量子統(tǒng)計(jì)密度算符ppt課件(參考版)
2025-05-10 03:39本頁面
【正文】 密度矩陣可寫為： 如上面所討論的那樣，我們也可以將式 ()轉(zhuǎn)換成坐標(biāo)表象 : 這里．閉合的關(guān)系式 被應(yīng)用了兩次，將波函數(shù)與式 ()代入， ()成為： 在表達(dá)式 ()的括號中，出現(xiàn)了粒子 i的下標(biāo) 因此， ()的矩陣元仍 是單粒子矩陣元的簡單乘積， 練習(xí) 一個(gè)諧振子的密度矩陣 用能量及坐標(biāo)表象來計(jì)算一個(gè)諧振子的密度矩陣研究，它在 兩個(gè)極限的情況 提示：在坐標(biāo)表象中的能量本征函數(shù)為： 0??? TT 及解：能量表象下的密度矩陣普通為： 這里 已經(jīng)在例 8中計(jì)算了 在另一方面，坐標(biāo)表象比較難得到： 這里我們兩次代入 ()的能量本征函數(shù)完備組 對 n的求和可以得出，因?yàn)? 因此．式 ()成為 其指數(shù)的宗量是 — 般的二次式，若我們令 上面指數(shù)的宗量可以寫成如下形式 現(xiàn)在若 是個(gè)可逆的對稱矩陣，這個(gè)普遍的公式 得到滿足． 可以證明如下：首先我們代入新的變量 z=wiy,這里 y被定義為 ,這個(gè)變換的雅可比行列式具有絕對值 1，因而沒有附加的因子出現(xiàn) 在積分中。假定許多粒子的波函數(shù)為單粒子狀態(tài) ()波函數(shù)的乘積． 解：多粒子波函數(shù) 3LV?求跡遍布所有不同的能量本征態(tài)，其配分函數(shù)也為各個(gè)因子相乘， 因此我們獲得與 ()類似的結(jié)果 若我們將 ()與經(jīng)典的結(jié)果 ()比較，我們可以注意到吉布斯矯正因子沒有了。利用一個(gè)盒子與周期性的邊界來形成公式的方便性，在于自動地把粒子包括在有限的體積內(nèi)，而對自由的平面波卻不是這種情況。這個(gè)空間為所有固定粒子數(shù)的希爾伯特空間 直接和。只要對固定粒子數(shù)的系統(tǒng)，改算符才能用其本征值 N來代替。上面的結(jié)果都與經(jīng)典的）代入上式得：將（),(ln),(ln),(ln) ) ),(ln((tr)ln(lnNVTZkTSUFNVTZkNVTZkHkNVTZHkSk t rkSTU????????????????????????????????)} )({e x p()}({e x p0,)e x p (}e x p {]e x p [),()e x p (,NHtrNHNmNnnNENEnzNNVTZzNEVTNnnn??????????????????????????????? ???????）成為：，式（為權(quán)重。系綜中用用相空間積分，而量子類似，區(qū)別是：經(jīng)典時(shí)這與經(jīng)典的系綜平均很完全與經(jīng)典的一樣，從配分函數(shù) Z(T,V,N)可以通過求導(dǎo)得到所有熱力學(xué)可觀察量，只是現(xiàn)在要用式（ ）和（ ）來計(jì)算配分函數(shù)。盡管分裂的能量（量子系統(tǒng)）取代了連續(xù)能譜（經(jīng)典系統(tǒng)），人們也可以在任意基矢下表示密度算符。 因此我們在大量相同的，具有相同的哈密頓以及相同的密度矩陣的系統(tǒng)中去測能量狀態(tài)，可以找到一個(gè)任意選擇 的系統(tǒng)，它以概率 處在能量 上。對于經(jīng)典的相空間密度主要依賴與哈密頓，因而用能量本狀態(tài)作為基矢是方便的，能量本狀態(tài)由下式?jīng)Q定： 的概率。對應(yīng)的對于非相干統(tǒng)計(jì)的平均極化矢量為： 在這個(gè)例子中，已經(jīng)很清楚，若我們不掌握量子力學(xué)可能得到的最大的信息，例如在許多信息（能量，自旋投影等等）中我們只確定了幾個(gè)（如能量），則用混合態(tài)來處理（？） 122 ?? ?? aa 1?P2/1??S2/1,??K 2/1,??K?? ?? 密度矩陣的性質(zhì) iii i ???? ???密度算符表示： 性質(zhì)： ??????????????21,若是純態(tài)，則tr密度算符在任意基矢中的展開 kkkk ??? ?? ?? ?的概率自發(fā)躍遷到從狀態(tài)解釋為中的概率，若時(shí)為系統(tǒng)在狀態(tài)當(dāng) kkk :, ???????? kkkk現(xiàn)在我們來研究密度矩陣隨時(shí)間的變化。然而，若我們在一個(gè)電子的統(tǒng)計(jì)系綜中測量極化，這些電子一般講沒有完全極化。 k?)(ikaii?ii?)(i?? f?)(i? ii?ii? 2iakkiiki faaf ???? ?? ??,*)()( iii iiff ??? ?? ??例 自由電子 一自由電子連同它的自旋，其波函數(shù)為 其中： 這里 s=1/2或 1/2表示了自旋的兩個(gè)投影方向。則有如下恒等式：
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