【正文】 B0~ ?IB1）吸收邊界條件的推導(dǎo) 把波動(dòng)方程（ ）式對(duì) z和。 把 右行波方程取為左邊界的邊界條件 ， 把左行波方程取為右邊界的邊界條件 。為了導(dǎo)出吸收邊界，必須采用一種算子 B，使得它作用在邊界上的波場(chǎng)時(shí)，波場(chǎng)值等于零，即 0)( ?? RI RuuB （ ） 考慮到我們的邊界條件是線性的，可以求出反射系數(shù)： )()(RIuBuBR ?? （ ） ),(~),(~??zRzIkxBkxBR???（ ） 或 從上式可以看出 ， 要選擇這樣一個(gè)算子 ， 當(dāng)它作用在波場(chǎng)上時(shí) ， 使界面上入射的波如同無(wú)邊界那樣 ， 就不會(huì)產(chǎn)生邊界反射了 。 考慮一個(gè)入射到右邊邊界上的簡(jiǎn)諧平面波： 20)s i nco s(???????? ?? kzkxtiI eu （ ） 式中 為平面波波前與 x軸間的夾角， k為波數(shù)，等于 。為了克服這個(gè)不足 ， 提出了使用 吸收邊界條件 的算法 。 在現(xiàn)代偏移技術(shù)中為了避免在有用的地震剖面范圍內(nèi)出現(xiàn)邊界反射波 ， 常常要在地震剖面的兩邊進(jìn)行擴(kuò)邊 ， 擴(kuò)邊道有時(shí)要達(dá)到 96道或更多 。這樣的邊界不可避免地會(huì)產(chǎn)生 邊界反射 。 圖 126. 逆時(shí)偏移從數(shù)據(jù)體底部的全零 （ x,z）平面開(kāi)始 ， 按時(shí)間向 t=0反推 ， 計(jì)算出不同時(shí)間的 （ x,z） 平面切片；這些地下切片在圖中用一系列水平面來(lái)表示 ， 反推方向按粗黑箭頭所示 ，每個(gè)時(shí)間平面 （ x,z） 都包含有出自地震剖面的邊界值 （ 虛線表示的 z=0平面上的 x線 ） ， t=0的 （ x,z） 平面即為偏移剖面 （ 頂部的水平面 ） 3．吸收邊界條件 仍然討論二維情況。 圖 125. 地表 z=0的地震剖面 （ x,t） ， 它向下延拓獲得各個(gè)離散深度上的時(shí)間剖面 。 這些輸出結(jié)果就組成了偏移剖面 （ x,z,t=0） 。 圖 125為 （ x,z,t） 坐標(biāo)系 ， 地震剖面在 （ x,t） 平面上 ， 偏移剖面則在 （ x,z） 平面上 。 vzt /239。 （ ） 矩陣方程（ ）式可用 矩陣方法 求解，也可以改寫(xiě)為代數(shù)方程組后用 追趕法 求解， 要求：差分方程必須穩(wěn)定 。因?yàn)? 永遠(yuǎn)大于零。 ???????????????????????????????????????????????????)(21)()(00)()(21)()()(21????????A??????????????????????????????????????????????)(2100)(21)(21????????B（ ） （ ） 只要矩陣 A可逆，（ ）可解。這時(shí)差分方程（ ）可改寫(xiě)為： xx?? )?/(? xxxx I ??? ?? ? ? ? ? ? n jixxn jin jixxn jixx uIuuIuI 1,1 1,1, ?)()(?)(?)( ?? ?? ????????? ?????????（ ） 式中 。 ， 和 為相應(yīng)層上沿 x軸的波場(chǎng)值列向量。（ ）式經(jīng)過(guò)簡(jiǎn)單整理后得： ),(1, tzzxuu n ji ????1,?njiu ),(1 1, ttzzxuu n ji ?????? ?n jixxn jixxn jixxn jixx uIuIuIuI 1,1 1,1, )?()?()?()?( ?? ?? ??????? ????????（ ） 式中 )0,1,0(,162 2 ?? ????? Ix ztva 算子 （ ）式寫(xiě)成矩陣式為： njnjnjnj AUUUBAU 1111 )( ???? ???（ ） 式中 、 為三對(duì)角矩陣。 實(shí)用中，常采用下列符號(hào)： 圖 124 差分格式 )2(1)(1),(),(21,121,21,1221,1,21,njinjinjinjixxnjinjinjitnjiuuuxuuututzxutjznxiuu?????????????????????? 對(duì)圖 124格式的中心點(diǎn)進(jìn)行差分，（ ）式可化為如下的差分方程： )(?)(?21212121 ,1,1,njinjixxnjinjit uuauu ?????? ???? ??（ ） 式中 2222?,?,8 xxxxxtt xxtxztva ????? ??????????由（ ）式整理得： njixxtnjixxt uaua 2121 ,1, )??()??(??? ??? ????（ ） 為了求出以整采樣點(diǎn)為依據(jù)的表達(dá)式，（ ）式可寫(xiě)成： )(?2)(?2 ,1,1,1,1 1,1,1 1, n jin jixxn jin jin jin jixxn jin ji uuauuuuauu ??????? ???? ??? ? ??（ ） 從（ ）式可以解出求 的遞推式。 0, ?zx),( tzxu 下面用有限差分法來(lái)解這個(gè)方程。 ),(),0,( txtzxu ???x z 目的 : 通過(guò)解上述微分方程求出地面以下任何點(diǎn) （ ）上的曾經(jīng)在該點(diǎn)出現(xiàn)過(guò)的上行波的波場(chǎng)值 (位移或壓力場(chǎng)振幅 ) 。 這樣 ， （ ） 式可重新寫(xiě)成： 04 222??????? x uvzt u （ ） 這里的速度，假設(shè)它是常數(shù)，在實(shí)用中它可以隨 和 而變。 1） 浮動(dòng)坐標(biāo)下的有限差分法地震偏移 采用浮動(dòng)坐標(biāo)系 , 只討論一級(jí)近似的上行波二階偏微分方程（ ） 的有限差分偏移問(wèn)題 。 如果在剖面上存在這些波 ， 在外推過(guò)程中也都按反射一次波處理 ， 但它們是不能正確歸位的 ， 只能造成偏移成像剖面的干擾 。 對(duì)于這種觀測(cè)結(jié)果 ， 為了成像 ， 要求 向地面以下反向外推地震波場(chǎng) 。這也會(huì) 減少計(jì)算工作量 。39。39。39。另外， 保持了計(jì)算的穩(wěn)定性 。 222??????? x uvtz u（ ） 與（ ）式相比，減少了一項(xiàng)。239。下面給出一級(jí)和二級(jí)近似方程。~2423432?????????????????????三級(jí)近似式 （ ） 高級(jí)近似式可依次類(lèi)推。~ 2?????????????（ ） 二級(jí)近似式 ukvvkizuxx~41239。21222???????? ???????? ??? ?? （ ） （ ）式的右端項(xiàng)可展開(kāi)為各級(jí)近似式，便得到上行波各級(jí)近似方程。它表示 坐標(biāo)變換前后的算子關(guān)系 。~2~222 ????????zuzuviuk x ?（ ） （ ）式可改寫(xiě)為： ukvuviz x ~~39。239。39。 tuvtzuvzuzu???????????? （ ） 222239。39。xuxu????? （ ） 2222222239。,39。坐標(biāo)變換前后波場(chǎng)本身是不變的，因此存在： )39。39。 ?453）浮動(dòng)坐標(biāo)系中的單程波方程 上行波方程在一定的浮動(dòng)坐標(biāo)系中可以簡(jiǎn)化。 ?15 同理可求出空間 時(shí)間域的二級(jí)及二級(jí)以上近似的上行波方程?，F(xiàn)在，我們把（ ）式轉(zhuǎn)換到空間 時(shí)間域，求出一級(jí)近似方程。 2）上行波的空間 時(shí)間域方程 在第一節(jié)已經(jīng)求出了頻率 波數(shù)域的上行波方程 ()式： ukvizu x ~~ 222???? ?用迭代展開(kāi)法展開(kāi)上行波方程： uRvkviuvkvizunxx ~11~1~ 222222 21??????????????????? ???? ???? （ ） 式中 1,1 /1 01222?????RRvkRnxn?由（ ）式求出各級(jí)近似式如下。 一級(jí)展開(kāi)式： 211XR ?? （ ） 二級(jí)展開(kāi)式： 41212212XXXXR?????? （ ） 三級(jí)展開(kāi)式： 41412122213XXXXXXR????????（ ） 高級(jí)近似式可依此類(lèi)推出來(lái)。 （ 3）迭代展開(kāi) 這種隱式展開(kāi)法，是把前一級(jí)的展開(kāi)結(jié)果代入下一級(jí)的展開(kāi)式中。其各級(jí)展開(kāi)式如下。因此我們?cè)谑褂枚?jí)近似以上的展開(kāi)式時(shí)不能用這種展開(kāi)式。 21)1( X?（ 1） Taylor展開(kāi) 這是一個(gè)眾所周知的顯式展開(kāi)式，它一般表達(dá)為： ??5432 256 7128 516 181211)1( 21 XXXXXX ???????（ ） 展開(kāi)條件 。 首先就要把上行波方程表示在空間 時(shí)間域中 ， 這需要用到某種根式展開(kāi) 。最后討論一些計(jì)算方法和效果。為了把上行波方程表示為空間 時(shí)間域的表達(dá)式，需要把上行波方程表示為某種近似式。此時(shí)，成像值為 RvRyxudydxzzyxu),0,(21)0,( 0000???????（ ） Kirchhoff積分法的偏移效果見(jiàn)圖 123。 下面討論利用 Kirchhoff積分法對(duì)水平疊加剖面進(jìn)行波動(dòng)方程偏移的步驟 。由（ ）式可知 RvRttzRvRttz?????? ???????????? ???? 000?? （ ） 將（ ）式代入（ ）式，得到 RvRtyxudAzRvRtttyxudtdAzRvRtttyxudAdtztzyxuAAA),0,(21)(),0,(21)(),0,(21),(000000000000??????????????????????????????（ ） 根據(jù)褶積的定義，我們把（ ）式寫(xiě)成三維褶積符號(hào)形式，則有 ??????????????000)(21*),0,(),(RvRtztyxutzyxu??（ ） 其中 2220 zyxR ???把（ ）式對(duì) x,y和 t進(jìn)行傅里葉變換，則可寫(xiě)為： ),(),0,(~),(~ ??? zkkHkkuzkku yxyxyx ??（ ） 式中褶積算子 H為： ???????????)(00 )(21),(ykxktiyxyxeRvRtd x d yd tzzkkH????（ ） 對(duì) t積分得到： yikxikzyxviyx eezyxedxdyzH ?????? ??????????????????22222221（ ） 括號(hào)內(nèi)積分是第一類(lèi) Hankel函數(shù)，上式可寫(xiě)為 ? ????????????????????????????? ? yikxyezykvH