第六講函數(shù)與方程(參考版)
2025-07-02 17:08本頁面
【正文】 歡迎下載。結(jié)合這些圖像特征解決有關(guān)二次函數(shù)的問題，可以化難為易，形象直觀。（1）二次函數(shù)的一般式中有三個(gè)參數(shù). 解題的關(guān)鍵在于：通過三個(gè)獨(dú)立條件“確定”這三個(gè)參數(shù)。2．學(xué)習(xí)二次函數(shù)，可以從兩個(gè)方面入手：一是解析式，二是圖像特征. 從解析式出發(fā)，可以進(jìn)行純粹的代數(shù)推理，這種代數(shù)推理、論證的能力反映出一個(gè)人的基本數(shù)學(xué)素養(yǎng)；從圖像特征出發(fā)，可以實(shí)現(xiàn)數(shù)與形的自然結(jié)合，這正是中學(xué)數(shù)學(xué)中一種非常重要的思想方法. 本文將從這兩個(gè)方面研究涉及二次函數(shù)的一些綜合問題。點(diǎn)評(píng)：緊扣二次函數(shù)的頂點(diǎn)式對(duì)稱軸、最值、判別式顯合力。問題轉(zhuǎn)化為：對(duì)恒成立. 即 對(duì)恒成立. （*）故必有.（否則，若，則關(guān)于的二次函數(shù)開口向下，當(dāng)充分大時(shí)，必有；而當(dāng)時(shí)，顯然不能保證（*）成立.），此時(shí)，由于二次函數(shù)的對(duì)稱軸，所以，問題等價(jià)于，即，解之得：。解析：(1)(2)設(shè)的圖像上一點(diǎn)，點(diǎn)關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)為，由點(diǎn)Q在的圖像上，所以 ，于是 即 （3）。例16．已知函數(shù)。因此，原不等式的解集為。解析：(Ⅰ)設(shè)函數(shù)的圖象上任意一點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)為，則∵點(diǎn)在函數(shù)的圖象上∴(Ⅱ)由當(dāng)時(shí)，此時(shí)不等式無解。題型8：二次函數(shù)的綜合問題例15．（2005浙江文20）已知函數(shù)和的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，且。當(dāng)時(shí)，f(x)最小值為。綜上，當(dāng)時(shí)，f(x)最小值為。若，則f(x)在[a,+∞]上單調(diào)遞增。點(diǎn)評(píng)：本題雖小，但一定要細(xì)致觀察圖象，注意細(xì)微之處，獲得解題靈感。題型7：二次函數(shù)的圖像與性質(zhì)例13．（1996上海，文、理8）在下列圖象中，二次函數(shù)y=ax2+bx與指數(shù)函數(shù)y=（）x的圖象只可能是（ ）解析一：由指數(shù)函數(shù)圖象可以看出0=a（x+）2－，其頂點(diǎn)坐標(biāo)為（－，－），又由01，可得－－，可選A。點(diǎn)評(píng)：研究的性質(zhì)，最好能夠得出其解析式，從這個(gè)意義上說，應(yīng)該盡量用已知條件來表達(dá)參數(shù). 確定三個(gè)參數(shù)，只需三個(gè)獨(dú)立條件，本題可以考慮，這樣做的好處有兩個(gè)：一是的表達(dá)較為簡潔，二是由于正好是所給條件的區(qū)間端點(diǎn)和中點(diǎn)，這樣做能夠較好地利用條件來達(dá)到控制二次函數(shù)范圍的目的。 （1）若，則在上單調(diào)，故當(dāng)時(shí)，∴ 此時(shí)問題獲證. （2）若，則當(dāng)時(shí)， 又，∴ 此時(shí)問題獲證。由時(shí)，有，可得 。點(diǎn)評(píng)：本題中，所給條件并不足以確定參數(shù)的值，但應(yīng)該注意到：所要求的結(jié)論不是確定值，而是與條件相對(duì)應(yīng)的“取值范圍”，因此，我們可以用來表示。題型6：一元二次函數(shù)與一元二次不等式例11．設(shè)，若，, 試證明：對(duì)于任意，有?！?，等價(jià)于或,即 或解之得 或。（1）由及，可得 ，即，即兩式相加得，所以，；（2）由, 可得 。點(diǎn)評(píng)：在已知方程兩根的情況下，根據(jù)函數(shù)與方程根的關(guān)系，可以寫出函數(shù)的表達(dá)式，從而得到函數(shù)的表達(dá)式。證明：由題意可知，,∴ ,∴ 當(dāng)時(shí)。點(diǎn)評(píng)：①第一步確定零點(diǎn)所在的大致區(qū)間，可利用函數(shù)性質(zhì)，也可借助計(jì)算機(jī)或計(jì)算器，但盡量取端點(diǎn)為整數(shù)的區(qū)間，盡量縮短區(qū)間長度，通?？纱_定一個(gè)長度為1的區(qū)間；②建
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