函數(shù)的極限及連續(xù)(參考版)
2025-05-19 01:41本頁面
【正文】 14兩個(gè)重要極限一、極限存在準(zhǔn)則 我們不加證明地給出以下兩個(gè)極限存在準(zhǔn)則： 準(zhǔn)則1 如果函數(shù)，在（或在時(shí)，）有，而且==A，則 =A 準(zhǔn)則2 如果數(shù)列單調(diào)有界，則極限一定存在.二、兩個(gè)重要極限這個(gè)極限的正確性可用準(zhǔn)則1來證明. 這里，我們僅列表考察當(dāng)時(shí)，的變化趨勢. 從上表可以看出，當(dāng)時(shí)，的值無限趨近于1，所以例1 . 解 令則當(dāng)時(shí)，所以 ===此例還可以用正弦的二倍角公式來解： ==== 例2 求. 解 令 則當(dāng)時(shí)，所以 ===1例3 證明.證 ===1例4 求.解 實(shí)際上，這個(gè)重要極限還可推廣到一般情況：當(dāng)時(shí)，若，則有 例5 求.解 ===例6 求.解 ==1這個(gè)極限的正確性可用極限存在準(zhǔn)則2來證明，在此從略，僅列表考察當(dāng)時(shí)，函數(shù)的變化趨勢.x101001000100001000001000000x101001000100001000001000000從上表可以看出，當(dāng)或時(shí)，的值都無限趨近于無理數(shù)所以若令，則當(dāng)時(shí)，所以上式也可改寫成：一般地，當(dāng)時(shí)，若，則有 例7 求.解 ==例8 求.解 ===例9 求.解 == ==習(xí)題14求下列各極限（1） （2）（3） （4）（5） （6）求下列各極限（1） （2）（3） （4）167。13 極限的運(yùn)算一、極限的四則運(yùn)算 設(shè)，,則（1）；（2），（C為常數(shù)）；（3）；（4）(B)說明：（1）上述運(yùn)算法則對(duì)于時(shí)的情形也是成立的。 （1） （2）（3） （4）考察下列函數(shù)當(dāng)時(shí)以的變化趨勢，并求出其當(dāng)時(shí)的極限。12極限的概念一、數(shù)列的極限先看下面兩個(gè)按一定次序排列的一列數(shù)（1）1，……，,……（2），……，,…… 我們稱它們?yōu)閿?shù)列，分別記作，.現(xiàn)在來考察無限增大時(shí)，這兩個(gè)數(shù)列的變化趨勢. 為清楚起見，我們把這兩個(gè)數(shù)列的前項(xiàng)：， ……分別在數(shù)軸上表示出來（如圖18，圖19所示）.圖18圖19由圖18可以看出，當(dāng)無限增大時(shí)，表示的點(diǎn)逐漸密集在點(diǎn)的右側(cè)，且無限接近于0；由圖19可以看出，當(dāng)無限增大時(shí)，表示的點(diǎn)逐漸密集在點(diǎn)當(dāng)?shù)淖髠?cè)，且無限接近于1.上述兩個(gè)數(shù)列具有相同的變化特征，即當(dāng)無限增大時(shí)，我們給出定義.，數(shù)列無限接近于一個(gè)確定的常數(shù)A，則把常數(shù)A稱為數(shù)列的極限（也稱數(shù)列收斂于A）記作 或當(dāng)時(shí)，因此，上述數(shù)列（1）有極限為0，記作；數(shù)列（2）有極限為1，記作.例1 觀察下面數(shù)列的變化趨勢，并寫出它們的極限.（1） （2）（3） （4）解 （1）的項(xiàng)依次為1，……，當(dāng)無限增大時(shí)，無限接近于0， 所以 =0；（2）的項(xiàng)依次為2，……，當(dāng)無限增大時(shí)，無限接近于1，所以=1；（3）的項(xiàng)依次為，……，當(dāng)無限增大時(shí)，無限接近于0，所以=0； （4）為常數(shù)數(shù)列，無論取怎樣的正整數(shù)，始終為4，所以.一般地，一個(gè)常數(shù)數(shù)列的極限等于這個(gè)常數(shù)本身，即（為常數(shù)）需要指出的是，并不是所有數(shù)列都有極限，如數(shù)列，當(dāng)無限增大時(shí)，也無限增大，不能無限接近于一個(gè)確定常數(shù)，所以它沒有極限. 又如數(shù)列，當(dāng)無限增大時(shí)，在1和1這兩個(gè)數(shù)上來回?cái)[動(dòng)，不能無限接近于一個(gè)確定常數(shù)，所以它也沒有極限.對(duì)于沒有極限的數(shù)列，我們稱該數(shù)列的極限不存在，亦稱該數(shù)列發(fā)散.二、函數(shù)的極限對(duì)于函數(shù)的極限，根據(jù)自變量的不同變化過程分兩種情況介紹.當(dāng)時(shí)，函數(shù)的極限當(dāng)自變量的絕對(duì)值無限增大時(shí)，記作. 設(shè)函數(shù)在時(shí)有定義（為某個(gè)正實(shí)數(shù)），如果當(dāng)自變量的絕對(duì)值無限增大時(shí)，函數(shù)無限趨近于一個(gè)確定的常數(shù)A，則稱常數(shù)A為當(dāng)時(shí)，函數(shù)的極限，記作（或當(dāng)時(shí)，）.需要指出的是，表示既取正值而無限增大（記作），同時(shí)又取負(fù)值而其絕對(duì)值無限增大（記作）顯然，函數(shù)在時(shí)的極限與在，時(shí)的極限存在以下關(guān)系： 的充要條件是.例2 討論下列函數(shù)當(dāng)時(shí)的極限. （1）； （2） ； （3）.解 （1）由反比例函
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