【正文】 ,BD=6,求出 DE及 AF,DE間的距離 ,從而求出平行四邊形 ADEF的面積 . 評(píng)析 此題考查了平行四邊形的判定與性質(zhì)、等腰三角形的判定與性質(zhì)以及三角函數(shù)等知 識(shí) .此題難度適中 ,注意掌握輔助線的作法以及數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用 . 。, ∴ DG=? BD=? 6=3, ∵ BE=DE, ∴ BH=DH=? BD=3,∴ BE=? =2? , ∴ DE=BE=2? , 12 1212 cos 30BH? 33∴ 四邊形 ADEF的面積為 DE,BD=6,求四邊形 ADEF的面積 . ? 解析 (1)證明 :∵ DE∥ AB,EF∥ AC, ∴ 四邊形 ADEF是平行四邊形 ,∠ ABD=∠ BDE, ∴ AF=DE, ∵ BD是△ ABC的角平分線 , ∴∠ ABD=∠ DBE, ∴∠ DBE=∠ BDE, ∴ BE=DE,∴ BE=AF. (2)如圖 ,過(guò)點(diǎn) D作 DG⊥ AB于點(diǎn) G,過(guò)點(diǎn) E作 EH⊥ BD于點(diǎn) H, ∵∠ ABC=60176。. 三、解答題 (共 13分 ) 3.(2022湖南株洲石峰模擬 ,23)如圖 ,BD是△ ABC的角平分線 ,點(diǎn) E,F分別在邊 BC,AB上 ,且 DE∥ AB,EF∥ AC. (1)求證 :BE=AF。72176。 解析 根據(jù)多邊形的外角和是 360176。 兩條對(duì)角線互相垂直平分的四邊形是菱形 ,故④錯(cuò)誤 .故選 A. 二、填空題 (每小題 4分 ,共 4分 ) 2.(2022湖南師大附中二模 ,11)正多邊形的一個(gè)外角是 72176。 一組對(duì)邊平行 ,另一組對(duì)邊相等的四邊形不一定是平行四邊形 ,因?yàn)榈妊菪我卜洗藯l件 ,故 ②錯(cuò)誤 。 ③兩條對(duì)角線互相垂直的矩形是正方形 。 提升題組 (時(shí)間 :10分鐘 分值 :20分 ) 1.(2022湖南長(zhǎng)沙七模 ,5)下列命題 : ①等邊三角形是中心對(duì)稱圖形 。 3.(2022湖南岳陽(yáng)一模 ,18)如圖 ,四邊形 ABCD為平行四邊形 ,F是 CD的中點(diǎn) ,連接 AF并延長(zhǎng) ,與 BC 的延長(zhǎng)線交于點(diǎn) :BC=CE. ? 證明 ∵ 四邊形 ABCD是平行四邊形 , ∴ AD=BC,AD∥ BC, ∴∠ DAF=∠ E,∠ ADF=∠ ECF, 又 ∵ F是 CD的中點(diǎn) ,即 DF=CF, ∴ △ ADF≌ △ ECF, ∴ AD=CE, ∴ BC=CE. 4.(2022湖南湘潭一模 ,22)如圖 ,E,F是四邊形 ABCD的對(duì)角線 AC上的兩點(diǎn) ,AF=CE,DF=BE,DF∥ BE. 求證 :(1)△ AFD≌ △ CEB。AB, ∴ AE=? AB, ∴ 在 Rt△ AEB中 ,sin∠ ABC=? =? , ∴∠ ABC=30176。, 根據(jù)題意得 ,平行四邊形的面積 =BC=36176。36176。, ∠ BDC=∠ CBD=36176。 解析 在正五邊形 ABCDE中 , AE=DE=BC=CD,∠ E=∠ EDC=∠ C=108176?？芍暹呅蔚耐饨呛褪?360176。 176。 176。, ∴ ?DEBF是矩形 .? (8分 ) 21.(2022廣東廣州 ,18,9分 )如圖 ,?ABCD的對(duì)角線 AC、 BD相交于點(diǎn) O,EF過(guò)點(diǎn) O且與 AB、 CD 分別交于點(diǎn) E、 F,求證 :△ AOE≌ △ COF. ? 證明 ∵ 四邊形 ABCD為平行四邊形 , ∴ AB∥ CD,OA=OC,∴∠ EAO=∠ FCO, 在△ AOE和△ COF中 ,? ∴ △ AOE≌ △ COF(ASA). ,E A O F C OA O C OA O E C O F? ? ?????? ? ? ??A組 2022— 2022年模擬 ,求證 :四邊形 DEBF是矩形 . ? 證明 (1)∵ 四邊形 ABCD是平行四邊形 , ∴ AD=CB,∠ A=∠ C.?(2 分 ) ∵ AE=CF,?(3 分 ) ∴ △ ADE≌ △ CBF.?(4 分 ) (2)證法一 :∵ △ ADE≌ △ CBF, ∴ DE=BF.?(5 分 ) ∵ 四邊形 ABCD是平行四邊形 , ∴ AB=CD. ∵ AE=CF,∴ ABAE=CDCF. ∴ EB=DF.? (6分 ) ∴ 四邊形 DEBF是平行四邊形 .? (7分 ) ∵∠ DEB=90176。. ∵∠ DEB=∠ AEF,∴∠ EDB=∠ EFA,? (8分 ) ∴ AF∥ DB.? (10分 ) 20.(2022廣西南寧 ,23,8分 )如圖 ,在 ?ABCD中 ,E,F分別是 AB,DC邊上的點(diǎn) ,且 AE=CF. (1)求證 :△ ADE≌ △ CBF。,即 2∠ EDB+∠ DEB=180176。 (2)若 BD=EF,連接 DE、 BF,判斷四邊形 EBFD的形狀 ,無(wú)需說(shuō)明理由 . ? 解析 (1)證明 :∵ 四邊形 ABCD為平行四邊形 , ∴ BO=DO,AO=OC. ∵ AE=CF,∴ AOAE=OCCF,即 OE=OF. 在△ BOE和△ DOF中 ,? ∴ △ BOE≌ △ DOF(SAS).? (4分 ) (2)矩形 .? (6分 ) ,O B O DB O E D O FO E O F???? ? ??? ??19.(2022江蘇連云港 ,22,10分 )如圖 ,將平行四邊形 ABCD沿對(duì)角線 BD進(jìn)行折疊 ,折疊后點(diǎn) C落在 點(diǎn) F處 ,DF交 AB于點(diǎn) E. (1)求證 :∠ EDB=∠ EBD。BF,即可得出結(jié)果 . 12解題關(guān)鍵 本題考查了平行四邊形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、等腰三角形的判 定、等邊三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理 。BF=? 42? =4? . ,D E C FD A F EA F E F? ? ???? ? ?????12 123 3思路分析 由平行四邊形的性質(zhì)和角平分線得出 ∠ BAE=∠ BEA,即可得出 AB=BE,進(jìn)而得證 。, ∴ △ ABE是等邊三角形 , ∴ AE=AB=4,∵ BF⊥ AE, ∴ AF=EF=2,∠ AFB=90176。 (2)連接 BF,若 BF⊥ AE,∠ BEA=60176。,其他條件不變 ,直接寫出中點(diǎn)四邊形 EFGH的形 狀 .(不必證明 ) ? 解析 (1)證明 :如圖 ,連接 BD. ? ∵ 點(diǎn) E,H分別為邊 AB,AD的中點(diǎn) , ∴ EH∥ BD,EH=? BD. ∵ 點(diǎn) F,G分別為邊 BC,CD的中點(diǎn) , ∴ FG∥ BD,FG=? BD.∴ EH∥ FG,EH=FG. ∴ 中點(diǎn)四邊形 EFGH是平行四邊形 .? (3分 ) (2)中點(diǎn)四邊形 EFGH是菱形 . 證明 :如圖 ,連接 AC,BD. 1212? ∵∠ APB=∠ CPD,∴∠ APB+∠ APD=∠ CPD+∠ APD, 即 ∠ BPD=∠ APC,又 ∵ PB=PA ,PD=PC, ∴ △ BPD≌ △ APC.∴ BD=AC.? (6分 ) ∵ 點(diǎn) E,F,G分別為邊 AB,BC,CD的中點(diǎn) , ∴ EF=? AC,FG=? BD,∴ EF=FG, 又由 (1)知四邊形 EFGH是平行四邊形 , ∴ 中點(diǎn)四邊形 EFGH是菱形 .? (8分 ) 12 12(3)當(dāng) ∠ APB=∠ CPD=90176。 (2)如圖 2,點(diǎn) P是四邊形 ABCD內(nèi)一點(diǎn) ,且滿足 PA =PB,PC=PD,∠ APB=∠ E,F,G,H分別為 邊 AB,BC,CD,DA的中點(diǎn) .猜想中點(diǎn)四邊形 EFGH的形狀 ,并證明你的猜想 。 (2)連接 AF、 BD,求證 :四邊形 ABDF是平行四邊形 . ? 證明 (1)∵ BE=FC, ∴ BC=EF, 在△ ABC和△ DFE中 ,? ∴ △ ABC≌ △ DFE(SSS). (2)由 (1)知△ ABC≌ △ DFE, ∴∠ ABC=∠ DFE, ∴ AB∥ DF, ∵ AB=DF, ∴ 四邊形 ABDF是平行四邊形 . ,A B D FA C D EB C E F?????? ??思路分析 (1)利用“ SSS”證明△ ABC≌ △ DFE即可 。PK PG? 2264? 5556551 5 6 55?1 5 6 55?1 5 6 55? 1 5 6 55?13.(2022江蘇南京 ,19,7分 )如圖 ,在 ?ABCD中 ,點(diǎn) E、 F分別在 AD、 BC上 ,且 AE=CF,EF、 BD相 交于點(diǎn) :OE=OF. ? 證明 ∵ 四邊形 ABCD是平行四邊形 , ∴ AD∥ BC,AD=BC, ∴∠ EDO=∠ FBO,∠ DEO=∠ BFO. ∵ AE=CF, ∴ ADAE=CBCF,即 DE=BF, ∴ △ DOE≌ △ BOF, ∴ OE=OF. 14.(2022江西 ,16,6分 )如圖 ,已知正七邊形 ABCDEFG,請(qǐng) ? ,分別按下列要求畫 圖 . (1)在圖 1中 ,畫出一個(gè)以 AB為邊的平行四邊形 。GF=2? x. 在 Rt△ QFK39。=x,FK39。中 ,PG=DH=4, GK39。=PK=6,QK39。②由 EF垂直平分 CD可得點(diǎn) D和點(diǎn) C關(guān)于直線 EF 對(duì)稱 ,故只需連接 CM,CM與 EF的交點(diǎn)即為滿足條件的點(diǎn) N,分別求出 CM和 DM的長(zhǎng)即可求出△ DNM周長(zhǎng)的最小值 。分割為兩個(gè)三角形 ,已知 MM39。EE39。=QF39。FQ∴ F39。39。PEKF 39。39。F39。K39。2, ∴ PE39。2E39。中 , PE39。,如圖 1,? (8分 ) ? 當(dāng)點(diǎn) P在線段 CE上時(shí) , 在 Rt△ PK39?！?EF,分別交 CD于點(diǎn) E39。作 E39。+S△ BHM=? 6? +? 4? =? .? (3分 ) ②連接 CM交直線 EF于點(diǎn) N,連接 DN, ∵ 直線 EF垂直平分 CD, ∴ CN=DN,? (4分 ) ∵ MH=? ,∴ DM=? , 在 Rt△ CDM中 ,MC2=DC2+DM2, ∴ MC2=62+? , 即 MC=? ,