【正文】 （3）對稱結(jié)構(gòu)承受對稱載荷時(shí)，在對稱軸的切口處只有對稱的內(nèi)力，而反對稱的內(nèi)力必為零。對稱系統(tǒng)的受力特性：（1）對稱結(jié)構(gòu)承受對稱載荷時(shí)，結(jié)構(gòu)的內(nèi)力和變形必然是對稱的。在對稱結(jié)構(gòu)上，如果所受的載荷，其大小、方向和作用點(diǎn)都對稱于系統(tǒng)的對稱軸（或?qū)ΨQ面），則稱這種載荷為對稱載荷，(a)所示。所謂對稱結(jié)構(gòu)，是指結(jié)構(gòu)的幾何形狀、元件的截面尺寸和構(gòu)件材料的彈性模量等均對稱于某一幾何軸線（或平面），此軸線（或平面）稱為對稱軸線（或?qū)ΨQ面）。 對稱系統(tǒng)的簡化計(jì)算在工程實(shí)際結(jié)構(gòu)中，經(jīng)常遇到對稱結(jié)構(gòu)。（2）求載荷狀態(tài)《P》和單位狀態(tài)《1》、《2》的內(nèi)力，(b)、(c)、(d)所示。[解]（1）該結(jié)構(gòu)有兩個(gè)“十”字形內(nèi)部結(jié)點(diǎn)，因此是K=2的靜不定薄壁結(jié)構(gòu)。 (a)所示平面薄壁結(jié)構(gòu)的內(nèi)力。將求得的系數(shù)代入典型方程，得解上述方程，求得多余未知力（5）用迭加原理求系統(tǒng)的內(nèi)力。（4）列典型方程，求解多余未知力。彎矩圖畫在構(gòu)件受壓一側(cè)，分別用MP、MMM3表示。用平衡條件分別求出載荷狀態(tài)《P》和各單位狀態(tài)《1》、《2》、《3》的內(nèi)力。將剛架沿對稱軸切開，即解除三個(gè)多余約束，得靜定的基本系統(tǒng)。[解]（1）該平面剛架為K=3的靜不定結(jié)構(gòu)。(a)所示平面剛架的內(nèi)力。（4）將上式系數(shù)代入典型方程()，得解典型方程，得多余未知力式中X1為負(fù)號，表示X1的實(shí)際方向與所假設(shè)的方向相反，即X1為壓力。（2）求《P》狀態(tài)的內(nèi)力NP、單位狀態(tài)《1》的內(nèi)力N1和單位狀態(tài)《2》的內(nèi)力N2,（b、c、d）所示。[解]（1）分析結(jié)構(gòu)的靜不定度，用鉸接三角形組成法可判斷該結(jié)構(gòu)為K=2的靜不定結(jié)構(gòu)。已知該桁架水平桿和垂直桿的截面面積均為f，斜桿的截面面積為。在疊加時(shí)應(yīng)按內(nèi)力圖進(jìn)行對應(yīng)疊加。（6）利用疊回原理，求出靜不定系統(tǒng)的真實(shí)內(nèi)力。（4）求影響系數(shù)δii和δij，求載荷系數(shù)ΔiP。（2）求出外載荷單獨(dú)作用下基本系統(tǒng)各元件的內(nèi)力NP（或MP、QP、qP……），即求出《P》狀態(tài)下的內(nèi)力，并作內(nèi)力圖。若多余未知力是軸力，則表示切口處相對位移等于零，即表示切口處兩截面始終貼合在一起；若多余未知力為力矩，則表示多余約束切口處剖面的相對轉(zhuǎn)角等于零；若多余未知力是剪力，則表示多余約束處剖面沒有橫向相對位移（剪切位移），即表示剖面不錯開；對于桿板式薄壁結(jié)構(gòu)，若把板的剪流作為多余未知力，則表示板四邊切口的相對剪切角等于零。稱為影響系數(shù)，稱為載荷系數(shù)（或稱為常數(shù)項(xiàng)）。根據(jù)位移互等定理，可知。根據(jù)力法的基本原理。二、力法典型方程及其系數(shù)這里以平面桁架為例說明力法典型方程的建立。對于桁架結(jié)構(gòu)，其內(nèi)力可表示為 ()式中NP為基本系統(tǒng)在外載作用下桿元件的內(nèi)力，稱為《P》狀態(tài)下的內(nèi)力。（4）利用平衡條件求出系統(tǒng)中各構(gòu)件內(nèi)力由于基本系統(tǒng)是靜定的，利用平衡條件，可分別求出基本系統(tǒng)在外載荷和多余未知力作用下的內(nèi)力。這樣可得到與多余未知力數(shù)目相等的協(xié)調(diào)方程，稱為力法典型方程。這樣才能保證外載作用下的靜不定系統(tǒng)等效于外載和基本未知力共同作用下的靜定的基本系統(tǒng)。這樣，原來在外載P作用下的靜不定系統(tǒng)已轉(zhuǎn)化為在外載P和多余未知力XX2…XK共同作用下的靜定系統(tǒng)。對于K度靜不定結(jié)構(gòu)，其多余約束未知內(nèi)力用XX2…XK表示。選取基本系統(tǒng)的原則：(a)基本系統(tǒng)必須是幾何不變的靜定系統(tǒng)，對于K度靜不定結(jié)構(gòu)，必須切斷K個(gè)多余約束，而且必須在確定“多余”的地方切斷；(b)選取的基本系統(tǒng)必須使計(jì)算盡可能簡單。由于多余約束可以有不同的取法，因此，對于同一靜不定系統(tǒng)，可以選取不同形式的基本系統(tǒng)。（2）選取基本系統(tǒng)和基本未知數(shù)根據(jù)系統(tǒng)的靜不定度數(shù)，切斷系統(tǒng)中多余的約束（相當(dāng)于解除多余約束），這樣便得到一個(gè)幾何不變的靜定系統(tǒng)。一、力法的基本原理（1）首先分析并確定系統(tǒng)的靜不定度，即確定系統(tǒng)所具有的多余約束數(shù)K值。（3）混合法——在選取的基本未知數(shù)中，一部分取多余的約束力，另一部分取結(jié)構(gòu)的某些位移，利用平衡條件和變形協(xié)調(diào)條件混合求解。靜不定系統(tǒng)的解法，按照基本未知數(shù)的選取方法不同，一般可分為三種：（1）力法——選取多余約束的內(nèi)力（或反力）為基本未知數(shù)，利用平衡條件和變形協(xié)調(diào)條件，首先求出這些基本未知力，然后再求出結(jié)構(gòu)的其它內(nèi)力。所以，一般情況下，靜不定系統(tǒng)比靜定系統(tǒng)有較大的生存力，有較大的強(qiáng)度和剛度。3．因?yàn)橐米冃螚l件，所以，靜不定系統(tǒng)的內(nèi)力不僅與載荷有關(guān)，而且與變形有關(guān)，即與結(jié)構(gòu)的材料性能、元件截面及其幾何尺寸有關(guān)。2．靜不定系統(tǒng)的內(nèi)力只滿足靜力平衡條件的解可以有無窮多組，而同時(shí)又滿足變形一致條件的解則只有一個(gè)，這是唯一的解，也就是系統(tǒng)的真實(shí)解。靜不定系統(tǒng)和靜定系統(tǒng)比較，具有如下重要特性：1．靜不定系統(tǒng)是具有多余約束的幾何不變系統(tǒng)。系統(tǒng)的靜不定度K就等于該系統(tǒng)的多余約束數(shù)，即K=C－N。這樣，使系統(tǒng)增加了“多余”約束，而變成靜不定系統(tǒng)。176。176。（3）開口盒段比封閉盒段的抗扭能力小得多。而開口盒段是靠緣條和復(fù)板組成的兩個(gè)側(cè)梁的相反方向彎曲（又稱參差彎曲）來承受扭矩。 （2）自由的封閉盒段靠縱向壁板的剪流來承受扭矩，與緣條面積無關(guān)。即原來的平面截面，在扭轉(zhuǎn)后，截面上的點(diǎn)會產(chǎn)生垂直于截面方面的位移。由兩例題計(jì)算結(jié)果如下表。顯然，只要在《P》狀態(tài)中令MT=1,即得《1》狀態(tài)，其內(nèi)力為根據(jù)位移公式，扭角為 (3)為求支柱14和23的相對扭角，其單位狀態(tài)《1》。取端肋作分離體，(b)所示，由平衡條件得由縱向桿的平衡，得桿端軸力《P》(c)所示。板厚度為t，桿截面積為f，材料的彈性系數(shù)為E、G。 (a)所示一端固支的四緣條盒段，上表面無壁板，在端肋上作用扭矩MT時(shí)所產(chǎn)生的扭角，并求支柱14和23的相對扭角。由于各桿12143的軸力為零，可知縱向各板剪流相等，用q1表示。顯然，只要在《P》狀態(tài)中，令MT=1，即得《1》狀態(tài)，因此得《1》狀態(tài)內(nèi)力 根據(jù)位移公式，可求得相對扭角因?yàn)榍蟮玫臑檎担硎九そ堑姆较蚺cMT方向一致。(c)所示。由零力桿端的判斷原則可知，盒段內(nèi)各桿軸力均為零。假設(shè)兩端肋在自身平面內(nèi)絕對剛硬，板的厚度為t，桿截面面積為A，材料的彈性系數(shù)為E、G。把它代入式（）就得到薄壁結(jié)構(gòu)彈性位移的計(jì)算公式如下 （）式中： —結(jié)構(gòu)在外力作用下處于平衡時(shí)點(diǎn)沿某方向的位移； 、—結(jié)構(gòu)元件在單位載荷作用下滿足平衡條件的內(nèi)力； —結(jié)構(gòu)元件在外力作用下既滿足平衡條件又滿足變形連續(xù)條件的真實(shí)內(nèi)力； —桿材料的彈性模量； —桿的截面面積； —板材料的剪切模量； —板的厚度； —板的長度； —板的平面面積。由于內(nèi)力總是與外力大小相等而方向相反，所以微元段的內(nèi)力在同一虛位移上所作的虛功應(yīng)為。例如求桿內(nèi)力的虛功，可由這桿上切出一微元段，微元段所受外力就是i狀態(tài)的內(nèi)力，而微元段所發(fā)生的虛位移就是p狀態(tài)的真實(shí)位移。 （） 可見，只要計(jì)算出i狀態(tài)的內(nèi)力在p狀態(tài)的位移上所作的虛功，位移就求出來了。這種滿足平衡條件的內(nèi)力狀態(tài)，稱為單位狀態(tài)，用i表示。用p表示。那么，與此內(nèi)力對應(yīng)的真實(shí)位移及也就知道了。 例如，我們要求點(diǎn)垂直向下的位移（下標(biāo)表示位移發(fā)生的地點(diǎn)，下標(biāo)表示位移發(fā)生的原因），就要在點(diǎn)處加一個(gè)與相應(yīng)的（現(xiàn)在是垂直向下）方向上加一單位載荷，（b）所示。 下面說明如何用單位載荷法求位移 設(shè)結(jié)構(gòu)在外力、作用下處于平衡，（a）虛線所示。這時(shí)式（）左邊的就是單位載荷作用處由外力引起的位移了。凡能滿足系統(tǒng)的變形連續(xù)條件和邊界條件的任何微小位移，都可選為虛位移。上式可改寫成該式說明：與單位載荷對應(yīng)的虛位移，在數(shù)值上與單位載荷引起的內(nèi)力所作的虛功總和相等但符號相反。設(shè)想結(jié)構(gòu)在一個(gè)單位載荷（其值等于一個(gè)單位的廣義力）作用下處于平衡，按照虛功原理，這一單位載荷和與它平衡的全部內(nèi)力，在結(jié)構(gòu)任何一種虛位移上所作的功的和應(yīng)等于零。因此，在工程計(jì)算中，梯形板可近似按下式計(jì)算 （）若將梯形板的幾何平均剪流作為廣義力，則相應(yīng)的廣義位移為。和=10176。之間。這微元體可近似看成平行四邊形，其四邊作用的剪流設(shè)為qx,則這微元體的功為根據(jù)梯形板的剪流之間關(guān)系和梯形板的幾何關(guān)系，有將qx和dF代入dW的式中，并對x從l2到l1積分，對在飛機(jī)結(jié)構(gòu)中，通常在0~10176。 （4）梯形受剪板。因此，平行四邊形板的剪流對板作的功等于這兩種狀態(tài)作功之和。假想將Δ235補(bǔ)到1—4邊上，(a)相當(dāng)?shù)木匦伟?。?）平行四邊形受剪板。若桿內(nèi)的軸力沿桿軸呈直線規(guī)律變化，則桿在任一截面的軸力可表示為與x截面相應(yīng)的dx段的應(yīng)變?yōu)椋灰茷閐u,則有外力在變形位移上的功為式中 f為桿截面面積，l為桿長。由式（）所表示的定義可知：對于矩形受剪板，若取板的剪流q為廣義力，則為對應(yīng)的廣義位移。這時(shí)，可取q作為廣義力。 （1）受常剪流作用的矩形板。廣義力與相應(yīng)廣義位移的乘積等于該廣義力所作的功。這些力在變形位移作用的功分別為拉伸 扭轉(zhuǎn) 彎曲 一般情況下，這些力在變形位移上作的實(shí)功可用下式表示： （） 任何一個(gè)或一組相互有關(guān)的力，如果能用一個(gè)代數(shù)量來表示它，則稱它為一個(gè)廣義力。cm）。分別作用有集中力P（N）、扭矩MT（Ncm。本節(jié)將應(yīng)用由虛功原理導(dǎo)出的單位載荷法來求結(jié)構(gòu)的位移。因此，結(jié)構(gòu)位移的計(jì)算是一個(gè)幾何問題，但是，由于變形很小，而且?guī)缀侮P(guān)系很復(fù)雜，很難直接用幾何作圖法來求位移。一方面，在研究結(jié)構(gòu)的剛度時(shí)需要計(jì)算位移，另一方面，在計(jì)算靜不定結(jié)構(gòu)內(nèi)力時(shí)，也需要借助于位移計(jì)算來建立結(jié)構(gòu)的變形協(xié)調(diào)關(guān)系。因此，計(jì)算位移時(shí)可用疊加原理。 靜定結(jié)構(gòu)的彈性位移一、概述 外載荷的作用、溫度的改變、元件尺寸制造誤差以及結(jié)構(gòu)支座的移動等因素都能使元件發(fā)生變形，因而使系統(tǒng)各點(diǎn)產(chǎn)生線位移，元件各截面產(chǎn)生角位移。 （3）任意力系作用在靜定的固定結(jié)構(gòu)上，組成力系的各分力只能由提供支反力的各幾何不變部分來平衡，而系統(tǒng)的其它部分構(gòu)件的內(nèi)力均為零。(b)所示為靜定剛架，外力P與支座反力R1組成平衡力系，因而只有在結(jié)構(gòu)的1234部分構(gòu)件中產(chǎn)生內(nèi)力。(a)所示的靜定桁架中，P組平衡力系只在三角形126部分所包括的三根桿內(nèi)產(chǎn)生內(nèi)力。反之，真實(shí)的內(nèi)力一定是滿足平衡條件的內(nèi)力。 靜定系統(tǒng)的主要特征 靜定系統(tǒng)是具有最少必需約束的幾何不變系統(tǒng)。中腹板5678的剪流設(shè)為q3，由桿58的平衡（（c））可得 由桿26和桿610的平衡，分別可得剪流的方向和大小求出后，桿的軸力就很容易計(jì)算了。假設(shè)板1265和56109的剪流分別為q1和q2，(b)所示。 [解] 該系統(tǒng)若緣條未被切斷，它是具有一個(gè)多余約束的結(jié)構(gòu)，切斷一根緣條，相當(dāng)于減少一個(gè)約束，因此，圖示系統(tǒng)是靜定的。 (a)所示結(jié)構(gòu)的內(nèi)力。P1必須通過盒段傳到基礎(chǔ)上，(c)所示。 我們可將PP2和P3分別作用于結(jié)構(gòu)上，求出其內(nèi)力，然后再迭加。 [解] 該系統(tǒng)為靜定的空間薄壁結(jié)構(gòu)。(e) (a)所示為上部無板的四緣條盒式空間薄壁結(jié)構(gòu)，結(jié)構(gòu)的幾何尺寸如圖，L=100 cm，H=10 cm，載荷P1=2000 N， P2=3000 N，P3=5000 N。[解] 該系統(tǒng)為靜定的平面薄壁結(jié)構(gòu)。圖中剪流的方向是表示板作用于桿上的剪流方向。圖533[解] 該結(jié)構(gòu)為靜定結(jié)構(gòu)。在用截面法時(shí)，因?yàn)楸”诮Y(jié)構(gòu)元件有桿和板，而桿軸力又是變化的，所以，截面通常取在桿的端部，并以桿端軸力代替截面桿的作用，在板的切口處以未知剪流代替切去的板的作用，用截下部分的平衡條件可求得截開處桿的軸力和板的剪流。取結(jié)點(diǎn)平衡可求出該結(jié)點(diǎn)的軸力。先判斷零端力桿，可使計(jì)算大大簡化。薄壁結(jié)構(gòu)中的零端力桿，是指桿在該端軸力為零。二、靜定薄壁結(jié)構(gòu)的內(nèi)力靜定薄壁結(jié)構(gòu)，僅用平衡方程即可求得全部未知內(nèi)力。(a)為一端固定的單段空心薄壁結(jié)構(gòu)，K=1，(b)所示盒段是以兩邊與基礎(chǔ)相連，2個(gè)自由結(jié)點(diǎn)，N=23=6個(gè)自由度，用5根桿和4塊矩形板與基礎(chǔ)相連，C=5+4=9，所以，CN=96=3,系統(tǒng)為有3個(gè)多余約束的靜不定系統(tǒng)，K=3。因此，上述分析多余約束的結(jié)論，都是指具有縱向多余約束而言。實(shí)際上，框在自身平面內(nèi)也可能有多余約束。應(yīng)該注意，在上述分析中，只說明隔框在自身平面內(nèi)是幾何不變的，而沒有涉及框本身的構(gòu)造。當(dāng)n=3時(shí)，K=0,系統(tǒng)為靜定的，(a)。 (c)有n個(gè)自由點(diǎn),自由度數(shù)N=3n,有n個(gè)縱向桿、n塊縱向板和一個(gè)端框，端框的約束數(shù)為2n3，因此系統(tǒng)為具有(n3)個(gè)多余約束的靜不定系統(tǒng)，靜不定度K=n3。顯然CN=99=0,系統(tǒng)為幾何不變的靜定系統(tǒng)。分析其組成時(shí)，可把結(jié)點(diǎn)看成自由體，而把縱向構(gòu)件、縱向隔板及端框看成約束。 （2）假若這自由結(jié)構(gòu)不是空心的，而是有內(nèi)部縱向構(gòu)件，有縱向隔板，因而系統(tǒng)就有多余約束，變成靜不定系統(tǒng)，其靜不定度等于內(nèi)部縱向隔板數(shù)。另一方面，從結(jié)構(gòu)的組成來看，將每塊縱向板看成一根斜桿，則沒有一個(gè)結(jié)點(diǎn)是只用同一平面的桿連接的，所以，單段空心的自由結(jié)構(gòu)是