甘肅省蘭州第一中學(xué)20xx-20xx學(xué)年高二3月月考數(shù)學(xué)理試題(參考版)
2025-04-07 04:47本頁面
【正文】 f(b)=f(x)在區(qū)間[a，b]上一定存在零點x0，假設(shè)y=f(x)在區(qū)間[a，b]上還存在一個零點x1（x1≠x0），即f(x1)=0，由函數(shù)f(x)在區(qū)間[a，b]上單調(diào)且f(a)0，f(b)0知f(x)在區(qū)間[a，b]上單調(diào)遞減；若x1x0，則f(x1) f(x0)，即00，矛盾，若x1x0，則f(x1) f(x0)，即00，矛盾，因此假設(shè)不成立，故y=f(x)在區(qū)間[a，b]上有且只有一個零點.19．（12分）如圖所示，在邊長為60 cm的正方形鐵片的四角上切去相等的正方形，再把它沿虛線折起，做成一個無蓋的長方體箱子，箱底的邊長是多少時，箱子的容積最大？最大容積是多少？解：設(shè)箱子的底邊長為x cm，則箱子高h(yuǎn)＝ cm.[來源:學(xué)科網(wǎng)ZXXK]箱子容積V＝V(x)＝x2h＝(0x60)．求V(x)的導(dǎo)數(shù)，得V′(x)＝60x－x2＝0，解得x1＝0(不合題意，舍去)，x2＝40.當(dāng)x在(0,60)內(nèi)變化時，導(dǎo)數(shù)V′(x)的正負(fù)如下表：x(0,40)40(40,60)V′(x)＋0－因此在x＝40處，函數(shù)V(x)取得極大值，并且這個極大值就是函數(shù)V(x)的最大值．將x＝40代入V(x)得最大容積V＝402＝16 000(cm3)．所以箱子底邊長取40 cm時，容積最大，最大容積為16 000 cm3.20．（12分）設(shè)f(n)＝1＋＋＋…＋，是否有關(guān)于自然數(shù)n的函數(shù)g(n)，使等式f(1)＋f(2)＋…＋f(n－1)＝g(n)[f(n)－1]對n≥2的一切自然數(shù)都成立？并證明你的結(jié)論．解： 當(dāng)n＝2時，f(1)＝g(2)[f(2)－1]，得. 當(dāng)n＝3時，f(1)＋f(2)＝g(3)[f(3)－1]，得＝＝3.猜想g(n)＝n(n≥2)．下面用數(shù)學(xué)歸納法證明：當(dāng)n≥2時，等式f(1)＋f(2)＋…＋f(n－1)＝n[f(n－1)]恒成立．(1)當(dāng)n＝2時，由上面計算知，等式成立．(2)假設(shè)n＝k時等式成立，即f(1)＋f(2)＋…＋f(k－1)＝k[f(k)－1](k≥2)，那么，當(dāng)n＝k＋1時，f(1)＋f(2)＋…＋f(
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