【正文】 ∵∠C=90176。+15176。根據(jù)含30度角的直角三角形性質(zhì)得出AC=AD，代入求出即可．解答：解：∵DE垂直平分AB，∴BD=AD=16cm，∴∠B=∠BAD=15176。DE垂直平分AB，E為垂足交BC于D，BD=16cm，求AC長．考點：線段垂直平分線的性質(zhì)．3113559分析：根據(jù)線段垂直平分線得出BD=AD=16cm，推出∠B=∠BAD=15176?！逷在BC的垂直平分線上，∴PC=PB，在Rt△PMC和Rt△PNB中，∴Rt△PMC≌Rt△PNB（HL），∴BN=CM．點評：本題考查了全等三角形的性質(zhì)和判定，線段垂直平分線性質(zhì)，角平分線性質(zhì)等知識點，主要考查學生運用定理進行推理的能力．　22．如圖己知在△ABC中，∠C=90176。在Rt△MAC中，∠C=30176?！進N是AB的垂直平分線，∴BM=AM，∠1=∠B=30176。的角所對的直角邊等于斜邊的一半即可解答．解答：解：連接AM，∵△ABC中，AB=AC，∠A=120176。再由線段垂直平分線的性質(zhì)可知，BM=AM，∠1=∠B=30176。BC=9cm，AB的垂直平分線MN交BC于M，交AB于N，求BM的長．考點：線段垂直平分線的性質(zhì)．3113559分析：先連接AM，根據(jù)△ABC中，AB=AC，∠A=120176。即∠NOM=∠N′OM，∵在△NOM和△N′OM中，∴△NOM≌△N′OM，∴MN=MN′，∵MN′=AM+AN′=AM+CN，∴MN=AM+CN．點評：本題考查了等邊三角形的性質(zhì)和全等三角形的性質(zhì)和判定，主要考查學生的推理能力和猜想能力，題目具有一定的代表性，證明過程類似．　15．（2012?潮陽區(qū)模擬）如圖，線段CD垂直平分線段AB，CA的延長線交BD的延長線于E，CB的延長線交AD的延長線于F，求證：DE=DF．考點：全等三角形的判定與性質(zhì)；線段垂直平分線的性質(zhì)．3113559專題：證明題．分析：根據(jù)線段垂直平分線得出AC=BC，BD=AD，推出∠CBE=∠CAF，證△BCE≌△ACF，推出BE=AF，即可得出答案．解答：證明：∵線段CD垂直平分AB，∴AC=BC，AD=BD，∴∠CAB=∠CBA，∠BAD=∠ABD，∴∠CAB+∠BAD=∠CBA+∠ABD，即∠CBE=∠CAF，在△BCE和△ACF中∵，∴△BCE≌△ACF（ASA），∴BE=AF，∵BD=AD，∴BE﹣BD=AF﹣AD，即DE=DF．點評：本題考查了等腰三角形的性質(zhì)和判定，線段垂直平分線性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)和判定等知識點的綜合運用．　16．如圖，在△ABC和△DCB中，AB=DC，AC=DB，AC與DB交于點M．求證：（1）△ABC≌△DCB；（2）點M在BC的垂直平分線上．考點：全等三角形的判定與性質(zhì)；線段垂直平分線的性質(zhì)．3113559專題：證明題．分析：（1）由已知和BC=BC，根據(jù)SSS即可推出兩三角形全等；（2）由全等得出∠DBC=∠ACB，推出MB=MC，根據(jù)線段垂直平分線定理得出即可．解答：（1）證明：∵在△ABC和△DCB中，∴△ABC≌△DCB（SSS）．（2）證明：∵由（1）知：△ABC≌△DCB，∴∠ACB=∠DBC，∴MB=MC，∴點M在BC的垂直平分線上．點評：本題考查了全等三角形的性質(zhì)和判定和線段垂直平分線定理的應用，關(guān)鍵是推出△ABC≌△DCB，題目比較好，難度適中．　17．如圖，△ABC的邊BC的垂直平分線DE交△BAC的外角平分線AD于D，E為垂足，DF⊥AB于F，且AB＞AC，求證：BF=AC+AF．考點：全等三角形的判定與性質(zhì)；線段垂直平分線的性質(zhì)．3113559專題：證明題．分析：過D作DN⊥AC，垂足為N，連接DB、DC，推出DN=DF，DB=DC，根據(jù)HL證Rt△DBF≌Rt△DCN，推出BF=CN，根據(jù)HL證Rt△DFA≌Rt△DNA，推出AN=AF即可．解答：證明：過D作DN⊥AC，垂足為N，連接DB、DC，則DN=DF（角平分線性質(zhì)），DB=DC（線段垂直平分線性質(zhì)），又∵DF⊥AB，DN⊥AC，∴∠DFB=∠DNC=90176?！唷螩ON+∠AOM=60176?！唷螼CN=∠OAN′，∵在△OCN和△OAN′中，∴△OCN≌△OAN′（SAS），∴ON′=ON，∠CON=∠AON′，∵∠COA=120176。﹣30176?！螦OC=180176。∴∠MON=∠MON′=60176?！咴凇鱋CN和△OAN′中，∴△OCN≌△OAN′（SAS），∴ON=ON′，∠CON=∠AON′∴∠N′ON=∠COA=120176。=120176。﹣30176。即∠NOM=∠N′OM，∵在△NOM和△N′OM中，∴△NOM≌△N′OM，∴MN=MN′，∵MN′=AM﹣AN′=AM﹣CN，∴MN=AM﹣CN．（2）MN=AM﹣CN，證明：理由是：在AM上截取AN′=CN，連接ON′，OC，OA，∵O是邊AC和BC垂直平分線的交點，△ABC是等邊三角形，∴OC=OA，由三線合一定理得：∠OCB=OCA=∠OAC=30176?！唷螩ON+∠COM=60176?！唷螻CO=∠OAN′，∵在△OCN和△OAN′中，∴△OCN≌△OAN′（SAS），∴ON′=ON，∠CON=∠AON′，∵∠COA=120176。﹣30176?！唷螦OC=180176。OC=OA，證△OCN≌△OAN′推出ON=ON′，∠CON=∠AON′，求出∠NOM=∠MON′，根據(jù)SAS證△MON≌△MON′，推出MN=MN′，即可求出答案；（2）結(jié)論還成立，證明過程與（1）類似；（3）結(jié)論是MN=CN+AM，延長CA到N′，使AN′=CN，連接OC，OA，ON′，證△OCN≌△OAN′推出ON=ON′，∠CON=∠AON′，求出∠NOM=∠MON′，根據(jù)SAS證△MON≌△MON′，推出MN=MN′，即可求出答案；解答：′解：（1）MN=AM﹣CN，理由是：在AM上截取AN′=CN，連接ON′，OC，OA，∵O是邊AC和BC垂直平分線的交點，△ABC是等邊三角形，∴OC=OA，O也是等邊三角形三個角的平分線交點，∴∠OCA=∠OAB=∠OCN=60176。．點評：本題考查了翻折變換（折疊問題）．解答此題時，充分利用了三角形內(nèi)角和定理、三角形外角定理以及折疊的性質(zhì)．難度較大．　13．（2013?青羊區(qū)一模）如圖，△ABC中AB=AC，BC=6，點P從點B出發(fā)沿射線BA移動，同時，點Q從點C出發(fā)沿線段AC的延長線移動，已知點P、Q移動的速度相同，PQ與直線BC相交于點D．（1）如圖①，當點P為AB的中點時，求CD的長；（2）如圖②，過點P作直線BC的垂線垂足為E，當點P、Q在移動的過程中，線段BE、DE、CD中是否存在長度保持不變的線段？請說明理由；考點：等腰三角形的性質(zhì)；全等三角形的判定與性質(zhì)．3113559專題：幾何綜合題；壓軸題；分類討論．分析：（1）過點P做PF平行與AQ，由平行我們得出一對同位角和一對內(nèi)錯角的相等，再由AB=AC，根據(jù)等邊對等角得角B和角ACB的相等，根據(jù)等量代換的角B和角PFB的相等，根據(jù)等角對等邊得BP=PF，又因點P和點Q同時出發(fā)，且速度相同即BP=CQ，等量代換得PF=CQ，在加上對等角的相等，證得三角形PFD和三角形QCD的全等，根據(jù)全等三角形的對應邊邊相等得出DF=CD=CF，而又因P是AB的中點，PF∥AQ得出F是BC的中點，進而根據(jù)已知的BC的長，求出CF，即可得出CD的長．（2）分兩種情況討論，第一種情況點P在線段AB上，根據(jù)等腰三角形的三線合一得BE=EF，再又第一問的全等可知DF=CD，所以ED=，得出線段DE的長為定值；第二種情況，P在BA的延長線上，作PM平行于AC交BC的延長線于M，根據(jù)兩直線平行，同位角相等推出角PMB等于角ACB，而角ACB等于角ABC，根據(jù)等量代換得到角ABC等于角PMB，根據(jù)等角對等邊得到PM等于PB，根據(jù)三線合一，得到BE等于EM，同理可得△PMD全等于△QCD，得到CD等于DM，根據(jù)DE等于EM減DM，把EM換為BC加CM的一半，化簡后得到值為定值．解答：解：（1）如圖，過P點作PF∥AC交BC于F，∵點P和點Q同時出發(fā)，且速度相同，∴BP=CQ，∵PF∥AQ，∴∠PFB=∠ACB，∠DPF=∠CQD，又∵AB=AC，∴∠B=∠ACB，∴∠B=∠PFB，∴BP=PF，∴PF=CQ，又∠PDF=∠QDC，∴證得△PFD≌△QCD，∴DF=CD=CF，又因P是AB的中點，PF∥AQ，∴F是BC的中點，即FC=BC=3，∴CD=CF=；（2）分兩種情況討論，得ED為定值，是不變的線段如圖，如果點P在線段AB上，過點P作PF∥AC交BC于F，∵△PBF為等腰三角形，∴PB=PF，BE=EF，∴PF=CQ，∴FD=DC，∴ED=，∴ED為定值，同理，如圖，若P在BA的延長線上，作PM∥AC的延長線于M，∴∠PMC=∠ACB，又∵AB=AC，∴∠B=∠ACB，∴∠B=∠PMC，∴PM=PB，根據(jù)三線合一得BE=EM，同理可得△PMD≌△QCD，所以CD=DM，綜上所述，線段ED的長度保持不變．點評：此題考查了等腰三角形的性質(zhì)，全等三角形的判斷與性質(zhì)，考查了分類討論的數(shù)學思想，是一道綜合題．　14．（2012?東城區(qū)二模）已知：等邊△ABC中，點O是邊AC，BC的垂直平分線的交點，M，N分別在直線AC，BC上，且∠MON=60176。三角形另外兩個角的度數(shù)是172；168；1160；4132；88176。