【正文】 ∴tan∠ADC===3，在△OCB中：tan∠OBC===3，∴∠ADC=∠ABC，∵在拋物線上不存在P，使得∠APB=∠ABC，∴該拋物線上不存在點P，使得∠APB=∠ADC．【點評】本題是二次函數(shù)的綜合題，考查了一次函數(shù)圖象上和二次函數(shù)圖象上點的坐標特征，待定系數(shù)法求一次函數(shù)的解析式，直角三角形的判定以及解直角三角形等，（3）求得∠ADC=∠ABC是解題的關(guān)鍵．　18．（2014秋?亭湖區(qū)校級期中）在平面直角坐標系中，已知拋物線y=ax2+bx+c經(jīng)過點A（﹣3，0）、B（0，3）、C（1，0）三點．（1）求拋物線的解析式和它的頂點坐標；（2）若在該拋物線的對稱軸l上存在一點M，使MB+MC的值最小，求點M的坐標以及MB+MC的最小值；（3）若點P、Q分別是拋物線的對稱軸l上兩動點，且坐標標分別為m，m+2，當(dāng)四邊形CBQP周長最小時，求出此時點P、Q的坐標以及四邊形CBQP周長的最小值．【考點】二次函數(shù)綜合題．菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有【分析】（1）根據(jù)待定系數(shù)法，可得函數(shù)解析式，根據(jù)配方法，可得頂點坐標；（2）根據(jù)函數(shù)值相等的兩點關(guān)于對稱軸對稱，可得A、C關(guān)于對稱軸對稱，根據(jù)兩點之間線段最短，可得AB，根據(jù)勾股定理，可得AB的長，根據(jù)自變量與函數(shù)值的對應(yīng)關(guān)系，可得M的坐標；（3）根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)，可得BQ=PD，BD=PQ，根據(jù)函數(shù)值相等的兩點關(guān)于對稱軸對稱，可得A、C關(guān)于對稱軸對稱，根據(jù)兩點之間線段最短，可得AD，根據(jù)勾股定理，可得AD的長，BC的長，根據(jù)等量代換，可得BC+PQ++AD，根據(jù)自變量與函數(shù)值的對應(yīng)關(guān)系，可得P點坐標，根據(jù)PQ的關(guān)系，可得Q點坐標．【解答】解：（1）將A、B、C的坐標代入函數(shù)解析式，得，解得，拋物線的解析式為y=﹣x2﹣2x+3，配方，得y=﹣（x+1）2+4，即頂點坐標為（﹣1，4）；（2）連接AB交對稱軸于M，連接MC，如圖1，由A、C關(guān)于對稱軸對稱，得AM=MC．由兩點間線段最短，得MB+MC=AM+MB=AB．由勾股定理，得AB==3，即MB+MC=3，設(shè)AB的解析式為y=kx+b，將A、B坐標代入解得k=1，b=3，AB的解析式為y=x+3，當(dāng)x=﹣1時，y=2，即M（﹣1，2）；（3）將B點向下平移兩個單位，得D點，連接AD交對稱軸于P，作BQ∥PD交對稱軸于Q點，如圖2，PQ∥BD，BQ∥PD，四邊形BDPQ是平行四邊形，BQ=PD，PQ=BD=2．BQ+PC=PD+AP=AD．由勾股定理，得AD===，BC==．四邊形CBQP周長的最小值=BC+BQ+PQ+PC=BC+PQ+（BQ+PC）=BC+PQ++AD=+2+=2+2；設(shè)AD的解析式為y=kx+b，將A、D點坐標代入解得k=，b=1．AD的解析式為y=x+1，當(dāng)x=﹣1時，y=，即P（﹣1，），由PQ=2，得Q（﹣1，），當(dāng)四邊形CBQP周長最小時，此時點P（﹣1，），Q的坐標（﹣1，），四邊形CBQP周長的最小值是2+2．【點評】本題考查了二次函數(shù)綜合題，利用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式；利用兩點之間線段最短得出AB=BM+CM是解題關(guān)鍵；利用平行四邊形的性質(zhì)得出BQ=PD，BD=PQ是解題關(guān)鍵，又利用了軸對稱的性質(zhì)，線段的性質(zhì)．　19．（2013?重慶模擬）如圖，拋物線y=ax2+bx（a＞0）與雙曲線相交于點A，B．已知點B的坐標為（﹣2，﹣2），點A在第一象限內(nèi)，且tan∠AOx=4．過點A作直線AC∥x軸，交拋物線于另一點C．（1）請直接寫出雙曲線和直線AB的解析式，求出拋物線的解析式；（2）在拋物線的對稱軸上能否找到點D，使△BCD周長最短，請求出點D的坐標和直接寫出此時△BCD周長；（2）在直線AB的下方的拋物線上找一點P，使△ABP的面積最大．并求出點P的坐標和△ABP的最大面積．【考點】二次函數(shù)綜合題．菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有【分析】（1）根據(jù)題干中的數(shù)據(jù)可以直接求出雙曲線和直線AB的解析式，根據(jù)拋物線y=ax2+bx過A（1，4），B（﹣2，2），列出二元一次方程組，求出a和b的值即可；（2）要使△BCD周長最短，則點D為直線AB與拋物線對稱軸x=﹣的交點，求出D點的坐標，進而求出△BCD的周長；（3）可以根據(jù)兩種方法解決此小題，①設(shè)過P點的直線與直線AB平行，且拋物線只有一個交點時，△ABP的面積最大，②設(shè)點P（a，a2+3a），過點P作PH垂直于x軸交AB于H點，都要求出P點的坐標，再求△ABP的最大面積．【解答】解：（1）雙曲線解析式為y=，直線解析式為y=2x+2；設(shè)A點坐標為（m，n），tan∠AOx==4，又知n=2m+2，解得m=1，n=4，A點坐標為（1，4），由題意得：y=ax2+bx過A（1，4），B（﹣2，﹣2）得：，解得a=1，b=3，即拋物線的解析式為y=x2+3x；（2）由題意得：點C關(guān)于拋物線對稱軸的對稱點為A，所以點D為直線AB與拋物線對稱軸x=﹣的交點．所以，即，D點的坐標為（﹣，﹣1），△BCD的周長=|BC|+|AB|=3+2，即△BCD的周長為3+2；（3）法（一）設(shè)過P點的直線與直線AB平行，且拋物線只有一個交點時，△ABP的面積最大．∵直線AB為y=2x+2，∴設(shè)過P點的直線為y=2x+b，∴，即2x+b=x2+3x，△=1+4b=0，解得b=﹣，∴，∴，法（二）設(shè)點P（a，a2+3a），過點P作PH垂直于x軸交AB于H點，則∴H（a，2a+2），∴PH=2﹣a﹣a2，∴S△ABP=（2﹣a﹣a2）?3=﹣（a+）2+，∴當(dāng)a=﹣，即P（﹣，﹣），則S△ABPmax=．【點評】本題主要考查二次函數(shù)的綜合題的知識，解答本題的關(guān)鍵是熟練掌握對稱的知識，解答第三問的時候不止一種方法求出P點的坐標，此題難度一般．　20．（2013?重慶模擬）如圖，已知拋物線y=ax2+bx+c與y軸交于A（0，4），且拋物線經(jīng)過點C（﹣3，﹣2），對稱軸x=﹣．（1）求出拋物線的解析式；（2）過點C作x軸的平行線交拋物線于B點，連接AC，AB，若在拋物線上有一點D，使得△ABC=S△BCD，求D點的坐標；（3）記拋物線與x軸左交點為E，在A、E兩點之間的拋物線上有一點F，連接AE、FE、FA，試求出使得S△AEF面積最大時，F(xiàn)點的坐標以及此時的面積．【考點】二次函數(shù)綜合題．菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有【分析】（1）利用待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式即可得出答案；（2）根據(jù)當(dāng)y=﹣2時，則﹣2=x2+5x+4，得出BC的長，再利用A點坐標得出S△ABC，進而得出D點縱坐標，即可得出答案；（3）首先求出直線AE的解析式為：y=x+4，設(shè)F坐標為（m，m2+5m+4），則G坐標為（m，m+4）得出FG=（m+4）﹣（m2+5m+4）=﹣m2﹣4m，即可得出S△AEF=（﹣m2﹣4m）4=﹣2m2﹣8m（﹣4＜m＜0），進而得出S△AEF面積最大時，F(xiàn)點的坐標以及此時的面積．【解答】解：（1）由題意得：，解得：．故拋物線解析式為：y=x2+5x+4；（2）當(dāng)y=﹣2時，﹣2=x2+5x+4解得：x1=﹣3，x2=﹣2，∴BC=1，=3，∵，∴，∴，∴h=9，∵直線BC下方的拋物線到直線BC的距離最大為：∴點D位于直線BC上方且到直線BC的距離為：9，∴yD=7，代入拋物線得：x2+5x+4=7，解得：，∴D1（，7），D2（，7）；（3）如圖，過點F作FG∥y軸，交AE于點G．由y=x2+5x+4=（x+4）（x+1），則圖象與x軸左側(cè)交點為：（﹣4，0），再將A（0，4）代入y=kx+b，則，解得：∴直線AE的解析式為：y=x+4，設(shè)F坐標為（m，m2+5m+4），則G坐標為（m，m+4）∴FG=（m+4）﹣（m2+5m+4）=﹣m2﹣4m，S△AEF=（﹣m2﹣4m）4=﹣2m2﹣8m（﹣4＜m＜0），當(dāng)m=時，S△AEF的最大面積為：S△AEF=﹣2（﹣2）2﹣8（﹣2）=8，此時F的坐標為（﹣2，﹣2）．【點評】此題主要考查了三角形面積求法以及待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式和圖象上點的性質(zhì)等知識，利用數(shù)形結(jié)合得出D點位置是解題關(guān)鍵．　21．（2013?沙坪壩區(qū)校級模擬）如圖，拋物線y=ax2+bx+2與x軸交于A、B兩點，點A的坐標為（﹣1，0），拋物線的對稱軸為直線．點M為線段AB上一點，過M作x軸的垂線交拋物線于P，交過點A的直線y=﹣x+n于點C．（1）求直線AC及拋物線的解析式；（2）若，求PC的長；（3）過P作PQ∥AB交拋物線于點Q，過Q作QN⊥x軸于N，若點P在Q左側(cè)，矩形PMNQ的周長記為d，求d的最大值．【考點】二次函數(shù)綜合題．菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有【分析】（1）將A（﹣1，0）代入y=﹣x+n，運用待定系數(shù)法求出直線AC的解析式；根據(jù)拋物線的對稱軸為x=﹣=，把點A的坐標代入y=ax2+bx+2，組成關(guān)于a、b的二元一次方程組，求解即可得到拋物線的解析式；（2）設(shè)M點橫坐標為m，則P（m，﹣m2+m+2），C（m，﹣m﹣1），得出PM=﹣m2+m+2，PC=﹣m2+m+3．由PM=，得到﹣m2+m+2=，即m2=3m+1，m=，進而求出PC=；（3）設(shè)M點橫坐標為m，則PM=﹣m2+m+2，MN=2（﹣m）=3﹣2m，矩形PMNQ的周長d=﹣m2﹣m+10，將﹣m2﹣m+10配方，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)，即可得出矩形PMNQ的周長的最大值．【解答】解：（1）∵直線y=﹣x+n過點A（﹣1，0），∴0=1+n，解得n=﹣1，∴直線AC的解析式為y=﹣x﹣1；∵拋物線y=ax2+bx+2的對稱軸為直線x=，經(jīng)過點A（﹣1，0），∴，解得，∴拋物線的解析式是：y=﹣x2+x+2；（2）如圖，設(shè)M點橫坐標為m，則P點坐標為（m，﹣m2+m+2），C點坐標為（m，﹣m﹣1）．∵點M為線段AB上一點，∴﹣1＜m＜4．∴PM=﹣m2+m+2，PC=（﹣m2+m+2）﹣（﹣m﹣1）=﹣m2+m+3．∵PM=，∴﹣m2+m+2=，整理，得m2﹣3m﹣1=0，∴m2=3m+1，m=，∴PC=﹣m2+m+3=﹣（3m+1）+m+3=m+，∴當(dāng)m=時，PC=；（3）設(shè)M點橫坐標為m，則PM=﹣m2+m+2，MN=2（﹣m）=3﹣2m，∴矩形PMNQ的周長d=2（PM+MN）=2（﹣m2+m+2+3﹣2m）=﹣m2﹣m+10．∵﹣m2﹣m+10=﹣（m+）2+，∴當(dāng)m=﹣時，d有最大值=．【點評】本題是二次函數(shù)的綜合題型，其中涉及到的知識點有運用待定系數(shù)法求一次函數(shù)、二次函數(shù)的解析式，平行于坐標軸上的兩點之間的距離，矩形的性質(zhì)，一元二次方程的解法，二次函數(shù)最值的求法，綜合性較強，難度適中．運用數(shù)形結(jié)合、方程思想是解題的關(guān)鍵．　22．（2013?涉縣模擬）如圖，已知二次函數(shù)y=﹣x2+x+4的圖象與y軸交于點A，與x軸交于B、C兩點，其對稱軸與x軸交于點D，連接AC．（1）點A的坐標為　（0，4）　，點C的坐標為?。?，0）　；（2）△ABC是直角三角形嗎？若是，請給予證明；（3）線段AC上是否存在點E，使得△EDC為等腰三角形？若存在，求出所有符合條件的點E的坐標；若不存在，請說明理由．【考點】二次函數(shù)綜合題；點的坐標；二次函數(shù)的性質(zhì)；拋物線與x軸的交點；三角形的面積；等腰三角形的判定．菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有【分析】（1）拋物線的解析式中，令x=0即得二次函數(shù)與y軸交點A的縱坐標，令y=0即得二次函數(shù)與x軸交點的橫坐標．（2）根據(jù)（1）中點的坐標得出AB，BC，AC的長，進而利用勾股定理逆定理得出即可；（3）根據(jù)A、C的坐標，易求得直線AC的解析式，由于等腰△EDC的腰和底不確定，因此要分成三種情況討論：①CD=DE，由于OD=3，DA=DC=5，此時A點符合E點的要求，即此時A、E重合；②CE=DE，根據(jù)等腰三角形三線合一的性質(zhì)知：E點橫坐標為點D的橫坐標加上CD的一半，然后將其代入直線AC的解析式中，即可得到點E的坐標；③CD=CE，此時CE=5，過E作EG⊥x軸于G，已求得CE、CA的長，即可通過相似三角形（△CEG∽△CAO）所得比例線段求得EG、CG的長，從而得到點E的坐標．【解答】解：（1）在二次函數(shù)中令x=0得y=4，∴點A的坐標為（0，4），令y=0得：，即：x2﹣6x﹣16=0，∴x=﹣2和x=8，∴點B的坐標為（﹣2，0），點C的坐標為（8，0）．故答案為：A（0，4），C（8，0）；（2）∵點A的坐標為（0，4），∴AO=4，∵點B的坐標為（﹣2，0），點C的坐標為（8，0），∴BO=2，CO=8，∴BC=10，∴AC==4，∴AB==2，∴AB2+AC2=100，∵BC2=100，∴AB2+AC2=BC2，∴△ABC是直角三角形；（3）易得D（3，0），CD=5，設(shè)直線AC對應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式為y=kx+b，則：，解得 ；∴y=﹣x+4；①當(dāng)DE=DC時，∵CD=5，∴AD=5，∵D（3，0），∴OE==4，∴E1（0，4）；②當(dāng)DE=EC時，可得出E點在CD的垂直平分線上，可得出E點橫坐標為：3+=，進而將x=代入y=﹣x+4，得出y=，可得E2（ ，）；③當(dāng)DC=EC時，如圖，過點E作EG⊥CD，則△CEG∽△CAO，∴，即EG=，CG=2 ，∴E3（8﹣2 ，）；綜上所述，符合條件的E點共有三個：E1（0，4）、E2（ ，）、E3（8﹣2 ，）．【點評】此題考查了二次函數(shù)圖象與坐標軸交點坐標的求法、等腰三角形的構(gòu)成條件、圖形面積的求法等知識，（3）題的解題過程并不復(fù)雜，關(guān)鍵在于理解題意．