【正文】 DH=? AC=60176。,∠ AOE=90176。,∴∠ ADC=60176。當(dāng) E,F,G,H不是各邊中 點時 ,若 ? =? ,? =? ,則 GH∥ AC,EF∥ AC,所以 GH∥ ? =? =? =? ,所以 EF=GH,所以四邊形 EFGH為平行四邊形 ,選項 C正確 。. ∵ EA=ED,∴∠ EAD=∠ EDA, ∴∠ EAB=∠ EDC, ∴ △ EAB≌ △ EDC. (2)∵ △ EAB≌ △ EDC,∴∠ AEF=∠ DEG. ∵∠ EFG=∠ EAF+∠ AEF,∠ EGF=∠ EDG+∠ DEG, ∴∠ EFG=∠ EGF. 考點二 菱形 1.(2022江西 ,6,3分 )如圖 ,任意四邊形 ABCD中 ,E,F,G,H分別是 AB,BC,CD,DA上的點 ,對于四邊形 EFGH的形狀 ,某班學(xué)生在一次數(shù)學(xué)活動課中 ,通過動手實踐 ,探索出如下結(jié)論 ,其中 ? 的是 ? ( ) ? E,F,G,H是各邊中點 ,且 AC=BD時 ,四邊形 EFGH為菱形 E,F,G,H是各邊中點 ,且 AC⊥ BD時 ,四邊形 EFGH為矩形 E,F,G,H不是各邊中點時 ,四邊形 EFGH可以為平行四邊形 E,F,G,H不是各邊中點時 ,四邊形 EFGH不可能為菱形 ??錯 誤答案 D 連接 AC, E,F,G,H是各邊中點時 ,由三角形中位線定理可得 EF∥ AC且 EF=? AC,GH∥ AC且 GH=? AC,所以 EF∥ GH且 EF=GH,所以四邊形 EFGH為平行四邊形 .當(dāng) AC=BD 時 ,因為 EF=? AC,EH=? BD,所以 EF=EH,所以四邊形 EFGH為菱形 ,選項 A正確 。. 在 Rt△ BFC中 ,由勾股定理可得 BC=5. ∴ AD=BC=5.∴ AD=DF. ∴∠ DAF=∠ DFA. ∵ AB∥ CD,∴∠ DFA=∠ FAB. ∴∠ DAF=∠ FAB.∴ AF平分 ∠ DAB. 16.(2022遼寧沈陽 ,18,8分 )如圖 ,點 E為矩形 ABCD外一點 ,AE=DE,連接 EB、 EC分別與 AD相交 于點 F、 G. 求證 :(1)△ EAB≌ △ EDC。 (2)若 CF=3,BF=4,DF=5,求證 :AF平分 ∠ DAB. ? 證明 (1)在 ?ABCD中 ,AB∥ CD, ∵ DF=BE,∴ 四邊形 BFDE為平行四邊形 . ∵ DE⊥ AB,∴∠ DEB=90176。,AB=CD. ? ∴∠ 2+∠ 3=90176。.∴∠ 1+∠ 2=90176。tan∠ DAM=3? =? . (2)如圖 ,延長 MN交 AB的延長線于點 Q. 333∵ 四邊形 ABCD是矩形 , ∴ AB∥ DC, ∴∠ DMA=∠ MAQ. 由折疊可知△ ANM≌ △ ADM, ∴∠ DMA=∠ AMQ,AN=AD=3,MN=MD=1. ∴∠ MAQ=∠ AMQ, ∴ MQ=AQ. 設(shè) NQ=x,則 AQ=MQ=1+x. 在 Rt△ ANQ中 ,AQ2=AN2+NQ2, ∴ (x+1)2=32+x2. 解得 x=4. ∴ NQ=4,AQ=5. ∵ AB=4,AQ=5, ∴ S△ NAB=? S△ NAQ=? ? AN, ∴∠ DAM=30176。 (2)連接 BN,當(dāng) DM=1時 ,求△ ABN的面積 。 (2)證明四邊形 PEDH和四邊形 PFBG都是矩形 ,并直接寫出它們面積之間的關(guān)系 . ? 解析 (1)證明 :∵ 四邊形 ABCD是矩形 ,∴ AB∥ CD,AD∥ BC. 又 ∵ EF∥ AB,GH∥ AD,∴ EF∥ CD,GH∥ BC. ∴∠ CPF=∠ HCP,∠ CPH=∠ PCF.? (2分 ) ∵ PC=PC,∴ △ PHC≌ △ CFP.? (4分 ) (2)由 (1)知 AB∥ EF∥ CD,AD∥ GH∥ BC, ∴ 四邊形 PEDH和四邊形 PGBF都是平行四邊形 .? (5分 ) ∵ 四邊形 ABCD是矩形 , ∴∠ D=∠ B=90176。,∴∠ DCF=∠ ACB. ∵ AD∥ BC,∴∠ ACB=∠ DAC. ∴∠ DCF=∠ DAP. 又 ∵∠ ADC=∠ PDF=90176。. 在 Rt△ ADC中 ,∠ PCD+∠ PAD=90176。,∴∠ PCF=90176。,OE=OD,∴ OC=? ED. 在矩形 PEFD中 ,PF=DE,∴ OC=? PF. ∵ OP=OF=? PF,∴ OC=OP=OF, ∴∠ OCF=∠ OFC,∠ OCP=∠ OPC, 又 ∵∠ OPC+∠ OFC+∠ PCF=180176。DQ, ∴ DQ=? =? , ∴ CQ=? =? , 22AD DC?2AC12 12AD DCAC? 24522DC DQ?185∴ PC=2CQ=? , ∴ AP=ACPC=? . ? 綜上所述 ,若△ PCD是等腰三角形 ,則 AP=4,或 AP=5,或 AP=? . (2)連接 PF,DE,記 PF與 DE的交點為 O,連接 OC. ∵ 四邊形 ABCD和四邊形 PEFD都是矩形 , ∴∠ ADC=∠ PDF=90176。, ∴∠ PAD=∠ PDA, ∴ PD=PA , ∴ PA =PC,∴ AP=? ,即 AP=5. ③ 當(dāng) DP=DC時 ,過 D作 DQ⊥ AC于 Q,則 PQ=CQ. ∵ S△ ADC=? AD (2)若 AP=? ,求 CF的長 . ? 2解析 (1)在矩形 ABCD中 ,AB=6,AD=8,∠ ADC=90176。(2)要求矩形 ABCD的面積 ,只要求 BC即可 ,因為 四邊形 ABCD是矩形 ,∠ COD=60176。,∴ △ OCD為等邊三角形 , ∴ OD=OC=CD=6,∴ BD=2OD=12.? (6分 ) 在 Rt△ BCD中 ,BC2+DC2=BD2, ∴ BC=? =6? .? (7分 ) ∴ S矩形 ABCD=BC,求矩形 ABCD的面積 . ? 解析 (1)證明 :∵ 四邊形 ABCD是矩形 , ∴ OA=OC,OB=OD, ∵ BE=DF,∴ OE=OF, ∵∠ AOE=∠ COF, ∴ △ AOE≌ △ COF(SAS),? (3分 ) ∴ AE=CF.? (4分 ) (2)∵ 四邊形 ABCD為矩形 , ∴∠ BCD=90176。(3)解法一 :設(shè) DP=a,則可求得 AD=2a,PC=4a,AB=5a,由 CD∥ AB,可得△ BFA∽ △ PFC,△ MEA∽ △ PEC,所以 ? =? ,? =? ,進(jìn)而可得 ? 的值 .解法二 :過點 F作 FG∥ PM,交 MB 于點 G,設(shè) DP=a,可求得 AD=2a,PC=4a,AB=5a,MA=MB=? ,根據(jù) CD∥ AB,FG∥ PM,AM=MB這些 條件可求得 ? 的值 . AFAC 59AEAC 513 EFAE52aEFAE解題關(guān)鍵 本題主要考查了矩形的性質(zhì) ,軸對稱 ,菱形的判定 ,相似三角形的判定與性質(zhì)等知 識 ,題目綜合性強、計算量大 ,屬難題 .解題的關(guān)鍵在于從復(fù)雜的條件中確定解決問題所需的條 件 ,進(jìn)而推理、論證、計算 ,使題目得以解答 . 10.(2022廣西南寧 ,22,8分 )如圖 ,矩形 ABCD的對角線 AC,BD相交于點 O,點 E,F在 BD上 ,BE=DF. (1)求證 :AE=CF。PC。PC得 PC=4a, ∴ DC=AB=5a,? (8分 ) ∴ MA=MB=? , ∵ CD∥ AB, ∴∠ ABF=∠ CPF,∠ BAF=∠ PCF, ∴ △ BFA∽ △ PFC, ∴ ? =? =? =? ,? (9分 ) ∴ ? =? , 同理可得△ MEA∽ △ PEC, 52aAFCF ABCP54 aa 54AFAC 59∴ ? =? =? =? , ∴ ? =? ,? (10分 ) ∴ ? =? ? =? ? =? ,? (11分 ) ∵ ? ∶ ? =? , ∴ ? =? ∶ ? =? .? (12分 ) 解法二 :過點 F作 FG∥ PM,交 MB于點 G. ? ∵∠ APM=∠ PAM, AECEAMCP524aa58AEAC 513EFAC AFACAEAC 59 51320227EFAC AEAC EFAEEFAE 20227 51349∴ PM=AM, ∵ PM=MB, ∴ AM=MB, ∵ 四邊形 ABCD為矩形 , ∴ CD∥ AB且 CD=AB, 設(shè) DP=a,則 AD=2DP=2a, 由 AD2=DP,∠ APM+∠ BPM=90176。P, ∴∠ APD=∠ APM, ∵ CD∥ AB, ∴∠ APD=∠ PAM, ∴∠ APM=∠ PAM,? (6分 ) ∵∠ APB=90176。PC. ∵ AD=BC, ∴ AD2=DP, ∴∠ DAP=∠ CPB,? (1分 ) ∴ △ ADP∽ △ PCB, ∴ ? =? ,? (2分 ) ∴ AD, ∵∠ APB=90176。 (3)如圖 2,連接 AC,分別交 PM,PB于點 E, ? =? ,求 ? 的值 . ? DPAD 12EFAE解析 (1)證明 :在矩形 ABCD中 ,AD=BC,∠ C=∠ D=90176。PC。P,PD39。,再關(guān)于 PE對稱 . 9.(2022云南昆明 ,23,12分 )如圖 1,在矩形 ABCD中 ,P為 CD邊上一點 (DPCP),∠ APB=90176。, 3 233ECFB CPBP12PBFB 33∴ Rt△ PEA≌ Rt△ PBA,∴ △ PBF≌ △ PBA≌ △ PEA, ∴ 可將△ PFB作如下變換后與△ PAE組成一個等腰三角形 . ①△ PFB關(guān)于 PF對稱 ,再以點 P為旋轉(zhuǎn)中心 ,逆時針旋轉(zhuǎn) 120176?！?F∠ EAF=90176。,∠ EPC=∠ FPB, ∴ △ ECP∽ △ FBP, ∴ ? =? =? ,∴ FB=2EC=DC=2, ∴ B是 AF的中點 , ∴ PB是線段 AF的垂直平分線 ,∴ △ PBF≌ △ PBA. 在 Rt△ PFB中 ,tan F=? =? , ∴∠ F=30176。=60176。, ∴∠ CEB=120176。=120176。,∠ AEC=180176。如果不能 ,也請說明理 由 . ? 3解析 (1)如圖所示 ,點 E為所作的點 ,EA,EB為所連的線段 . ? (2)EB平分 ∠ AEC,理由如下 : 如題圖② ,由 (1)及已知可知 DE=1. ∵ 四邊形 ABCD是矩形 ,AD=? , ∴ 在 Rt△ ADE中 ,tan∠ DEA=? =? ,AE=2, ∴∠ DEA=60176。 (2)如圖② ,在 (1)的條件下 ,判斷 EB是否平分 ∠ AEC,并說明理由 。DE=? . ? 圖 1 如圖 2,當(dāng)矩形頂點 D在 BA的延長線上時 ,點 K到直線 DE的距離最大 ,最大值為線段 DK的長 , 12 3421230 3 344?DK=AD+? AB=5+? , S=? DK, ∴ Rt△ ADB≌ Rt△ AOB. 22AD AC? 2253?② 由 Rt△ ADB≌ Rt△ AOB,得 ∠ BAD=∠ BAO. 又在矩形 AOBC中 ,OA∥ BC, ∴∠ CBA=∠ OAB. ∴∠ BAD=∠ CBA. ∴ BH=AH. 設(shè) BH=t(0t5),則 AH=t,HC=BCBH=5t. 在 Rt△ ACH中 ,有 AH2=AC2+HC2, ∴ t2=32+(5t)2,解得 t=? . ∴ BH=? .∴ 點 H的坐標(biāo)為 ? . (3)? ≤ S≤ ? . 175175 17,35??????30 3 344? 30 3 344?思路分析 (1)根據(jù)點的坐標(biāo)及旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得 AD=AO=5,在直角△ ACD中運用勾股定理可求 CD的長 ,從而可確定 D點坐標(biāo) .(2)① 根據(jù)直角三角形全等的判定方法進(jìn)行判定 。. 又點 D在線段 BE上 ,得 ∠ ADB=90176。 ② 求點 H的坐標(biāo) . (3)記 K為矩形 AOBC對角線的交點 ,S為△ KDE的面積 ,求 S的取值范圍 (直接寫出結(jié)果即可 ). ? 圖 a ? 圖 b 解析 (1)∵ 點 A(5,0),點 B(0,3), ∴ OA=5,OB=3. ∵ 四邊形 AOBC是矩形 , ∴ AC=OB=3,BC=OA=5,∠ OBC=∠ C=90176。H⊥ CD,垂足為 H, 同理求得 D39。E2, 即 (3x)2+12=x2,解得 x=? ,即 D39。中 , EH2+D39。=1, ∴ DH=DF+FH=3,設(shè) DE=x,則 D39。H⊥ CD,垂足為 H. 在 Rt△ D39。F=BFD39。=? +? =4? , 7227222239。中 ,D39。=? , ∵ ? 5,∴ D39。落在 ∠ ABC的角平分線上時 ,DE的長為 . ? 解析 作 BF平分 ∠ ABC交 CD于點 F, 作 AG⊥ BF于點 G,由題意知 AG=AB.因為 ? =? ,所以可設(shè) AB=2k,則 AD=3k,所以 BD=? =? S△ BDG=? BD2 =? GM⊥ CF于 M,則 GM=? CF=? S