【正文】 所以通過建立與健康的或患病的組織相像的分形生長(zhǎng)模型，科學(xué)家們也能夠了解存在于基因密碼的控制生長(zhǎng)的信息，以及如果這種生長(zhǎng)結(jié)果的信息被破壞時(shí)，癌組織是如何發(fā)展的。分形明信片和分形廣告已推出了十多年，分形日歷也早已問世。 由計(jì)算機(jī)模擬制作的山峰，也已被 IBM公司應(yīng)用于廣告宣傳中。特別是迭代函數(shù)系統(tǒng)具有很高的壓縮比，可達(dá) 1： 1000，在圖象及通訊方面具有廣闊的應(yīng)用。我們擁有的這個(gè)新幾何，甚至可以描述變化的宇宙。這一新的數(shù)學(xué)領(lǐng)域，觸及到我們生活的方方面面，諸如自然現(xiàn)象的描述，電影攝影術(shù)、天文學(xué)、經(jīng)濟(jì)學(xué)、氣象學(xué)、生態(tài)學(xué)等等。芬奇、歌德和羅蒙諾索夫這樣偉大的人物，我們甚至不好稱他們是藝術(shù)家還是科學(xué)家?？_爾的童話故事流露著新科學(xué)的天才猜想，并以更喜聞樂見的形式表達(dá)出來 ,流芳百世，其實(shí)他本來就是數(shù)學(xué)家和邏輯學(xué)家。托爾斯泰也懂得物理學(xué)和數(shù)學(xué)，并且編寫過科學(xué)著作 ,還嘗試將微積分運(yùn)用到歷史研究當(dāng)中去。豪斯道夫不但在拓?fù)鋵W(xué)上留下深深的足跡，也寫過不錯(cuò)的劇本。分形使人們感悟到科學(xué)與藝術(shù)的融合，數(shù)學(xué)與藝術(shù)審美上的統(tǒng)一，使昨日枯燥的數(shù)學(xué)不再僅僅是抽象的哲理，而是具體的感受；不再僅僅是揭示一類存在，而是一種藝術(shù)創(chuàng)作，它搭起了科學(xué)與藝術(shù)的橋梁。例如，地學(xué)方面：海岸線，島嶼，國(guó)界，山谷，河流，路面等彎彎曲曲凹凸不平的形狀；生物方面：人的肺，血管，人腦，表面形狀，大多數(shù)樹木花草地分岔結(jié)構(gòu)；在宇宙方面：天體在宇宙空間中的分布，月坑的直徑分布以及作為月坑成因地隕石和小行星的大小分布，空中的云塊邊界雪花的表面；在物理化學(xué)方面：物體的表面由細(xì)微粒子集聚成的凝聚體，閃電，多孔吸附材料的表面，蛋白質(zhì)高分子的結(jié)構(gòu) …… 分形學(xué)家說，自然界處處有分形，這從物體形態(tài)結(jié)構(gòu)方面說明，世界本質(zhì)上的非線性。分形學(xué)科的誕生，使得我們重新審視這個(gè)世界。作為閱讀對(duì)象的文本可以比作英國(guó)的海岸線，說文本無定解，不是說文本什么都不是，它是英國(guó)的海岸線，可是它究竟有多長(zhǎng)，不同的讀者有不同的測(cè)量結(jié)果。關(guān)于觀察尺度， 《 格列佛游記 》 里面有精彩的描述。假設(shè)有一種無限小的生物，那么測(cè)量結(jié)果將是無窮大。 ? 1：觀察尺度 著名的海岸線問題：英國(guó)的海岸線有多長(zhǎng)？這個(gè)問題是沒有答案的，它完全取決于觀察尺度的選取。愛因斯坦反對(duì)量子力學(xué)的重要理由就是“上帝不擲骰子。從笛卡爾以來，這個(gè)超級(jí)觀察者基本上已被等同于人類理性，而當(dāng)理性難以說明問題的時(shí)候，哲學(xué)家和科學(xué)家都不約而同地抬出上帝的觀念來搪塞。連續(xù)不斷的，從大尺度到小尺度的自我復(fù)制及迭代操作生成，又是分形簡(jiǎn)單的一面 . ? 分形在認(rèn)知哲學(xué)上的意義分形幾何建立以后，很快就引起了許多學(xué)科的關(guān)注，這是由于它不僅在理論上，而且在實(shí)用上都具有重要價(jià)值。分形高度復(fù)雜，又特別簡(jiǎn)單。其實(shí)簡(jiǎn)單并不簡(jiǎn)單，它蘊(yùn)含著復(fù)雜。 分形的應(yīng)用 ? 分形在股票市場(chǎng)的應(yīng)用 股票交易收益實(shí)例分析表 ? S1 S2 1 2 1 2 1 2 3 3 3 4 2 4 5 1 5 6 2 6 累積收益率 標(biāo)準(zhǔn)差 分形維 ? 分形在地震預(yù)報(bào)中的應(yīng)用 ? 分形生長(zhǎng)及其應(yīng)用 ? （ 1）癌癥增殖模型 ——艾登模型 ? （ 2） DLA模型 ? （ 3）滲流模型 分形幾何的價(jià)值與研究 ? 分形幾何的基本思想 ? （ 1）客觀事物具有自相似的層次結(jié)構(gòu)， 局部與整體在形態(tài)、功能、信息、時(shí)間、空間等 方面具有統(tǒng)計(jì)意義的相似性 ? （ 2）分?jǐn)?shù)維是刻劃分形的特征量 分形幾何與歐氏幾何的比較 描述對(duì)象 特征長(zhǎng)度 表達(dá)方式 維數(shù) 歐氏幾何學(xué) 人類創(chuàng)造的 有 用數(shù)學(xué)公式 0或正整數(shù) 簡(jiǎn)單的標(biāo)準(zhǔn)物體 （ 1或 2或 3） 分形幾何學(xué) 大自然創(chuàng)造 無 用迭代語言 一般是分?jǐn)?shù) 的復(fù)雜的真實(shí)物體 （也可以是整數(shù)） 分形在哲學(xué)上的意義 ? 復(fù)雜與簡(jiǎn)單的統(tǒng)一： 分形幾何的主要價(jià)值在于它在極端有序和真正混沌之間提供了一種可能性。 ? 巖石裂縫 ? 金屬損傷裂縫 ? 道路分布 ? 神經(jīng)末梢的分布 ………… ? ◆ 動(dòng)物也不例外，一頭牛身體中的一個(gè)細(xì)胞中的基因記錄著這頭牛的全部生長(zhǎng)信息；這些例子在我們的身邊到處可見。 天空中的云朵 ? 股票價(jià)格曲線 例如，在道 而枝杈的枝杈也和整體相同，只是變得更加小了。 什么是分形幾何 ? ? 通俗一點(diǎn)說就是研究無限復(fù)雜但具有一定意義下的 自相似 圖形和結(jié)構(gòu)的幾何學(xué)。從心臟的跳動(dòng)、變幻莫測(cè)的天氣到股票的起落等許多現(xiàn)象都具有分形特性。 如果你是個(gè)有心人，你一定會(huì)發(fā)現(xiàn)在自然界中，有許多景物和都在某種程度上存在這種自相似特性，即它們中的一個(gè)部分和它的整體或者其它部分都十分形似。 我們知道歐幾里德對(duì)于描述爆玉米花、烘焙食品、樹皮、云、 姜根和海岸線則是困難的。雖然自然界中有豐富的 歐幾里德幾何對(duì)象的例子（六邊形、圓、立方體、四面體、正方形、三角形 …… ），但是自然界的隨機(jī)性似乎常常常常產(chǎn)生無法用歐幾里德幾何描述的對(duì)象。 仿射變換是對(duì)圖形所作的繞原點(diǎn)旋轉(zhuǎn)、比例放大及平移等操作。 ? （ 3）對(duì)單位直線段 n等分，每段長(zhǎng)為 r ，有 n r 1 = 1 ? 對(duì)單位正方形 n等分，小正方形邊長(zhǎng)為 r，有 n r 2 = 1 ? 對(duì)單位正方體 n等分，小正方體邊長(zhǎng)為 r，有 n r 3 = 1 ? 三個(gè)等式中 r 的冪次實(shí)際上是該幾何體能得到定常度量的空間維數(shù)， ? 一般地 n r d s = 1 ? ds = ?n n / In r, ds稱為相似維數(shù) 分?jǐn)?shù)維的計(jì)算 ? 1）對(duì)科赫曲線： n = 4 n，每段長(zhǎng) (1/3 ) n ? ds = ?n 4 n /?n (1/3 ) n = ?n 4 /?n 3 ≈ ? （ 2）對(duì)謝爾賓斯基墊片： n = 3 n ，每邊長(zhǎng) ( 1/2 ) n ? ds = ?n 3 n / ?n （ 1/2） n = ?n 3 /?n 2 ≈ ? （ 3）對(duì)康托爾三分集： n = 2 n ，每段長(zhǎng) (1/3 ) n ? ds = ?n 2 n / ?n （ 1/3） n = ?n 2 / ?n 3 ≈ ? （ 4）對(duì)門杰海綿： n = 20 n ，小正方體每邊長(zhǎng) (1/3 ) n ? ds = ?n 20 n / ?n (1/3 ) n = ?n 20 / ?n 3 ≈ 分形的計(jì)算機(jī)生成 ? 1. L系統(tǒng)：字符串替換算法 ? (1) 字符串替換算法的主要思想 ? 例 已知科赫曲線的初始元是“ ——‖，生成元是“”．請(qǐng)按字符串替換法的規(guī)則約定記號(hào)，寫出其初始元和生成元的字符串，產(chǎn)生出其第二步圖形的字符串 ,并畫出其圖形 . ? 解：約定如下記號(hào)： ? a：沿逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)． b：沿順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)． ? c：從當(dāng)前點(diǎn)沿當(dāng)前方向畫一長(zhǎng)度為 L的線段． ? 則初始元“ ——‖ 可用字符表示為“ c‖. ? 生成元 “”可用字符串表示為“ cacbbcac‖. ? 將以上字符串“ cacbbcac‖中的“ c‖再用字符串“ cacbbcac‖替換，便得第二步圖形的字符串： E(2)$=cacbbcacacacbbcacbbcacbbcacacacbbcac. 2. 迭代函數(shù)系統(tǒng)（ IFS） ? （ 1）迭代函數(shù)系統(tǒng)的基本思想： ? 迭代函數(shù)系統(tǒng) IFS (Iteration Function System)最早是由 Hutchinson于 1981年提出的，現(xiàn)已成為分形幾何中的重要研究?jī)?nèi)容之一。 與此類似，如果我們畫一個(gè) Koch曲線，其整體是一條無限長(zhǎng)的線折疊而成，顯然，用小直線段量，其結(jié)果是無窮大，而用平面量，其結(jié)果是 0（此曲線中不包含平）， 那么只有找