【正文】 Probability Letters , 2001,55:439449.[37] T. Alberts, . Karunamuni. A semiparametric met。在此我向你們表示最衷心的感謝。沒(méi)有你們就不會(huì)有我的今天,謝謝你們，我的父親母親！其次，我要感謝我的導(dǎo)師在我論文寫(xiě)作時(shí)對(duì)我的悉心指導(dǎo)和諄諄教誨，沒(méi)有老師的指點(diǎn)和幫助這篇論文就不可能順利完成！同時(shí)我要感謝測(cè)繪系的所有老師，沒(méi)有你們的辛勤勞動(dòng)，就沒(méi)有我們今日的滿(mǎn)載而歸，感謝測(cè)繪系所有同學(xué)對(duì)我的關(guān)懷和幫助，在這四年中，是你們讓我感受到了家的溫暖。首先要感謝生我養(yǎng)我，含辛茹苦的父母。主要如下：（1）本文只是研究了這兩種半?yún)?shù)核估計(jì)方法，對(duì)于其他的核估計(jì)方法還沒(méi)研究到，這也是本文欠缺的地方，以后還有待于研究；（2）不管是本文中的哪個(gè)算例，都是基于小數(shù)據(jù)量的，操作執(zhí)行起來(lái)都還算可以，比較方便，但是對(duì)于大樣本的數(shù)據(jù)，在人工整理這方面都很有難度，如何更高效直接的管理這些數(shù)據(jù)也是以后要研究的問(wèn)題；（3）目前對(duì)半?yún)?shù)核估計(jì)理論的應(yīng)用研究還較少，本文只是將其應(yīng)用到重力異常的估計(jì)中，其他還有很多方面沒(méi)有涉及到，若要解決一些實(shí)際問(wèn)題，還要解決很多問(wèn)題，例如如何選取核函數(shù)才能使估計(jì)結(jié)果最佳，對(duì)于窗寬參數(shù)的最佳選取等，這還需要進(jìn)一步研究。（5）將半?yún)?shù)核估計(jì)平差模型進(jìn)行了應(yīng)用研究，主要是提取系統(tǒng)誤差和包含系統(tǒng)誤差的測(cè)量數(shù)據(jù)處理，采用半?yún)?shù)最小二乘核估計(jì)，對(duì)重力測(cè)量數(shù)據(jù)進(jìn)行處理，效果很顯著，能夠準(zhǔn)確估計(jì)重力異常，證明半?yún)?shù)核估計(jì)在實(shí)際應(yīng)用中也是有效的。同時(shí)對(duì)最小二乘核估計(jì)和偏核光滑估計(jì)的結(jié)果進(jìn)行對(duì)比，可以看出最小二乘核估計(jì)的應(yīng)用范圍更廣一些，基本都能達(dá)到預(yù)期的結(jié)果；但是對(duì)于多維的，相互之間關(guān)系較復(fù)雜的數(shù)據(jù)，偏核光滑估計(jì)的估計(jì)結(jié)果才達(dá)到了理論推導(dǎo)出來(lái)的結(jié)果。（2）本文研究了半?yún)?shù)核估計(jì)中窗寬參數(shù)對(duì)估計(jì)結(jié)果的重要影響，以及快速確定窗寬的方法，MSE法，CV法和GCV法。因此，對(duì)于本文而言，選用的模型是基于外延預(yù)測(cè)的半?yún)?shù)平差模型，此模型能夠很好的探測(cè)粗差并將其剔除，選用的估計(jì)方法是半?yún)?shù)核估計(jì)，然后進(jìn)行統(tǒng)計(jì)、分析、模擬等等，具有很好的理論意義和很大的實(shí)用價(jià)值。結(jié)果如下：常規(guī)求解坐標(biāo)轉(zhuǎn)換參數(shù)的模型會(huì)產(chǎn)生較大的系統(tǒng)誤差,而半?yún)?shù)核估計(jì)可以有效的消除系統(tǒng)誤差影響,提高轉(zhuǎn)換精度,在坐標(biāo)轉(zhuǎn)換方面有很大的應(yīng)用前景。假設(shè)全球坐標(biāo)系的132=169個(gè)點(diǎn)均勻地落在正方形區(qū)域內(nèi)，即全球坐標(biāo)已知，局部坐標(biāo)是在全球坐標(biāo)系基礎(chǔ)上經(jīng)過(guò)扭曲變形、平移和旋轉(zhuǎn)、添加噪聲等過(guò)程而得到，假設(shè) ，（其中）。簡(jiǎn)單的Helmert變換不能滿(mǎn)足實(shí)際需要，可以將系統(tǒng)扭曲當(dāng)作非參數(shù)部分增加到上述變換中，即其向量形式可表示為，這是一個(gè)半?yún)?shù)模型。 在坐標(biāo)系換算中的應(yīng)用有兩個(gè)坐標(biāo)系：一個(gè)是精度較低的局部坐標(biāo)系，另一個(gè)是精度較高的全球坐標(biāo)系。而且只要觀(guān)測(cè)值很精確，則該法對(duì)非參數(shù)分量估計(jì)更可靠，從而提高參數(shù)估計(jì)的精確度，達(dá)到數(shù)據(jù)處理的最終目的?？偨Y(jié)可以得出結(jié)論：當(dāng)存在系統(tǒng)性模型誤差時(shí)，參數(shù)回歸方法有偏，其殘差不滿(mǎn)足正態(tài)分布特性，平差結(jié)果往往不準(zhǔn)確。44中紅色為模擬系統(tǒng)誤差，藍(lán)色為最小二乘核估計(jì)估計(jì)的系統(tǒng)誤差。 圖42：真實(shí)值與觀(guān)測(cè)值的關(guān)系 圖43：殘差模擬圖 圖44：系統(tǒng)誤差模擬圖 圖45：殘差模擬圖 下面對(duì)上圖進(jìn)行分析：42為觀(guān)測(cè)的真實(shí)值與觀(guān)測(cè)值關(guān)系，從圖可知，一維觀(guān)測(cè)向量的觀(guān)測(cè)值受周期函數(shù)的影響。（3）從偏核光滑估計(jì)與最小二乘核估計(jì)的偏差結(jié)果可以驗(yàn)證算例1中所得到的結(jié)論，偏殘差估計(jì)比較而言,最小二乘核估計(jì)要優(yōu)于偏核光滑估計(jì),兩種核估計(jì)其參數(shù)偏差前者大于后者,而且偏核光滑估計(jì)的參數(shù)偏差隨窗口參數(shù)的增大而明顯增大。（2）半?yún)?shù)核估計(jì)擬合曲線(xiàn)的光滑度與擬合效果取決于窗口參數(shù)與樣木的大小以及和采樣點(diǎn)的間隔大小有關(guān)。本算例運(yùn)用半?yún)?shù)最小二乘核估計(jì)和偏核光滑對(duì)算例進(jìn)行估計(jì)，核權(quán)函數(shù)取，同時(shí)采用樣條估計(jì)對(duì)其進(jìn)行比較計(jì)算，計(jì)算結(jié)果如圖41，參量估計(jì)見(jiàn)表41。隨著的增大，X的估計(jì)值也一直呈遞增的趨勢(shì)，所以X的最佳估值是在取最小值時(shí)取得。（3）在此算例中，對(duì)于偏核光滑估計(jì)，在核函數(shù)和樣本確定的情況，在矩陣固定不變的時(shí)候，情況比較復(fù)雜，窗寬參數(shù)的取值隨著的變化在變化，但是只要選定了和值，窗寬參數(shù)的最小取值也已經(jīng)確定。計(jì)算結(jié)果結(jié)果如表21所示：表21：最小二乘核估計(jì)與偏核光滑估計(jì)結(jié)果對(duì)比 h xkh xg 21 21 21 21表22：幾種估計(jì)方法計(jì)算結(jié)果比較估計(jì)方法X其他補(bǔ)償最小二乘估計(jì)最小二乘核估計(jì)h=偏核光滑估計(jì)h=由上表所得的計(jì)算結(jié)果可得出結(jié)論：（1）在此算例中，半?yún)?shù)補(bǔ)償最小二乘估計(jì)的結(jié)果是，因此，最小二乘核估計(jì)優(yōu)于補(bǔ)償最小二乘估計(jì)，補(bǔ)償最小二乘估計(jì)又優(yōu)于偏核光滑估計(jì)，并且估計(jì)值基本都小于真實(shí)值。 模擬算例算例1：設(shè)，，在此算例中，觀(guān)測(cè)值的權(quán)陣選取單位權(quán)，服從標(biāo)準(zhǔn)的正態(tài)分布。同時(shí)通過(guò)算例對(duì)比了最小二乘核估計(jì)和偏核光滑估計(jì)得到估計(jì)結(jié)果，比較這兩種不同估計(jì)方法各自的優(yōu)越性。故一般說(shuō)來(lái)，模擬是必須的，尤其對(duì)一種新方法或新方法的早期階段而言。半?yún)?shù)模型估計(jì)能夠很好的處理系統(tǒng)誤差和粗差，并且能分離出系統(tǒng)誤差和粗差，提供更加可靠的解算成果。但在當(dāng)今高精度的自動(dòng)化數(shù)據(jù)采集中，粗差經(jīng)常會(huì)混入數(shù)據(jù)中，嚴(yán)重的歪曲測(cè)量值，因此在數(shù)據(jù)處理中應(yīng)該將含有粗差的觀(guān)測(cè)量的數(shù)據(jù)剔出。如設(shè)備的故障，讀數(shù)、記錄、計(jì)算等過(guò)程的明顯錯(cuò)誤等。通常的說(shuō)，粗差要比偶然誤差要大上好幾倍。對(duì)系統(tǒng)誤差的處理，主要是消除系統(tǒng)誤差，其途徑主要有：（1）從根源上消除系統(tǒng)誤差；（2）在測(cè)量過(guò)程中采取措施，避免把系統(tǒng)誤差帶入測(cè)量數(shù)據(jù)；（3）設(shè)法掌握系統(tǒng)誤差的變化規(guī)律，建立數(shù)學(xué)模型，采用統(tǒng)計(jì)方法進(jìn)行估計(jì)補(bǔ)償?shù)?。判定系統(tǒng)誤差，主要是對(duì)殘差進(jìn)行分析，利用殘差構(gòu)造各種統(tǒng)計(jì)量來(lái)分析，稱(chēng)之為模型殘差檢驗(yàn)法。系統(tǒng)誤差的識(shí)別常用的方法有對(duì)比法、殘差圖觀(guān)察法、模型殘差檢驗(yàn)法。比如在水平角觀(guān)測(cè)當(dāng)中，對(duì)于水平折光誤差、目標(biāo)成像質(zhì)量影響、照準(zhǔn)目標(biāo)相位差及視準(zhǔn)軸受溫度變化等引起的系統(tǒng)誤差，我們當(dāng)前的做法是分析其產(chǎn)生的原因、找出其性質(zhì)和規(guī)律并提出減弱措施。在相同的觀(guān)測(cè)條件下作一系列的觀(guān)測(cè)，如果誤差在大小、符號(hào)上表現(xiàn)出系統(tǒng)性，或者在觀(guān)測(cè)過(guò)程中按一定的規(guī)律變化，或者為某一常數(shù)，這種誤差稱(chēng)為系統(tǒng)誤差。廣義交叉核實(shí)法是以平均值代替，因此式（334）可以表達(dá)為： （335）本文主要是將廣義交叉核實(shí)法應(yīng)用于半?yún)?shù)核估計(jì)中，估計(jì)相應(yīng)的窗寬參數(shù)，根據(jù)這五種半?yún)?shù)核估計(jì)的公式，以及，的計(jì)算過(guò)程見(jiàn)本章第三節(jié)，因此廣義交叉核實(shí)法的表達(dá)式可以簡(jiǎn)化為： （336）在選取窗寬參數(shù)時(shí)，只要使?jié)M足如下條件，即： （337）第四章 算例分析偶然誤差，系統(tǒng)誤差和粗差是現(xiàn)代測(cè)量數(shù)據(jù)處理中主要研究誤差。假設(shè)是觀(guān)測(cè)值的估計(jì)值，對(duì)于給定的合適的窗寬參數(shù)，理論上來(lái)說(shuō)是一個(gè)較小的值，如下所示： （334）在半?yún)?shù)估計(jì)中，雖然可以使達(dá)到最小，但不能保證有唯一的最小值，而且計(jì)算量非常大，在實(shí)際的計(jì)算中難以實(shí)現(xiàn)。根據(jù)式（313）和式（331），建立兩種核估計(jì)的參數(shù)分量均方誤差同窗寬參數(shù)的函數(shù)關(guān)系，當(dāng)均方誤差取即最小值時(shí)，此時(shí)的即為選取的最佳窗寬。 最小均方誤差法 由于窗寬參數(shù)的變化不能同時(shí)使估計(jì)量偏差和方差變小，所以選擇均方誤差作為選取窗寬參數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)。這些方法的共同的思想就是以窗寬為自變量，以例如均方誤差、積分均方誤差、積分平方誤差等為因變量，根據(jù)公式，確定自變量和因變量的函數(shù)關(guān)系圖象，根據(jù)圖像可以直觀(guān)地確定的最佳選擇值。雖然有了這些結(jié)果，不過(guò)它的缺點(diǎn)是很明顯的，它不是數(shù)據(jù)驅(qū)動(dòng)的，僅僅決定于樣本量，不管觀(guān)察數(shù)據(jù)如何變化，窗寬選擇都不會(huì)改變，這就不能有效的利用得到的信息，在實(shí)際運(yùn)用中也不方便，所以窗寬的選擇最好能夠是基于觀(guān)測(cè)數(shù)據(jù)的?？傊?，不論窗寬參數(shù)如何變化，核估計(jì)量的方差和偏差不可能同時(shí)變小，所以，只能選取一個(gè)權(quán)衡值，保證偏差和方差都盡可能小，不能讓偏差或者方差過(guò)大。由第二章的分析可以得出，窗寬參數(shù)實(shí)際上是起到光滑因子的作用，它在模型與實(shí)際的接近程度和曲線(xiàn)的光滑程度之間進(jìn)行平衡，所以它的作用同補(bǔ)償最小二乘中的是一樣的，它的選擇是否得當(dāng)直接影響了估計(jì)量的最后結(jié)果的好壞。167。 半?yún)?shù)偏核光滑估計(jì)量的性質(zhì)一、估計(jì)量的方差根據(jù)第二章半?yún)?shù)偏核光滑估計(jì)式（226）和式（227），設(shè)，則偏核光滑估計(jì)量可以簡(jiǎn)化為： （319） （320）式（319）和式（320）的數(shù)學(xué)期望為以下，由于，則有： （321） （322） （323）二、估計(jì)量的偏差 同最小二乘核估計(jì)相同，偏核光滑估計(jì)也是有偏估計(jì)。根據(jù)式（33），可推出半?yún)?shù)最小二乘核估計(jì)的參數(shù)分量偏差如下： （36）和式（34），可推出最小二乘核估計(jì)的非參數(shù)分量偏差如下： （37）三、估計(jì)量的方差方差的定義式為 （38）模型為，根據(jù)式（31）、式（33）和方差定義式解得半?yún)?shù)最小二乘核估計(jì)參數(shù)分量的方差為： （39） （310）在式（310）中。，這兩種核估計(jì)的非參數(shù)分量和參數(shù)分量的結(jié)果都是有偏的。 最小二乘核估計(jì)估計(jì)量的性質(zhì)一、估計(jì)量的期望根據(jù)第二章最小二乘核估計(jì)結(jié)果（217）和式（218），設(shè)，此時(shí)最小二乘核估計(jì)非參數(shù)分量和參數(shù)分量的結(jié)果可以分別簡(jiǎn)化為： （31） （32）則式（31）和式（32）的數(shù)學(xué)期望為，由于，則有： （33） （34） （35）二、估計(jì)量的偏差有偏估計(jì)是針對(duì)無(wú)偏估計(jì)來(lái)說(shuō)的，就是指未知參數(shù)與其估值的數(shù)學(xué)期望不滿(mǎn)足；而經(jīng)典平差模型的結(jié)果都是無(wú)偏估計(jì)。這些統(tǒng)計(jì)性質(zhì)是平差模型的精度評(píng)定，模型的適用范圍確定等問(wèn)題的依據(jù)和基礎(chǔ)。在第二章中，不管是通過(guò)理論推導(dǎo)還是算例，都證明窗寬參數(shù)的選取的恰當(dāng)與否直接影響了估計(jì)結(jié)果的準(zhǔn)確度和精確度，因此，在半?yún)?shù)核估計(jì)中，窗寬參數(shù)的選取很重要。，但最終都是基于最小二乘準(zhǔn)則下的對(duì)半?yún)?shù)模型所作的理論方法研究，所以從某些意義上來(lái)說(shuō)，最小二乘準(zhǔn)則是所有測(cè)量數(shù)據(jù)處理中應(yīng)用最為廣泛的原則，不管是何種平差模型，我們都將可以將其運(yùn)用最小二乘思想求解。有學(xué)者提出用特定的光滑矩陣替代式（228）中的帽子矩陣。167。 最小二乘核估計(jì) 兩步估計(jì)的典型例子是最小二乘核估計(jì)。如果選擇窗寬參數(shù)太小，核估計(jì)會(huì)出現(xiàn)比較大的干擾尤其是圖像尾部，這時(shí)就會(huì)有增大方差的趨勢(shì)；相反，如果選擇窗寬參數(shù)太大，經(jīng)過(guò)數(shù)學(xué)壓縮變換之后平均化作用就會(huì)顯得突出，結(jié)果是密度的細(xì)節(jié)部分便就淹沒(méi)了，我們?cè)趯?shí)際應(yīng)用中應(yīng)該根據(jù)實(shí)際情況來(lái)適當(dāng)?shù)倪x擇窗寬參數(shù)，來(lái)平衡前述討論的兩種不同情況。單從定義式來(lái)看，核估計(jì)在每一個(gè)觀(guān)察點(diǎn)都會(huì)一個(gè)“碰撞”。因?yàn)楹撕瘮?shù)的選取，對(duì)估計(jì)結(jié)果有很大影響。除上述核估計(jì)之外，還有其他形式的核權(quán)函數(shù)： == （25） == （26）在核估計(jì)中，如何確定核函數(shù)，一般要考慮實(shí)際應(yīng)用情況，是定義在上的概率密度函數(shù)，一般為以下九種函數(shù)： （27） （28） （29） （210） （211） （212） （213） （214） （215）觀(guān)察這九個(gè)核函數(shù)的定義式可以分析出核函數(shù)所具有的一般性質(zhì)：一是核函數(shù)是定義在上的可測(cè)實(shí)函數(shù)，且有上確界；二是核函數(shù)一般為某個(gè)隨機(jī)