【正文】 該 函 數(shù) 不 能 展 開 成 麥 克 勞 林 級(jí) 數(shù)()0()0( 0 ) ( ) ~ ,!( 0 )( ) .!nnnnnnff x xnff x xn???????注 意 此 時(shí) 可 以 寫 但 不 能 寫 117 高等數(shù)學(xué) D 4 . ( , ) ( ) nx R R R x??考 察 當(dāng) 時(shí) 余 項(xiàng) 的 極 限()0( 0 )( ) , ( , ) , !nnnff x x x R Rn??? ? ?? ( 1 )1()lim ( ) lim ( 0 )( 1 ) !nnnnnfR x x xn? ?? ?? ? ? ?? ? 在 與 之 間 .是否為零, 如 果 為 零 則 有 , .xR??再 討 論 時(shí) 級(jí) 數(shù) 的 斂 散 性 得 冪 級(jí) 數(shù) 的 收 斂 域 , . 如 果 不 為 零 則 函 數(shù) 不 能 展 開 成 麥 克 勞 林 級(jí) 數(shù)118 高等數(shù)學(xué) D 例 : 將下列函數(shù)展開成 x 的冪級(jí)數(shù) . xexf ?)()1(),2,1,0()()( ??? nexf xn?? ????? !!212nxxx n解 : ),2,1,0(1)0()( ??? nf n于是得級(jí)數(shù) 易得收斂半徑為 ???R?????? 2!2 )0()0()0( xfxff ?? ?? nn xnf!)0()(119 高等數(shù)學(xué) D 1)!1()(???nn xnexR ???????01)!1(nnxnxe作)!1(1???nxe nx)0( 之間與在 x?)!2(lim2??? ??? nxe nxn)()!1(01Cnxennx?????? 0)!1(||li m 1|| ?????? nxe nxn0)(lim ?? ?? xR nnnnn uu 1lim ???由 1)!1(????nx xen10??0)(li m ?? ?? xR nn|| x???2lim ?? ?? nxn120 高等數(shù)學(xué) D ?? ??????? nx xnxxe !1!2120 !nnxn??? ?: ( , ) .收 斂 域 ? ? ? ?121 高等數(shù)學(xué) D )2( xxf s i n)( ?() ( ) sin , ( 1 , 2 , )2nf x x n n???? ? ? ??????,1)0(,0)0(,1)0(,0)0( ???????????? ffff的麥克勞林級(jí)數(shù)為所以 )( xf!7!5!3753 xxxx ???,???R且可得 : ( , ) .收 斂 域? ? ? ? ??? ???????)!12()1(121nx nn解 : ?????? 2!2 )0()0()0( xfxff ?? ?? nn xnf!)0()( 例 : 將下列函數(shù)展開成 x 的冪級(jí)數(shù) . 122 高等數(shù)學(xué) D ?s in x是否收斂于)( xRn10()( 1 ) !nnx Cn??? ?? 0)!1( ||lim1?????? nx nn0)(lim ?? ?? xR nn?? ??????????)!12()1(!7!5!3~)(121753nxxxxxxf nn1sin ( 1 )2( 1 ) !nnxn?????????????1 ,( 1 ) !nxn?? ?123 高等數(shù)學(xué) D ?????? !7!5!3s i n753 xxxxx210( 1 )( 2 1 ) !nnnxn??????? ),( ???????????!)12()1(121nx nn1 2 11( 1 )( 2 1 ) !nnnx????????由此可求得 : ?? ??????? )!2()1(!4!21c o s242nxxxx nn),( ????124 高等數(shù)學(xué) D 2. 間接法 用直接法計(jì)算量很大 , 還要考慮余項(xiàng) , 由于冪級(jí)數(shù)的展開式是唯 一的 , 所以現(xiàn)在 利用一些已知函數(shù)的展開 式及冪級(jí)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)間接得到其它一些 函數(shù)的展開式 . 這就是間接法 . li m ( ) 0nn Rx?? ??125 高等數(shù)學(xué) D 我們已掌握了以下函數(shù)的冪級(jí)數(shù)展開式 : ?? ?????? !!212nxxxe nx ),( ?????? ?????????)!12()1(!5!3si n1253nxxxxx nn),( ?????? ??????? )!2()1(!4!21c o s242nxxxx nn),( ????????0 !nnnx??????? 012)!12()1(nnnnx?????02)!2()1(nnnnx126 高等數(shù)學(xué) D ?? ???????? nn xxxx )1(11 1 2)1,1(?)1,1(?x?1 1)1,1[?)1ln( x?)1,1(?2)1( 1x?)1ln( x?]1,1(? ?? ??????nxxx 21?? ??????? nxxxxn3232?? ?????? ? 12321 nnxxx?? ??????? ? nxxxxnn 132)1(32?????0)1(nnn x??????11)1(nnnnx????0nnx?????1nnnx?????11nnnx??127 高等數(shù)學(xué) D 01 . ( ) l n ( 2 ) 0 f x x x? ? ?例 求 在 處 的 冪 級(jí) 數(shù)展開式 . 解 : ???????11)1()1l n(nnnnxx ]1,1(?)2(ln x? ln 2 1 2x????????ln 2 ln 1 2x??? ? ?????11l n 2 ( 1 ) ,2nnnnxn???? ? ? ??121 ??? x由 ( 2 , 2 ] .?得 收 斂 域 為128 高等數(shù)學(xué) D 002 . ( ) ln 1 2 .f x x x x? ? ?例 在 與 處 展 開 冪 級(jí) 數(shù)解 : 0( 1 ) 1 ,x ?在 處0( 1 ) .nnnax????冪 級(jí) 數(shù) 形 如?xln l n [ 1 ( 1 ) ]x?? 11( 1 )( 1 ) .nnnxn??????? 1 1 1x? ? ? ?由 20 ??? x( 0 , 2 ] .所 以 收 斂 域 為]1,1()1()1l n(11 ????? ???? xnxxnnn129 高等數(shù)學(xué) D 111ln 2 ( 1 ) ( 2 ) .2nnnnxn???? ? ? ???12 21 ???? x? 40 ??? x : ( 0 , 4 ]X?0( 2 ) 2 ,x ?在 處?xln )]2(2ln [ ?? x 2ln 2 ln 1 2x ???? ? ?????1112ln 2 ( 1 )2nnnxn??????? ? ??????0( 2 ) .nnnax????冪 級(jí) 數(shù) 形 如002 . ( ) ln 1 2 .f x x x x? ? ?例 在 與 處 展 開 冪 級(jí) 數(shù)]1,1()1()1l n(11 ????? ???? xnxxnnn130 高等數(shù)學(xué) D 0213 . ( ) 0 .32f x xxx????例 在 處 展 開 冪 級(jí) 數(shù)解 : )2()1(1)(??? xxxf 11 ,12xx????01 ( 1 ) ,1nnnxx????? ? )1,1(??? x2 121121x??01 ( 1 ) ,22nnnx?????? ??????? )( xf0( 1 ) nnnx???? 10( 1 ) 2nnnnx??????101( 1 ) 1 ,2nnnnx?????? ? ??????)2,2(?),1(: ?X131 高等數(shù)學(xué) D 0214 . ( ) 1 .32f x xxx????例 在 處 展 開 冪 級(jí) 數(shù)解 : ?)( xf 2111 ??? xx即展開成 x – 1 的冪級(jí)數(shù) . 121??? x 131??? x211121???? x011( 1 )22nnnx????????????011( 1 )33nnnx?????????????????????????02 )1()1(111nnnnn xxxxx ??)1,1(?311131???? x132 高等數(shù)學(xué) D 11011( 1 ) ( 1 ) ,23nnnnnx??????? ? ? ??????12 1 ??x由 。 nf f n ?計(jì) 算 的 值()0( 0 )3 . ( ) , !nnnff x xn???寫 出 的 麥 克 勞 林 級(jí) 數(shù) 并 求 。 nnnS x a x??? ?冪 級(jí) 數(shù) 的 和 函 數(shù) 在 其 收 斂域 內(nèi) 可 積3. 性 質(zhì):且 有 逐 項(xiàng) 積 分 公 式100 高等數(shù)學(xué) D 用 逐項(xiàng)求導(dǎo) 或 逐項(xiàng)積分 的方法 , 可 求得一些級(jí)數(shù)在收斂區(qū)間內(nèi)的 和函數(shù) . 101 高等數(shù)學(xué) D 求下列冪級(jí)數(shù)的收斂區(qū)間與和函數(shù) : 解 : 不必先求收斂區(qū)間 , 在求和函數(shù)的過(guò)程 中 ???? 3)(3xxxS設(shè)( 2 1 ) ,n ?消 去 分 母 上 的??????? 6421)( xxxxS,1?x?????02)1(nnn x.1 ????? 753753 xxxx可求得收斂區(qū)間 . ???????01212)1(nnnnx先逐項(xiàng)求導(dǎo) : 211x??102 高等數(shù)學(xué) D ???? )0()()( SxSxSxx x a r c ta na r c ta n 0 ??xn xnnna r c t a n12 )1(012???? ????.)1,1(: ?X20211)1()(xxxS nnn????? ????? ??? xx dxxdxxS 0 20 1 1)()1,1(??x103 高等數(shù)學(xué) D .2 ?? ?????? nxnxx 242 )12(531????? 42 531)( xxxS設(shè)),12( ?n欲消去?? ??? xx xdxxdxS 0 20 )31()( ?200( 2 1 )x nnn x d x????? ??? ?????? ? 1253 nxxxx?????02)12(nnxn?????0 012nxnx?????012nnx先逐項(xiàng)積分 : 解 : 104 高等數(shù)學(xué) D 21 xx?? 1?x0( ) ( )xS x S x d x ??????????)1,1(: ?X 可見 , 關(guān)鍵在于求導(dǎo)或積分后所得的冪級(jí)數(shù)能寫出和函數(shù) . ?? ?????? ? 1253 nxxxx?????012nnx?? ??? xx xdxxdxS 0 20 )31()( ?21xx?