【正文】 基本積分公式（1） （2）（3） （4） ()（5） （6）（7） （8）（9） （10）（11） （12）（13） （14）（15） （16）（17） （）（18） （）（19） （）（20） （）（21） （）第一類換元積分法（湊微分法）第二類換元積分法（消去根式，回到方法1和2），常見形式有：（1）代數(shù)換元①對 ，設②對且，設（為和的最小公倍數(shù)）（2）三角換元①對，設 ②對，設 ③對，設 分部積分法（用于解決被積函數(shù)是兩類不同函數(shù)乘積的不定積分）（1）分部積分公式： （運用公式后，用方法1和2求出），（2）運用公式正確選擇和的一般規(guī)律： ①若被積函數(shù)是冪函數(shù)與三角函數(shù)（或指數(shù)函數(shù)）的乘積時，可選為冪函數(shù)；②若被積函數(shù)是冪函數(shù)與反三角函數(shù)（或對數(shù)函數(shù)）的乘積時，可選為反三角函數(shù)（或對數(shù)函數(shù)）；③形如 和 的不定積分，可以任意選取幾類簡單有理函數(shù)的積分。 如果的一個原函數(shù)是，則 （歷年真題）設的一個原函數(shù)是，則 一曲線經過點，且在曲線上任意一點處的切線斜率為，則此曲線方程為。不定積分的性質（1） （2） （為非零常數(shù)）（3） 微分運算與不定積分運算是互逆的。當題目條件中給出和的值時，函數(shù)的全微分為。類似可以定義三階、四階……n階偏導數(shù)，二階和二階以上的偏導數(shù)稱為高階偏導數(shù)。二階偏導數(shù)共有4個。（2）記號：設二元函數(shù)，則 對的偏導數(shù)記作：，對的偏導數(shù)記作：，（3）求偏導數(shù)的方法：二元函數(shù)求偏導數(shù)，只需在求對的偏導數(shù)時，將看做常量；求對的偏導數(shù)時，將看做常量。類似定義三元函數(shù)、四元函數(shù)等等。當點定義域D內變動時，對應點的全體就形成了一個曲面，這個曲面就是二元函數(shù)的圖像。第六章 多元函數(shù)微分學第一節(jié) 多元函數(shù)的基本概念一、 二元函數(shù)的定義 ，其中稱為自變量，稱為因變量，點集D稱為定義域二元函數(shù)的幾何意義（1） 的圖像是空間直角坐標系內的一張曲面，其定義域D幾何上是曲面在平面上的投影區(qū)域。已知曲線上點處有水平切線，且原點為該曲線的拐點，求常數(shù)的值，并寫出曲線的方程。 設函數(shù)在點處可導，且有極小值，求曲線上點處的切線方程。設曲線以為拐點，求常數(shù)和的值。二、解答題當時，證明：如果，則函數(shù)沒有極值。 例題精講 一、 填空題函數(shù)在取得最小值，在取得最大值。四、曲線的漸近線曲線的水平漸近線設曲線，如果或或，則稱直線是曲線的水平漸近線。③全部和不存在的將定義區(qū)間分成若干子區(qū)間。拐點：連續(xù)曲線上凹弧和凸弧的分界點，拐點須用坐標表示。簡單應用題的最值問題由實際問題本身的性質可以斷定目標函數(shù)確有最大（?。┲?，且一定在區(qū)間內部達到，又在區(qū)間內部目標函數(shù)僅有一個駐點，則在處目標函數(shù)一定取最大（?。┲怠＃?）如果連續(xù)函數(shù)在上單調增加（減少），則最值必在區(qū)間端點處達到。④如果利用極值的第二充分條件求函數(shù)極值，請注意該方法的局限性：只適用于二階導數(shù)存在的駐點，不適用于不可導點。③全部駐點和不可導點將定義區(qū)間分成若干子區(qū)間。求函數(shù)的單調區(qū)間和極值的一般步驟： ①求出函數(shù)的定義區(qū)間。極值和最值的區(qū)別：①局部和整體；②個數(shù)；③大小關系。（2）不可導點：不存在的的值稱為函數(shù)的不可導點。證明：（1）當時，；（2）當時。求證：當時，求證：求證：當時，證明：二次函數(shù)在區(qū)間上應用拉格朗日中值定理時，所求的點總是區(qū)間的中點，即。求證：方程在內至少有一個實根。試證：至少存在一點，使得。Lagrange定理的應用：證明等式或者不等式 （1）證明關鍵：選準滿足定理條件的和所討論的區(qū)間。（2）證明等式：根據(jù)待證等式構造輔助函數(shù)，確定一個閉區(qū)間，驗證在閉區(qū)間上滿足Rolle定理的三個條件，從而根據(jù)定理結論得證。Rolle定理的應用（1）證明方程根的存在性：Rolle定理的結論為：函數(shù)在內至少存在一個，使得。設，求。三、微分在近似計算中的應用。二、微分的運算法則微分的基本運算式：設函數(shù)，則。在點處的微分描述的是：當很小時（），近似改變了多少，即： （）設函數(shù)在內可微，則的微分為 ；因為，所以有。例題精講 一、填空題設則（歷年真題）設則（歷年真題）設是由方程確定的隱函數(shù)，則（歷年真題）設則設方程確定了是的隱函數(shù)，則設方程確定了是的隱函數(shù)，則設，則二、解答題求下列函數(shù)的導數(shù)（1） （2） （3）（4） （5） （6）（7） （8）求下列函數(shù)的n階導數(shù)（1） （2） （3）求下列隱函數(shù)的導數(shù)（1） （2） （3） 1設可導，試求：和1設，求1設，試求則1求曲線上的點處的切線方程和法線方程。若函數(shù)的階導數(shù)存在，則稱函數(shù)階可導，此時意味著都存在。冪指函數(shù)的求導，也可以先將函數(shù)變形為，再利用復合函數(shù)求導法則求出其導數(shù)。五、對數(shù)求導法：對數(shù)求導法就是在的兩邊同時取對數(shù)，然后用隱函數(shù)求導法求導的方法。隱函數(shù)求導法：求由二元方程確定的函數(shù)的導數(shù)，首先在方程兩邊對求導，遇到時將其作為中間變量，利用復合函數(shù)的求導法則，得到含有的等式，解出即可。三、復合函數(shù)的求導法則 熟練運用復合函數(shù)的求導法則求導數(shù)，關鍵在于熟練掌握復合函數(shù)的分解。第二、三、四節(jié) 導數(shù)的運算法則一、基本初等函數(shù)的求導公式（16個）二、導數(shù)的四則運算法則函數(shù)和、差、積的求導法則都可推廣到有限個函數(shù)的情形。2證明：雙曲線上任一點處的切線與坐標軸構成的三角形的面積都等于。2在拋物線上取橫坐標為的兩點，作過這兩點的割線，問過拋物線上哪一點的切線平行于這條割線，寫出這條切線的方程。設函數(shù) 在點處可導，求。1曲線和曲線在點處相切，則常數(shù)1設，則三、解答題1利用導數(shù)的定義求下列函數(shù)的導數(shù)： （1） （2）1設函數(shù)在點處可導，且，試求下列極限的值：（1） （2） 1已知：當時，是的高階無窮小量，試求。設函數(shù) ，則。 反之，如果在點處連續(xù)，在點處卻不一定可導。三、函數(shù)的可導性和連續(xù)性之間的關系。二、導數(shù)的幾何意義導數(shù)的幾何意義：在點的導數(shù)在幾何上表示曲線在點 處切線的斜率： ；曲線在點處的切線方程： 曲線在點處的法線方程：特別的，①如果在點的導數(shù)，那么曲線在點處的切線方程為，曲線在點處的法線方程為。②左、右導數(shù)主要用于計算分段函數(shù)分界點的導數(shù)。例題精講 求冪級數(shù)的收斂半徑和收斂域求冪級數(shù)的收斂半徑和收斂域P256歷年真題第二章 導數(shù)與微分第一節(jié) 導數(shù)的概念一、導數(shù)的概念 函數(shù)在點的導數(shù)： = ①（1）表示函數(shù)相對于自變量在上的平均變化率，導數(shù)=表示函數(shù)在點處的瞬時變化率。③當時，此時的收斂開區(qū)間為。定義，稱為冪級數(shù)的收斂半徑。而時的斂散性須單獨討論，從而確定收斂域的開閉。（1）當時，所以是的收斂點；（2）當時，令，由比值審斂法