第七章全同粒子16771交換對稱(參考版)
2024-07-31 13:13本頁面
【正文】 ? 2) N個自旋為 1/2的無相互作用的全同粒子受外勢 作用，求以平面波為基時的哈密頓算符的二次量子化形式，指出相應(yīng)產(chǎn)生與湮沒算符滿足的基本關(guān)系，并利用微擾法給出基態(tài)能量。1 , ,2239。)的極限，得： 1 2 2 1122 2 2^39。,2 2 2424422k q p q p kk p qk q p q p k k p p kk p q k pea a a aVqeea a a a a a a aV q V? ? ? ???? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ???????????? ? ? ?????????? ? ? ?H 的 最 后 一 項(xiàng) ：1 1 2 2 1 2122222 2 2 2^^2 2 24()24 4 4()2 2 2k k p p k pkpea a a aVe e N e NNNV V V? ? ? ? ? ???????? ? ?? ? ??? ?? ? ? ???由于： 第一項(xiàng)與上面 H的第一項(xiàng)相消 考慮先 L－ ∞后 181。239。239。2 3 32 22 3 3 221 ( ) ( 39。0],[],[七、應(yīng)用例子：簡并電子氣（均勻正電背景中運(yùn)動的電子氣） e l b e l bH H H H ?? ? ? 2 21122ijrrNNieli i j ijP eHem rr??????? ???39。 粒子的統(tǒng)計性和算符性質(zhì)包含于產(chǎn)生和湮滅算符中 : i|T|j和 ij|V|kl是 c數(shù)。0001 ???? ? iiiiiiii kakaaakk00 ,0 ?? iijji aka ?00 ???? ?? ijji aaaa 0],[ ,0],[ ?? ???? jiji aaaa...... 2121 nnaannc ii?? ijjijiji aaaaaa ???? ?????? ],[ 。 39。1 1 2 239。 39。 39。 39。39。39。39。39。 39。 39。39。39。39。39。 用單粒子定態(tài)波函數(shù)的完備集合或完備基 (依問題而定、不含時間 )展開多粒子波函數(shù) (理論上是嚴(yán)格的 )： Ek：單粒子量子數(shù)集合（如 nlmms) 全同性的充分 +必要條件： 充分性 可通過代入得到證明； 必要性 則可通過上式投影出特定系數(shù)及波函數(shù)的交換對稱性證明。 3. 格林函數(shù) ：包含基態(tài)能量及其熱力學(xué)函數(shù)、激發(fā)態(tài)能量、壽命和對外擾的線性響應(yīng)等物理信息，可用 FeynmanDyson微擾理論和 Feynman圖、 Feynman規(guī)則求得。此外，?？勺骱侠淼奈锢斫茖⒍瘟孔踊茴D算符簡化為二次形式而有嚴(yán)格解。 39。 交換積分 /作用 ? 對激發(fā)態(tài)（如 (1s)(nlm)，全同性效應(yīng)顯著 ? ? 單態(tài)能量高、三態(tài)能量低（洪德規(guī)則） ? 可見交換對稱性使得對于 H與自旋無關(guān)的體系，其能級卻與自旋態(tài)有關(guān) 100212 ( , nlmE E E EeE I Jr? ? ? ?? ? ? ? ? 對 應(yīng) 于 自 旋 單 態(tài) ， “ ” 對 應(yīng) 于 自 旋 三 態(tài) ）222331 2 1 0 0 1 212( ) ( ) n l m eI d x d x x x r??? ? 為 庫 倫 （ 直 接 ） 積 分23 3 * *1 2 1 0 0 1 2 1 0 0 2 112( ) ( ) ( ) ( ) n l m n l meJ d x d x x x x xr? ? ? ?? ? 為 交 換 積 分 0磁性的海森堡模型 ? 由于 ? 可將上述不同自旋態(tài)能量差改寫為： ? 對屬于相鄰原子的電子間交換作用，也可用相似關(guān)系描述。 氦原子 ? 把電子間相互作用看著微擾并考慮 (1s)(nlm)態(tài) ? ? 0階能量： ? 利用 ? 和 ? 可得 1階微擾能量修正 122012 1 2 1 211 ( c o s )2 c o sllllr Prrr r r r ?????? ????? ?22 2 2 2121 2 1 222=22pp e e eHm m r r r? ? ? ?1 2 03( ) /1 0 0 1 1 0 0 2 0 0 0 030 ( Z = 2 ) , Z r r aZx x ea? ? ? ?? ???基 態(tài) 為 ( ) ( )1 2 100 1 2 100 2 11( , ) [ ( ) ( ) ( ) ( ) ] , 2 nlm nlmx x x x x x?
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