2θ ＝ c os2θ 時(shí)取等號， 即 tan2θ ＝12， tan θ ＝22. ∴ h ＝ 2t an θ ＝ 2 .即 h ＝ 2 時(shí)， E 最大． 本題獲解的關(guān)鍵是在獲得了 E ＝ k c os2θ c os4θ ＝k232sin θ c os2θ4(0 θ π2) ． ∴ E2＝k216x212? x － 1 ? bc－ 3 ＝ 6 － 3 ＝ 3. 當(dāng) 且僅當(dāng) a ＝ b ＝ c 時(shí)取等號． (1)不等式的證明方法較多，關(guān)鍵是從式子的結(jié)構(gòu)入手進(jìn)行分析． (2)運(yùn)用三個(gè)正數(shù)的平均值不等式證明不等式時(shí)，仍要注意 “一正、二定、三相等 ”，在解題中，若兩次用平均值不等式，則只有在 “相等 ”條件相同時(shí)，才能取到等號． 1. 設(shè) a 、 b 、 c ∈ R ＋ ，求證： ( a ＋ b ＋ c )??????1a ＋1b ＋1c ≥ 9. 證明： ∵ a ， b ， c ∈ R＋時(shí)， a ＋ b ＋ c ≥ 3 3abc ， 1a＋1b＋1c≥ 3 31abc. ∴ ( a ＋ b ＋ c )??????1a＋1b＋1c≥ 9. 當(dāng)且僅當(dāng) a ＝ b ＝ c 時(shí)，等號成立． 證明： 因?yàn)?a 1 是正數(shù)，根據(jù)三個(gè)正數(shù)的平均不等式，有 2 ＋ a 1＝ 1 ＋ 1 ＋ a 1 ≥ 33a 1 . 同理 2 ＋ a j≥ 3 3a j ( j＝ 2,3 ， ? n ) ． 將上述各不等式的兩邊分別相乘即得 2．已知 a1， a2， … ，
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