金外高三復習練習卷四(參考版)
2025-06-10 22:43本頁面
【正文】 ．…∵a=2，由余弦定理可得：4=b2+c2﹣bc≥2bc﹣bc=bc，（當且僅當b=c=2，不等式等號成立）．∴bc≤4．∴S△ABC=bcsinA≤=．…故答案為：． 15．已知x＞1，y＞1，且lnx，lny成等比數(shù)列，則xy的最小值為 e?。究键c】等比數(shù)列的通項公式；基本不等式．【分析】由題意可得lnx＞0，lny＞0，lnx?lny=，由基本不等式可得lnx+lny的最小值，由對數(shù)的運算可得xy的最小值．【解答】解：∵x＞1，y＞1，∴l(xiāng)nx＞0，lny＞0，又∵成等比數(shù)列，∴=，解得lnx?lny=，由基本不等式可得lnx+lny≥2=1，當且僅當lnx=lny，即x=y=時取等號，故ln（xy）=lnx+lny≥1=lne，即xy≥e，故xy的最小值為：e故答案為：e 16．已知函數(shù)f（x）=m（x+m+5），g（x）=2x﹣2，若任意的x∈R，總有f（x）＜0或g（x）＜0，則m的取值范圍是 ﹣6＜m＜0 ．【考點】函數(shù)恒成立問題．【分析】畫出函數(shù)圖象，結合圖象求出m的范圍即可．【解答】解：結合題意，畫出圖象，如圖示：，若任意的x∈R，總有f（x）＜0或g（x）＜0，顯然m＜0，且1+m+5＞0，即m＞﹣6，故答案為：﹣6＜m＜0． 三、解答題：寫出文字說明，證明過程或演算過程．17．已知f（x）=（xinωx+cosωx）cosωx﹣，其中ω＞0，若f（x）的最小正周期為4π．（1）求函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間；（2）銳角三角形ABC中，（2a﹣c）cosB=bcosC，求f（A）的取值范圍．【考點】正弦定理；三角函數(shù)中的恒等變換應用；正弦函數(shù)的單調(diào)性．【分析】（1）利用三角函數(shù)恒等變換的應用化簡函數(shù)解析式可得f（x）=sin（2ωx+），利用周期公式可求ω，可得函數(shù)解析式：f（x）=sin（x+），令2kπ﹣≤x+≤2kπ+，k∈Z，可得f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間．（2）利用正弦定理化簡已知，整理得cosB=，進而解得B=，利用已知求得范圍＜A+＜，根據(jù)正弦函數(shù)的性質(zhì)可求f（A）的取值范圍．【解答】（本題滿分為12分）解：（1）∵f（x）=（xinωx+cosωx）cosωx﹣=sin2ωx+cos2ωx=sin（2ωx+），…∵最小正周期為4π，∴ω==，可得：f（x）=sin（x+），…∴令2kπ﹣≤x+≤2kπ+，k∈Z，可得：4kπ﹣≤x≤3kπ+，k∈Z，∴f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為[4kπ﹣，3kπ+]，k∈Z…（2）∵（2a﹣c）cosB=bcosC，∴（2sinA﹣sinC）cosB=sinBcosC，整理得2sinAcosB=sinA，可得：cosB=，解得：B=，…∵銳角三角形ABC，∴，∴＜A＜，…∴＜A+＜，可得：＜f（A）＜．… 18．如圖所示，△ABC中，D為AC的中點，AB=2，BC=，∠A=．（1）求cos∠ABC的值；（2）求BD的值．【考點】余弦定理．【分析】（1）在△ABC中利用正弦定理可求sinC，利用大邊對大角可得C為銳角，利用同角三角函數(shù)基本關系式可求cosC，利用兩角差的余弦函數(shù)公式即可計算得解cos∠ABC的值．（2）由已知在△ABC中，利用余弦定理可求AC，進而在△ABD中，利用余弦定理可求BD．【解答】（本題滿分為12分）解：（1）∵在△ABC中，sinA=，∴sinC===，由BC＞AB，可得：A＞C，C為銳角，∴cosC==，∴cos∠ABC=cos（﹣C）=coscosC+sinsinC=．（2）∵AB=2，BC=，cos∠ABC=．∴在△ABC中，AC2=AB2+BC2﹣2AB?BC?cos∠ABC=9，可得：AC=3，∴在△ABD中，BD2=AB2+AD2﹣2ABADcosA=，∴BD=．… 19．數(shù)列{an}的前n項和Sn=3n2+2n+1．（1）求{an}的通項公式；（2）令bn=an2n，求{bn}的前n項和Tn．【考點】數(shù)列的求和．【分析】（1）由Sn=3n2+2n+1知，當n≥2時，an=Sn﹣Sn﹣1=6n﹣1，驗證n=1時是否適合，即可求得{an}的通項公式；（2）bn=an2n，易求T1=12，n＞1時，Tn=62+1122+1723+…+（6n﹣1）2n，利用錯位相減法可求得{bn}的前n項和Tn．【解答】解：（1）∵Sn=3n2+2n+1，∴當n≥2時，an=Sn﹣Sn﹣1=3n2+2n+1﹣[3（n﹣1）2+2（n﹣1）+1]=6n﹣1，當n=1時，a1=6，不適合上式，∴an=…..（2）∵bn=an2n，∴n=1時，T1=b1=a12=12…..n＞1時，Tn=62+1122+1723+…+（6n﹣1）2n，①2Tn=622+1123+1724+…+（6n﹣7）2n+（6n﹣1）2n+1，②…②﹣①得：Tn=﹣32﹣6（23+24+…+2n）+（6n﹣1）2n+1=16+（
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