【正文】 由于點(diǎn)渦對(duì)自身沒(méi)有誘導(dǎo)速度，因此 b處速度只是由鏡像渦產(chǎn)生，鏡像渦的流函數(shù)（方便求導(dǎo)）： x y o . b 2題 .3題圖 . bybxbxxvybxybx2122]l n [4220,22???????????????????????）（）（）（鏡像如果求 b/2處速度，則需寫出全部流函數(shù)： 0,134)11(2]l n [4]l n [40,0,2222222?????????????????????????? yxxyx bbbubbxbxxvybxybx?????? ）（）（。 x y y’ x’ ????s inco ss inco s,xyyyxx???? x y o . b 圖 2題 .3題圖 Folie76 解 1a. Φ ＝ V∞ y b. c. d. rQ ln2?? ????? 2???2,2,2,2, yx yMyx xM ????? ??xxyyyyxx ????????? ?????? s i nco s,s i nco s,2 ,?2222 , yxxMyxyM????? ??x y y’ x’ Folie77 解 2. 在 x 軸上距原點(diǎn)為 b處放置點(diǎn)源（源強(qiáng)度為 Q）， y 軸為璧面，試求 x=b/2 處的速度表達(dá)。 提示：坐標(biāo)旋轉(zhuǎn)變換關(guān)系為： 2. 在 x 軸上距原點(diǎn)為 b處放置點(diǎn)源（源強(qiáng)度為 Q）， y 軸為璧面，試求x=b/2 處的速度表達(dá)。 c. 試寫出位于原點(diǎn)，順時(shí)針旋轉(zhuǎn)的點(diǎn)渦的位函數(shù)。對(duì)復(fù)雜外形的繞流，介紹用基本解進(jìn)行疊加的數(shù)值解法大意 Folie74 Folie75 小測(cè)驗(yàn)（ 15分鐘） 1. a. 試寫出從 –y 流向 +y ，速度值為 V∞ 的直勻流的位函數(shù)。 Folie72 本章基本要求 ? 掌握平面不可壓位流中位函數(shù)與流函數(shù)的性質(zhì)與關(guān)系。這兩種方法是等價(jià)的。分段的數(shù)目不宜太多。理論上，當(dāng)段數(shù) n 趨于無(wú)限大時(shí)，偶極子密度分布的數(shù)值結(jié)果趨近于精確解。 在上述過(guò)程中，我們實(shí)際上是把第 j段中分布的偶極子用集中在該段中點(diǎn)處的等強(qiáng)度偶極子來(lái)代替了。 11212111 yvmCmCmC nn ????? ??22222121 yvmCmCmC nn ????? ??nnnnnn yvmCmCmC ????? ??2211?Folie71 2022年版本 北京航空航天大學(xué) 《 空氣動(dòng)力學(xué) 》 國(guó)家精品課 3． 4 二維對(duì)稱物體繞流的數(shù)值解 一旦所給定物體外形的偶極子密度分布已經(jīng)解得，則可以確定流場(chǎng)內(nèi)任意點(diǎn)處的流函數(shù)。 ? ? 221 yxymyvjjnj ????? ??? ???jmjm ??j?Folie69 2022年版本 北京航空航天大學(xué) 《 空氣動(dòng)力學(xué) 》 國(guó)家精品課 3． 4 二維對(duì)稱物體繞流的數(shù)值解 用物面邊界條件來(lái)確定待求的偶極子密度 對(duì)于給定物體外形上的 n個(gè)已知點(diǎn)（ xi， yi），就可以得到一個(gè)對(duì)未知函數(shù)的 n 元一次聯(lián)立代數(shù)方程組： 其中 為影響系數(shù)，表示 處的單位偶極子 密度對(duì)物體表面某點(diǎn) Pi (xi, yi) 處的流函數(shù)貢獻(xiàn)。 Folie68 2022年版本 北京航空航天大學(xué) 《 空氣動(dòng)力學(xué) 》 國(guó)家精品課 3． 4 二維對(duì)稱物體繞流的數(shù)值解 數(shù)值解法步驟 首先，我們把偶極子分布區(qū)域分成等寬度的 n 段，設(shè)每段的寬度為 △ ξ，段數(shù) n 可根據(jù)計(jì)算機(jī)容量及結(jié)果的準(zhǔn)確度要求而確定。但是隨著計(jì)算機(jī)技術(shù)的發(fā)展，可以用數(shù)值方法比較迅速地獲得這種方程的有一定準(zhǔn)確度的數(shù)值解。在這種情況下，偶極子密度分布函數(shù)的確定需要由流函數(shù)求解。改變不同的偶極子密度分布，可以獲得不同形狀的封閉物體，由流函數(shù)和速度以及速度與壓強(qiáng)的關(guān)系確定流場(chǎng)中各點(diǎn)及物體表面的速度分布和壓強(qiáng)分布。 如果偶極子密度的分布形式已知 ， 則離原點(diǎn)距離為 ξ 的小區(qū)間內(nèi)由偶極子產(chǎn)生的流函數(shù)為： 總流函數(shù)為： 。 Folie64 ? 從“野渡無(wú)人舟自橫”到“香蕉球”技術(shù) ? 淺談“香蕉球”的力學(xué)原理 Folie65 2022年版本 3． 4 二維對(duì)稱物體繞流的數(shù)值解 把直勻流和分布的偶極子（或總強(qiáng)度為零的分布點(diǎn)源和點(diǎn)匯）疊加起來(lái)，所得到的組合流動(dòng)為對(duì)稱封閉物體繞流。有環(huán)量時(shí)，上半圓上的負(fù)壓遠(yuǎn)遠(yuǎn)超過(guò)下半圓上的負(fù)壓，所以有一個(gè)向上的合力，即升力。其中有環(huán)量和無(wú)環(huán)量繞流情況作了對(duì)比。 庫(kù)塔 儒可夫斯基定理 一個(gè)封閉物體所受升力 L等于來(lái)流的密度 乘速度再乘以氣流方向逆著環(huán)流旋轉(zhuǎn) 90。這就說(shuō)明了物形對(duì)升力沒(méi)有直接的關(guān)系，關(guān)鍵的問(wèn)題在于必須有一個(gè)繞物體的環(huán)量存在。 對(duì)于單位時(shí)間動(dòng)量的凈流出量計(jì)算如下： )1(2 si n)1(22 si n22122/2/2212112/2/1raVdrarVrdprLp????????????????????????????????22 11 c o s 1 s i n 2r aaV V V Vr r r r r??? ?? ????? ? ? ?? ? ?? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ???? ? ? ?，F(xiàn)olie61 、 一些簡(jiǎn)單的迭加舉例 在 y 方向的速度分量是： 單位長(zhǎng)度圓柱所受的總升力為： 22s i n c o s ( 1 ) c o s s i n ( 1 ) s i n c o s c o s2raav V V V Vr r r?? ? ? ? ? ? ?????? ? ? ? ? ? ??? co s1 22???????? ?????? raVrV r/ 2 / 2 2211 211/ 2 / 2/2 22211/22 2 ( 1 ) c o s2 ( 1 ) c o s ( 1 )2vraL r V v d r V drrV a V adrr??????? ? ? ? ??????????????? ?? ? ? ? ???????? ? ? ?????????????? ??????????? ???????? VraVraVLLLvp ??? 212212121121Folie62 2022年版本 北京航空航天大學(xué) 《 空氣動(dòng)力學(xué) 》 國(guó)家精品課 、 一些簡(jiǎn)單的迭加舉例 只要是一個(gè)封閉物體，代表這個(gè)物體作用的正負(fù)源的強(qiáng)度總和必須等于零。 徹體力略去不計(jì)； 流動(dòng)是定常 的。不過(guò)這兩條割線上的壓力和動(dòng)量進(jìn)出 都對(duì)消了，不必管它受力情況左右對(duì)稱，不 會(huì)有 X合力。 Folie58 2022年版本 北京航空航天大學(xué) 《 空氣動(dòng)力學(xué) 》 國(guó)家精品課 、 一些簡(jiǎn)單的迭加舉例 用動(dòng)量定理來(lái)計(jì)算繞圓柱的有環(huán)量流動(dòng)的升力。 22221 c o s11 s i n2raVVrraVVr r r????????????? ? ???? ??????? ? ? ? ???? ??aVV ??? 2s in2?????0? ? ???，0 2 s i n 02V V V a?? ? ?? ?? ? ? ? ?，????aV?? 4s in 0x y * 此時(shí)流函數(shù)數(shù)值不為零 Folie57 下圖給出幾種不同點(diǎn)渦強(qiáng)度下駐點(diǎn)位置圖畫： 顯然，有環(huán)量的繞圓流動(dòng)其左右仍是對(duì)稱的，但上下已不對(duì)稱了，因此在垂直于來(lái)流的 y 方向合力就不會(huì)為零。這個(gè)角度離開(kāi) π和 0176。 這時(shí)的流函數(shù)和位函數(shù)為 22( , ) s i n l n2( , ) c o s2ax y V r rrax y V rr???? ? ?????? ?? ? ??????? ?? ? ?????Folie56 、 一些簡(jiǎn)單的迭加舉例 在極坐標(biāo)下，兩個(gè)分速度為 r=a仍是一條流線 。這就是無(wú)粘抽象的指導(dǎo)意義 。 后來(lái)才知道，這樣撇開(kāi)粘性來(lái)處理問(wèn)題，是一種很有價(jià)值的合乎邏輯的抽象，它能使我們把影響流動(dòng)的各種因素分開(kāi)來(lái)看清楚。這個(gè)結(jié)論不符合事實(shí)。 不過(guò)實(shí)際流動(dòng)左右是不對(duì)稱的，由于實(shí)際流體是有粘性的緣故，氣流過(guò)了最大速度點(diǎn)以后，不可能始終貼著物體流下去，不可能進(jìn)行完全的減速結(jié)果水平方向是有一個(gè)阻力的 。 處降為零，這一點(diǎn)稱為后駐點(diǎn)。以后繼續(xù)加速，在 θ=π/2 處達(dá)最大速度，其值二倍于來(lái)流的速度， Cp 是（ –）。從前駐點(diǎn)往后流，在 θ=150176。兩個(gè)速度分量為： 2 2 22( , ) ( ) c o s ( , ) s i na x a ax y V x V r x y V rr r r? ? ? ?? ? ?? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?，22 / aVMr ?? ?02????????? ?rar?????? s in)1(1c o s)1(2222raVrVraVrV r?????????????Folie51 2022年版本 北京航空航天大學(xué) 《 空氣動(dòng)