【正文】 π/3；由于位相Φ隨時間t增加，b點位相就應(yīng)該大于a點的位相，因此Φb = π/3．由于xc = 0，所以cosΦc = 0，又由于c點位相大于b位相，因此Φc = π/2．同理可得其他兩點位相為Φd = 2π/3，Φe = π．c點和a點的相位之差為π/2，時間之差為T/4，而b點和a點的相位之差為π/3，時間之差應(yīng)該為T/6．因為b點的位移值與O時刻的位移值相同，所以到達(dá)a點的時刻為ta = T/6．到達(dá)b點的時刻為tb = 2ta = T/3．到達(dá)c點的時刻為tc = ta + T/4 = 5T/12．到達(dá)d點的時刻為td = tc + T/12 = T/2．到達(dá)e點的時刻為te = ta + T/2 = 2T/3．（2）設(shè)振動表達(dá)式為x = Acos(ωt + φ)，當(dāng)t = 0時，x = A/2時，所以cosφ = ，因此φ = 177。2π/3．由于物體向x軸負(fù)方向運(yùn)動，即v 0，所以sin(πt1 π/3) 0，因此πt1 π/3 = 2π/3，得t1 = 1s．當(dāng)物體從x = ，x = 0，v 0，因此cos(πt2 π/3) = 0，可得 πt2 π/3 = π/2或3π/2等．由于t2 0，所以πt2 π/3 = 3π/2，可得 t2 = 11/6 = (s)．所需要的時間為Δt = t2 t1 = (s)．方法二：反向運(yùn)動．物體從x = ，向x軸負(fù)方向運(yùn)動第一次回到平衡位置所需的時間就是它從x = ，即從起點向x軸正方向運(yùn)動第一次回到平衡位置所需的時間．在平衡位置時，x = 0，v 0，因此cos(πt π/3) = 0，可得 πt π/3 = π/2，解得 t = 5/6 = (s)．[注意]根據(jù)振動方程x = Acos(ωt + φ)，當(dāng)t = 0時，可得φ = 177。s1)．加速度為a = dv/dt = ω2Acos(ωt + φ)= π2Acos(πt π/3)= (ms1)，可得釋放出的能量為ΔE = 1013(J)．第六章 振動P176．6．1 一物體沿x軸做簡諧振動，振幅A = ，周期T = 2s．當(dāng)t = 0時，物體的位移x = ，且向x軸正向運(yùn)動．求：（1）此簡諧振動的表達(dá)式；（2）t = T/4時物體的位置、速度和加速度；（3）物體從x = ，向x軸負(fù)方向運(yùn)動第一次回到平衡位置所需的時間．[解答]（1）設(shè)物體的簡諧振動方程為x = Acos(ωt + φ)，其中A = ，角頻率ω = 2π/T = π．當(dāng)t = 0時，x = ，所以cosφ = ，因此φ = 177。s1)．將地球看成一個良好的參考系，在南極上看赤道上的鐘做勻速直線運(yùn)動，在赤道上看南極的鐘做反向的勻速直線運(yùn)動．南極和赤道上的鐘分別用A和B表示，南極參考系取為S，赤道參考系取為S`．A鐘指示S系中的本征時，同時指示了B鐘的運(yùn)動時間，因此又指示S`系的運(yùn)動時．同理，B鐘指示S`系中的本征時，同時指示了A鐘的反向運(yùn)動時間，因此又指示S系的運(yùn)動時．方法一：以S系為準(zhǔn)．在S系中，A鐘指示B鐘的運(yùn)動時間，即運(yùn)動時Δt=50108365246060=1016(s)．B鐘在S`中的位置不變的，指示著本征時Δt`．A鐘的運(yùn)動時Δt和B鐘的本征時Δt`之間的關(guān)系為，可求得B鐘的本征時為，因此時間差為 =105(s)．在南極上看，赤道上的鐘變慢了．方法二：以S`系為準(zhǔn)．在S`系中，B鐘指示A鐘的反向運(yùn)動時間，即運(yùn)動時Δt`=50108365246060=1016(s)．A鐘在S中的位置不變的，指示著本征時Δt．B鐘的運(yùn)動時Δt`和A鐘的本征時Δt之間的關(guān)系為，可求得A鐘的本征時為，因此時間差為 =105(s)．在赤道上看，南極上的鐘變慢了．[注意]解此題時，先要確定參考系，還要確定運(yùn)動時和本征時，才能正確引用公式．有人直接應(yīng)用公式計算時間差，由于地球速度遠(yuǎn)小于光速，所以計算結(jié)果差不多，但是關(guān)系沒有搞清．從公式可知：此人以S系為準(zhǔn)來對比兩鐘的時間，Δt`是B鐘的本征時，Δt是A鐘的運(yùn)動時，而題中的本征時是未知的．也有人用下面公式計算時間差，也是同樣的問題．5．2 一個“光鐘”由兩個相距為L0的平面鏡A和B構(gòu)成，對于這個光鐘為靜止的參考系來說，一個“滴答”的時間是光從鏡面A到鏡面B再回到原處的時間，其值為．若將這個光鐘橫放在一個以速度行駛的火車上，使兩鏡面都與垂直，兩鏡面中心的連線與平行，在鐵軌參考系中觀察，火車上鐘的一個“滴答”τ與τ0的關(guān)系怎樣？[解答]不論兩個“光鐘”放在什么地方，τ0都是在相對靜止的參考系中所計的時間，稱為本征時．在鐵軌參考系中觀察，火車上鐘的一個“滴答”的時間τ是運(yùn)動時，所以它們的關(guān)系為．5．3 在慣性系S中同一地點發(fā)生的兩事件A和B，B晚于A4s；在另一慣性系S`中觀察，B晚于A5s發(fā)生，求S`系中A和B兩事件的空間距離？[解答]在S系中的兩事件A和B在同一地點發(fā)生，時間差Δt = 4s是本征時，而S`系中觀察A和B兩事件肯定不在同一地點，Δt` = 5s是運(yùn)動時，根據(jù)時間膨脹公式，即 ，可以求兩系統(tǒng)的相對速度為v = 3c/5．在S`系中A和B兩事件的空間距離為Δl = vΔt` = 3c = 9108(m)．5．4 一根直桿在S系中觀察，其靜止長度為l，與x軸的夾角為θ，S`系沿S系的x軸正向以速度v運(yùn)動，問S`系中觀察到桿子與x`軸的夾角若何？[解答]直桿在S系中的長度是本征長度，兩個方向上的長度分別為lx = lcosθ和ly = lsinθ．在S`系中觀察直桿在y方向上的長度不變，即l`y = ly；在x方向上的長度是運(yùn)動長度，根據(jù)尺縮效應(yīng)得，因此，可得夾角為．5．5 S系中觀察到兩事件同時發(fā)生在x軸上，其間距為1m，S`系中觀察到這兩個事件間距離是2m，求在S`系中這兩個事件的時間間隔．[解答]根據(jù)洛侖茲變換，得兩個事件的空間和時間間隔公式，． （1）由題意得：Δt = 0，Δx = 1m，Δx` = 2m．因此，．（2）由（2）之上式得它們的相對速度為． （3）將（2）之下式除以（2）之上式得，所以= 108(s)．[注意]在S`系中觀察到兩事件不是同時發(fā)生的，所以間隔Δx` = 2m可以大于間隔Δx = 1m．如果在S`系中觀察到兩事件也是同時發(fā)生的，那么Δx`就表示運(yùn)動長度，就不可能大于本征長度Δx，這時可以用長度收縮公式，計算它們的相對速度．5．6 一短跑運(yùn)動員，在地球上以10s的時間跑完了100m的距離，結(jié)果如何？[解答]以地球為S系，則Δt = 10s，Δx = 100m．根據(jù)洛侖茲坐標(biāo)和時間變換公式和，飛船上觀察運(yùn)動員的運(yùn)動距離為≈4109(m)．運(yùn)動員運(yùn)動的時間為≈(s)．在飛船上看，；運(yùn)動員的速度遠(yuǎn)小于地球后退的速度，所以運(yùn)動員跑步的距離約為地球后退的距離，即4109m．5．7 已知S`，在S系中測得兩事件的時空坐標(biāo)為x1 = 20m，x2 = 40m，t1 = 4s，t2 = 8s．求S`系中測得的這兩件事的時間和空間間隔．[解答]根據(jù)洛侖茲變換可得S`系的時間間隔為≈(s)．空間間隔為≈109(m)．5．8 ，S系中的觀察者測得桿長10m，問該觀察者測得的桿長若何？[解答]在S系中的觀測的桿長Δl = 10m是運(yùn)動長度，相對桿靜止的參考系為S`，其長度是本征長度，根據(jù)尺縮效應(yīng)，可得桿的本征長度為= (m)．另一參考系設(shè)為S``系，相對S系的速度為v20 = ．在S``系觀察S`系的速度為= ．在S``系觀察S`系中的桿的長度是另一運(yùn)動長度= (m)．[注意]在涉及多個參考系和多個速度的時候，用雙下標(biāo)能夠比較容易地區(qū)別不同的速度，例如用v10表示S`相對S系的速度，用v12表示S`系相對S``系的速度，因此，尺縮的公式也要做相應(yīng)的改變，計算就不會混淆．5．9 ，在地面上觀察，5s后兩者將相撞，問在飛船上觀察，二者將經(jīng)歷多長時間間隔后相撞？[解答]兩者相撞的時間間隔Δt = 5s是運(yùn)動著的對象—飛船和慧星—發(fā)生碰撞的時間間隔，因此是運(yùn)動時．在飛船上觀察的碰撞時間間隔Δt`是以速度v = ，根據(jù)時間膨脹公式，可得時間間隔為= 4(s)．v=uOx地球星光ycSS`x`y`uy`uθ`太陽5．10 在太陽參考系中觀察，一束星光垂直射向地面，速率為c，而地球以速率u垂直于光線運(yùn)動．求在地面上測量，這束星光的大小與方向如何．[解答]方法一：用速度變換．取太陽系為S系，地球為S`系．在S系中看地球以v = u運(yùn)動，看星光的速度為ux = 0，uy = c．星光在S`系中的速度分量為星光在S`系中的速度為，即光速是不變的．星光在S`系中與y`軸的夾角，即垂直地面的夾角為．方法二：用基本原理．根據(jù)光速不變原理，在地球的S`系中，光速也為c，當(dāng)?shù)厍蛞运俣葀 = u沿x軸運(yùn)動時，根據(jù)速度變換公式可得星光的速度沿x`軸的分量為uy` = u，所以星光速度沿y`軸的分量為，從而可求出星光速度垂直地面的夾角為．[注意]解題時，要確定不同的參考系，通常將已知兩個物體速度的系統(tǒng)作為S系，另外一個相對靜止的系統(tǒng)作為S`系，而所討論的對象在不同的參考系中的速度是不同的．，．5．11 一粒子動能等于其非相對論動能二倍時，其速度為多少？其動量是按非相對論算得的二倍時，其速度是多少？[解答]（1）粒子的非相對論動能為Ek = m0v2/2，相對論動能為E`k = mc2 – m0c2，其中m為運(yùn)動質(zhì)量．根據(jù)題意得，設(shè)x = (v/c)2，方程可簡化為，或 ，平方得1 = (1 – x2)(1 x)，化簡得x(x2 – x 1) = 0．由于x不等于0，所以x2 – x 1 = 0．解得，取正根得速率為= ．（2）粒子的非相對論動量為p = m0v，相對論動量為，根據(jù)題意得方程．很容易解得速率為= ．5．12．某快速運(yùn)動的粒子，1016J，1017J，106s，求其能通過的距離．[解答]在相對論能量關(guān)系中E = E0 + Ek，靜止能量E0已知，且E0 = m0c2，總能量為，所以，由此得粒子的運(yùn)動時為．還可得，解得速率為．粒子能夠通過的距離為= (m)．5．13 試證相對論能量和速度滿足如此關(guān)系式：．[證明]根據(jù)上題的過程已得，將E = E0 + Ek代入公式立可得證．5．14 靜止質(zhì)子和中子的質(zhì)量分別為mp = 1027kg，mn = 1027kg，質(zhì)子和中子結(jié)合變成氘核，其靜止質(zhì)量為m0 = 1027kg，求結(jié)合過程中所釋放出的能量．[解答]在結(jié)合過程中，質(zhì)量虧損為Δm = mp + mn m0 = 1030(kg)，取c = 3108(ms1)．（2）根據(jù)角動量守恒定律得L = (IA + IB)ω，其中IA和IB分別是兩繞質(zhì)心的轉(zhuǎn)動慣量IA = mArA2和IB = mBrB2．角速度為ω = L/(IA + IB) = (rads1，當(dāng)兩者最接近時，便函拉起手來，開始繞質(zhì)心作圓周運(yùn)動，．求該瞬時：（1）系統(tǒng)對通過質(zhì)心的豎直軸的總角動量；（2）系統(tǒng)的角速度；（3）兩人拉手前、后的總動能．這一過程中能量是否守恒？vBrvAmAmBrArB[解答]（1）設(shè)質(zhì)心距A的平行線為rA，距B的平行線為rB，則有rA + rB = r，根據(jù)質(zhì)心的概念可得mArA = mBrB，解方程組得，．兩運(yùn)動員繞質(zhì)心的角動量的方向相同，他們的總角動量為= 630(kg解得 經(jīng)過的時間為．[注意]在此題中，由于A、B兩輪不是繞著同一軸轉(zhuǎn)動的，所以不能用角動量守恒定律．如果A輪的輪面放在B輪的輪面之上，且兩輪共軸，在求解同樣的問題時，既可以用轉(zhuǎn)動定律求解，也可以結(jié)合角動量守恒定律求解．當(dāng)它們之間沒有滑動時，角動量為ω`，根據(jù)角動量守恒定律得IAω = (IA+IB)ω`，因此得ω` = IAω/(IA + IB)．R2R1AB（1）設(shè)R1≦R2，那么A輪壓在B輪上的面積為S = πR12，壓強(qiáng)為p = M1g/S = M1g/πR12．當(dāng)A輪在B輪上產(chǎn)生滑動時，在A輪上取一半徑為r、對應(yīng)角為dθ面積元，其面積為dS = rdθdr，對B輪的壓力為dN = pdS = prdrdθ，所受的摩擦力為df = μdN = μprdrdθ，其方向與半徑垂直，摩擦力產(chǎn)生的力矩為dM = rdf = μpr2drdθ，總力矩為．這是A輪所受的力矩，也是B輪所受的力矩．根據(jù)轉(zhuǎn)動定理得B輪的角加速度為βB = M/IB．根據(jù)轉(zhuǎn)動公式ω` = βBt，得時間為，即 ．BR1Ardr（2）如果R1≧R2，那么A輪壓在B輪上的面積為S = πR22，壓強(qiáng)為p = M1g/S = M1g/πR22．同樣在A輪上取一面積元，力矩的積分上限就是R2．總力矩為，由此求得時間就變?yōu)椋挥挟?dāng)R1 = R2時，兩