【正文】 2,1( ?? ji如圖，設(shè)各個部件的使用壽命 服從相同的指數(shù)分布 求儀器使用壽命的概率密度。Zfz???? ? ?? ??Zfz 0. ,2 λzλ ze0z?0z ?? ? ,? ? 0 z λ x μ ( z x )Zfz λ e μ e d x? () μ z λ zλ μ e e .λ μ( ) , μ z λ zλ μ e eλ μ? ???? ???Zfz0z ?0z?0. 55 47: ( = 1 ) = ( 0 , 1 ) + ( 1 , 0 ) + ( 1 , 1 ) = 0 . 0 4 ,P U p p p,( = 0 ) = ( 0 , 0 ) = 0P U p0 , 1 , 2 , 3 , 4 , 5 .U 的 所 有 可 能 取 值 :1 ) : ( ) ,U = m a x X , Y( = 5 ) = ( 0 , 5 ) + ( 1 , 5 ) + ( 2 , 5 ) + ( 3 , 5 ) = 0 . 2 8 。.。.。?2 33 2 z z。?2 33 2= z z當 時 , 23??z? ? ? ? 1 2 [ 2 ( ) ]Z zf z z x d x。????1 , 0 1()0, 其 它 .??Xxfx??? ???01( ) 2 1 20.Yyyf y y y????其 它Y 在區(qū)間 上服從辛普森分布 : ? ?0,2解 ? ? ? ? ,??? ? ()Z X Yf z f x f z x d x??z x o z = x1z = x +2z = x +3211當 時 , 03或??zz ? ? 。ze( 1) .zee? ????? ????Zfz0 0 ? ??z0?zz??1xzO 1z = x51 45: 設(shè)隨機變量 X 與 Y 獨立，并且 X 在區(qū)間 上服從 求 :隨機變量 Z=X+Y 的概率密度。0?zf Z當 0 ? ? ?z 時， ? ? ?? ? ?? ()0 1 1 。????1 , 0 1()0, 其 它 .??Xxfx 和 。11 10 , 1 , 2 ,n iiiXnp i = C p q , i = n試證明它們的和 Z = X + Y 也服從二項 分布。,?? ??2 0 2 00ye x yf x , y ? ? ?其 它 。????22 , 0() 0 , 0 .yYeyfyy??又 X 與 Y 獨立， 所以 (X,Y)的聯(lián)合概率密度 。 2)P(X≤Y). 解 : 則其概率密度 : 。 Y X 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 1/36 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1/36 1/36 1/36 1/36 1/36 2/36 1/36 1/36 1/36 1/36 1/36 1/36 3/36 1/36 1/36 4/36 1/36 1/36 5/36 6/36 解 即 ).6,2,1,(,36,361),( jijijiijijYiXP ???????????? ?44 39. 設(shè)二維隨機變量（ X,Y）在矩形域 dycbxa ???? ,上服從均勻分布，求（ X,Y）的概率密度及邊緣概率密度。設(shè)隨機變量 X及 Y分別表示投入第一個及第二個盒 子球的個數(shù)，求 (X,Y)的概率分布及邊緣分布。0 2)2(22 12 2yyeykkyfkykkY35 33 點隨機地落在中心在原點、半徑為 R的圓周上，并且對弧長 是均勻分布，求這點的橫坐標的概率密度 . 解 MX AAMH 表示弧長設(shè)隨機變量的密度函數(shù)為則 H其它R2s0 021)( ?????????? Rsf,點的橫坐標表示用隨機變量 MXRHRX c o s?則)c o s()()( xRHRPxXPxF X ????的分布函數(shù)，隨機變量對于任意的實數(shù) Xx)|(| Rx ?)]a r c c o s2(a r c c o s[ RxRHRxRP ???? ?36 ? ?? )a r c c o s2(a r c c o s 2RxRRxR Rds?? )a r c co s(1Rx?? ??的分布函數(shù)為所以，隨機變量函數(shù) X的概率密度為隨機變量函數(shù) XRxRxRRxRxxF X?????????????1 )a r c c o s(10)( ??其它RxRxRxf X??????????0 1)( 22?37 34 .)(),(0的概率大于，求它的自由運行時間的概率等于碰撞這段時間內(nèi)與其他分子其它分子碰撞，而在以前不與它在時刻時與另一分子碰撞后，氣體分子在ttotttttt???????解 ，它是一隨機變量設(shè)自由運行時間為 X的函數(shù)，它是，設(shè)為要求 ttptXP )()( ?)()|( tottXttXP ???????? ?由已知，)|( tXttXP ????而)()(tXPttXtP??????)()()(tXPttXPtXP???????)()()(tpttptp ???? )( tot ?????dttp tdp ???)( )(1)0( ?ptetp ???)(38 36 一批 產(chǎn)品中有 ,a 件正品 , b 件次品 . 從中任意抽取 一件 ,共取兩次 ,抽樣方式 : (1) 放回抽樣 。0,1 1 xxexfxX當當)( ??? yXP ? ? ????y x dxe01 1的分布函數(shù)，隨機變量對于任意的實數(shù) Yy00 0)( 1???????????yyeyyfyY?????34 31 解 分布的服從自由度為設(shè) 2?kX)()()( ykXPyYPyF Y ???? ? ??? 2 )(ky X dxxfkykyfyf Y 2)()( 2 ???的概率密度為所以， kXY ?)( 2kyXP ??的分布函數(shù)，隨機變量對于任意的實數(shù) Yy.的概率密度求隨機變量函數(shù) kXY ?? ????????????????????.0 0。( ) ( )22YX yyf y f ,? ? ? ?12 2 2 2yy30 因隨機變量 X的取值區(qū)間為 :[0,1], 2 = 1 YX所以 的取值區(qū)間為 :[0,1]. 0?y當 時 2 ( ) 0YF y = ,y??當 時 2 ( ) 1YF y = ,0 ? ? ?y當 時 ??=2y xdx???2( ) ( )YF y = P X y? ? ? .?? 1 2= 2 2y x d x y y???????2()YF y = 22 y y0?y0 y??1 0 ? ? ?y?????2()Yf y =2(1 )y0 0 ? ? ?y其它 2) 對任意實數(shù) y , 隨機變量 的分布函數(shù)為 : 2Y2 2( ) ( ) ( 1 ) = ( )YF y = P Y y = P X y P X y? ? ? ? ?31 3) 對任意實數(shù) y , 隨機變量 的分布函數(shù)為 : 3Y323( ) ( ) ( )YF y = P Y y = P X y??因隨機變量 X的取值區(qū)間為 :[0,1], 23 =YX所以 的取值區(qū)間為 :[0,1]. 0?y當 時 3 ( ) 0YF y = ,y??當 時 3 ( ) 1YF y = ,0 ? ? ?y當 時 3 ( ) ( )YF y = P X y? ??=2y x d x y .??????3()YF y = y0?y0 y??1 0 ? ? ?y ???3 ()Yf y =10 0 ? ? ?y其它 32 29. 設(shè)隨機變量 X的概率密度為 ? ? ? ? ,000122?????????