【正文】 4．９環(huán)與域上的多項式環(huán)一、主要內(nèi)容1．有單位元環(huán)R上多項式環(huán)R[x]的性質(zhì)．1)　R[x]是整環(huán)R是整環(huán)．2)　 R[x]中多項式的除法——左、右商及左、右余式．2．域F上多項式的根．1)　F上n次多項式在擴域內(nèi)根的個數(shù)≤n；2)　F上多項式f(x)在擴域內(nèi)無重根(f(x)，(x))＝1．　　二、釋疑解難 　1．本節(jié)均假定環(huán)R有單位元，但并未假定R可換．因此，在對R上的多項式在進(jìn)行除法時，必須分左、右商和左、右余式．從本節(jié)習(xí)題中可知，一般說左右商不一定相等，左右余式也不一定相等．當(dāng)然，如果R是交換環(huán)，它們則分別相等，就不必再分左與右了．2．域上多項式的根的狀況同我們所熟知的數(shù)域上多項式的情況一致．但是，環(huán)上多項式根的狀況，由例子可知，就很不一樣．例如，環(huán)R上一個n次多項式在R內(nèi)可能無根(這種情況并不奇怪，因為例如有理數(shù)域上多項式在有理數(shù)域內(nèi)也不一定有根)，也可能有多于n個的根(這種情況在數(shù)域或域上多項式不會發(fā)生)．不過，教材中除下一章惟一分解整環(huán)的多項式擴張外．主要用到場上的多項式．例如教材第六章中的最小多項式和多項式的分裂域就屬于這種情況．三、習(xí)題4．9解答1.2.3. 解 經(jīng)驗算得知，f(x)在Z5上無根．4.5.6.。一、主要內(nèi)容1．設(shè) ，則所有(關(guān)于加法的)陪集x十N(x∈R)對于陪集的加法與乘法(a＋N)十(b＋N)＝(a＋b)＋N，　　(a＋N)(b＋N)＝ab＋N作成一個環(huán)，稱為R關(guān)于理想N的商環(huán)，記為R／N．即在同構(gòu)意義下，任何環(huán)能而且只能與其商環(huán)同態(tài)．此稱為環(huán)同態(tài)基本定理或環(huán)的第一同構(gòu)定理．二、釋疑解難 　1．環(huán)同態(tài)基本定理有的書包括：但有的書不包括這一結(jié)論,而只指出： R~，N為核R／N．也有書稱此為“環(huán)的第一同態(tài)定理”或“環(huán)的第一同構(gòu)定理”．甚至也有的書雖有此定理，但卻未給予任何名稱．不過多數(shù)的書均明示“環(huán)同態(tài)基本定理”且指出“R~，N為核R／N”．當(dāng)然，這些問題是非本質(zhì)的，只是在看參考書時留意其差異即可．3．環(huán)的第三同構(gòu)定理與群的第三同構(gòu)定理也基本類似，只是其中有一部分轉(zhuǎn)移到本節(jié)習(xí)題中去了．以上環(huán)的三個同構(gòu)定理，從敘述(條件和結(jié)論)和證明方法應(yīng)多與群的三個同構(gòu)定理作比較，這樣不僅可以加深理解而且可以增強記憶．三、習(xí)題4．7解答1.2.3.4.故h＋n∈K，H＋NK．因此K＝H十N，即H的象為(H＋N)∕N．167。４．6 理 想一、主要內(nèi)容1．左、右理想、理想的定義和例子．2．單環(huán)的定義以及單環(huán)的一個重要性質(zhì)．設(shè)環(huán)R有單位元，則R上全陣環(huán)Rnn的理想都是R中某個理想上的全陣環(huán)．由此可知： Rnn是單環(huán)R是單環(huán)．特別，除環(huán)和域上的全陣環(huán)都是單環(huán)． 3．由環(huán)中元素山a１，a２，…，am生成的理想〈a１，a２，…，am〉．特別，由一個元素a生成的主理想〈a〉． 在一般情況下，主理想〈a〉中元素的表達(dá)形式．在特殊環(huán)(交換環(huán)和有單位元的環(huán))中〈a〉的元素表達(dá)形式如下：1) 在有單位元的環(huán)R中：4．理想的和與積仍為理想．二、釋疑解難1．關(guān)于理想的乘法． 我們知道，如果A，B是群G的二子集或(正規(guī))子群，則A與B的乘積是如下規(guī)定的：AB＝｛ab∈A,，b∈B｝．但當(dāng)A，B是環(huán)R的理想時，如果仍按以上規(guī)定相乘，則一般而言其乘積AB不再是理想．由于這個原因，環(huán)中理想的乘法規(guī)定為AB＝｛有限和i∈A,，bi∈B｝．2．對任意環(huán)R，則R至少有平凡理想｛０｝和R．通常把R本身叫做R的單位理想，這是由于以下原因：對R的任意理想N，顯然都有RNN， NRN．但當(dāng)R有單位元時，則顯然又有RNN，　　 NRN．從而有 RN＝NR＝N．這就是說，此時R在理想乘法中的作用類似于數(shù)1在數(shù)的乘法中的作用． 3．設(shè)R為任意環(huán)，a∈R．則易知 N＝｛ra｝是R的一個左理想．若R是交換環(huán)，則當(dāng)然．但是應(yīng)注意，由于R不一定有單位元，故不一定有a∈N．從而也不能說N是由a生成的理想．例１　設(shè)R為偶數(shù)環(huán)，a＝4，則三、習(xí)題4．6解答1. 證 略．2. 證 1) 略．2) 由于3.4. 證 參考上面“釋疑解難”部分3．5.8. 8．證明：167。1已經(jīng)強調(diào)過，對于環(huán)的兩個代數(shù)運算一定要區(qū)分前后順序．同樣，對于環(huán)的同態(tài)映射，也要注意其保持運算必須是：加法對加法，乘法對乘法．即(a＋b)＝(a)＋(b)， (ab)＝(a)(b)．第一式中等號左邊的加號“＋”是環(huán)R的加法，而等號右邊的加號“＋”是環(huán)R的代數(shù)運算．二者雖然都用同一符號，但在實際例子中這兩個代數(shù)運算卻可能點很大差異，根本不是一回事．對上述第二個式子中等號兩端的乘法完全類似，不再贅述． 2．由于零因子在環(huán)同態(tài)映射下不具有傳遞性，因此，若環(huán)R~，則當(dāng)R為整環(huán)時，不一定是整環(huán)；又當(dāng)R不是整環(huán)時，卻可能是整環(huán)．教材中的例1和例2說明了這一點．3．關(guān)于環(huán)的挖補定理，三、習(xí)題4．4解答1. 證 略．2.3.4.5.6.7.167。５所講的以合數(shù)n為模的剩余類環(huán)Zn也是一個有零因子的有限環(huán)．2) 另一類就是無零因子的有限環(huán)．實際上根據(jù)本節(jié)推論和魏得邦定理可知，這種有限環(huán)就是有限域．例如，以素數(shù)p為模的剩余類環(huán)Zp以及教材第六章所介紹的伽羅瓦域都屬于這種倩形．這就是說，階大子1的有限環(huán)或者有零因子或者無零因子，從而為域．與群定義中要求兩個方程ax＝b與ya＝b都有解不同,這里僅要求方程ax＝b或y a＝b (0≠a,b∈R)中有一個在R中有解即可．教材中利用方程ax＝b有解得到R的全體非零元有右單位元且每個非零元素都有右逆元，從而得到R是除環(huán)．如果利用方程ya＝b在R中有解，則將得到R的全體非零元有左單位元且每個非零元都有左逆元，從而也得到只是除環(huán)．3．關(guān)于有單位元環(huán)的單位群．設(shè)R是階大于l的有單位元的環(huán)．則顯然R是除環(huán)R的單位群是R－｛０｝； 　　　　　　R是域 R－｛０｝是交換群．顯然，除環(huán)或域有“最大’’的單位群．又顯然冪集環(huán)P(M)的單位群只有單位元(因其他元素那是零因子)，它是“最小”的單位群．三、習(xí)題4．3解答1．證略．2．證略．3．證明：域和其子域有相同的單位元．即F與F1有相同的單位元．(也可由F﹡與有相同單位元直接得出)4．5．6．167?！?、習(xí)題4．2解答１．２．３．４．５．６．７．設(shè)R是一個無零因子的環(huán)．證明：若偶數(shù)，則R的特征必為2．８．證明：P—環(huán)無非零冪零元．167。本章167。)．三、習(xí)題4．1解答1．2．3．4．5．6．7．8．證明：循環(huán)環(huán)必是交換環(huán)，并且其子環(huán)也是循環(huán)環(huán)．167。 ”作成一個半群，這個乍群記為(R， ，十)．因為這涉及對兩個代數(shù)運算所要求滿足條件的不同．我們知道，環(huán)的代數(shù)運算符號只是一種記號．如果集合只有二代數(shù)運算記為，⊕，又R對 作成一個交換群，對⊕滿足結(jié)合律且⊕對滿足左、右分配律，即就是說，在環(huán)的定義里要留意兩個代數(shù)運算的順序．2．設(shè)R對二代數(shù)運算十，)(或者就直接說“R對十，在例子中，持別重要的是效域上的多項式環(huán)、n階全陣環(huán)和線性變換環(huán)，以及集M的冪集環(huán)．2．環(huán)中元素的運算規(guī)則和環(huán)的非空子集S作成子環(huán)的充要條件：二、釋疑解難1．設(shè)R是一個關(guān)于代數(shù)運算十，３．９　　有限交換群8.10.11.13.16.17.19.20.21.25.27.28.30.第四章 環(huán)與域167。3．7　　　群的直積16