【正文】 10,1)( 　其它　 xxp X ??? ??? .,0 。0,)( xxedyexpxxyX 　　　　　 ????????????.0,0 。疑難分析 《概率論與數(shù)理統(tǒng)計》 學(xué)習(xí)手冊 內(nèi)容提要 例題解析 白先春 編 1 目 錄 第一章 隨機事件及其概率 ............................... 2 第二章 隨機變量及其分布 ............................. 15 第三章 多維隨機變量及其分布 ........................ 29 第四章 隨機變量的數(shù)字特征 .......................... 41 第五章 大數(shù)定律和中心極限定理 ..................... 50 第六章 數(shù)理統(tǒng)計的基本概念 .......................... 55 第七章 參數(shù)估計 ....................................... 61 第八章 假設(shè)檢驗 ....................................... 68 第九章 方差分析和回歸分析 .......................... 73 2 第一章 隨機事件及其概率 內(nèi) 容 提 要 隨機試驗、樣本空間與隨機事件 （ 1）隨機試驗：具有以下三個特點的試驗稱為隨機試驗，記為 E. 1） 試驗可在相同的條件下重復(fù)進行； 2） 每次試驗的結(jié)果具有多種可能性，但試驗之前可確知試驗的所有可能結(jié)果； 3） 每次試驗前不能確定哪一個結(jié)果會出現(xiàn) . （ 2）樣本空間：隨機試驗 E 的所有可能結(jié)果組成的集合稱為 E 的樣本空間，記為 Ω； 試驗的每一個可能結(jié)果，即 Ω 中的元素，稱為樣本點，記為 e. （ 3）隨機事件 ： 在一次試驗中可能出現(xiàn)也 可能不出現(xiàn)的事件稱為隨機事件，簡稱事件，常用 A、 B、 C 等大寫字母表示；可表述為樣本空間中樣本點的某個集合，分為復(fù)合事件和簡單事件，還有必然事件（記為 ? ）和不可能事件（記為 ? ） . 事件的關(guān)系與運算 （ 1）包含關(guān)系與相等：“事件 A 發(fā)生必導(dǎo)致 B 發(fā)生”，記為 BA? 或 AB? ；BABA ??? 且 AB? . （ 2）和事件（并）：“事件 A 與 B 至少有一個發(fā)生”，記為 BA? . （ 3）積事件（交）：“ 事件 A 與 B 同時發(fā)生”，記為 BA? 或 AB . （ 4）差事件、對立事件 (余事件 )：“事件 A 發(fā)生而 B 不發(fā)生”，記為 A－ B稱為 A 與 B 的差事件 ； BB??? 稱為 B 的對立事件；易知： BABA ?? . 3 （ 5） 互不相容性： ??AB ； BA、 互為對立事件 ???? BA 且??AB . （ 6）事件的運算法則： 1) 交換律： ABBA ??? ， BAAB? ； 2) 結(jié)合律： CBACBA ????? )()( ， )()( BCACAB ? ； 3) 分配律： BCACCBA ??? )( ， ))(()( CBCACAB ???? ； 4) 對偶 (De Man) 律： BABA ?? ， BAAB ?? ，可推廣???? k kk kk kk k AAAA ?? , . 頻率與概率 （ 1）頻率的定義：事件 A 在 n 次重復(fù)試驗中出現(xiàn) An 次，則比值 nnA 稱為事件 A 在 n 次重復(fù)試驗中出現(xiàn)的頻率，記為 )(Afn ，即 nnAf An ?)(. （ 2）統(tǒng)計概率：當(dāng) ??n 時，頻率 )()( APnnAf An ??.當(dāng) n 很大時，)()( AfPAP n?? 稱為事件 A 的統(tǒng)計概率 . （ 3）古典概率：若試驗的基本事件數(shù)為有限個，且每個事 件發(fā)生的可能性相等，則試驗對應(yīng)古典概型（等可能概型） ， 事件 A 發(fā)生的概率為：nAknkAAP )()( ＝＝中樣本點總數(shù)中所含樣本點數(shù)?? . （ 4）幾何概率：若試驗 基本事件數(shù)無限，隨機點落在某區(qū)域 g 的概率與區(qū)域g 的測度 (長度、面積、體積等 )成正比，而與其位置及形狀無關(guān)，則試驗對應(yīng)幾何概型，“ 在區(qū)域 ? 中隨機地取一點落在區(qū)域 g 中”這一事件 gA 發(fā)生的概率為：的測度的測度＝ ?gAP g )( . 4 （ 5） 概率的公理化定義：設(shè) ( F,? )為可測空間，在事件域 F 上定義一個實值函數(shù) ),(AP FA? ，滿足： 1) 非負(fù)性： 0)( ?AP ，對任意 FA? ； 2) 規(guī)范性： 1)( ??P ； 3) 可列可加性：若有一列 ,2,1, ??? iFA ii ??jiAA ，使得 ????? ? 11 )()( j jj j APAP ?，則稱 ),(AP FA? 為 ? 域 F 上的概率測度，簡稱 “概率”． 概率的基本性質(zhì) （ 1）不可能事件概率零 ： )(?P ＝ 0. （ 2） 有限可加性 ：設(shè) nAAA , 21 ? 是 n 個兩兩互不相容的事件，即 jiAA ＝? ，（ ji? ） nji ?,2,1, ? ，則有 )( 21 nAAAP ??? ? ＝ )( 1AP ＋)()( 2 nAPAP ??? . （ 3） 單調(diào)不減性 ：若事件 B? A，則 P(B)? P(A)，且 P(B－ A)＝ P(B)－ P(A).（ 4） 互補性 ： P( A )＝ 1－ P(A)，且 P(A)? 1.（ 5） 加法公式 ：對任意兩事件 BA、 ，有 ?? )( BAP )()( BPAP ? － )(ABP ；此性質(zhì) 可推廣到任意 n 個事件 nAAA , 21 ? 的情形 . （ 6） 可分性 ：對任意兩事件 BA、 ，有 )()()( BAPABPAP ?? . 條件概率與乘法公式 （ 1）條件概率 ： 設(shè) BA、 是 ? 中的兩個事件，即 FBA ?、 ，則)( )()|( AP ABPABP ?稱為事件 A 發(fā)生的條件下事件 B 發(fā)生的條件概率． 5 （ 2）乘法公式 ： 設(shè) FBA ?、 ，則 )|()()|()()( BAPBPABPAPABP ?? 稱為事件 A、 B 的概率乘法公式 . 全概率公式與貝葉斯 (Bayes)公式 （ 1） 全概率公式： 設(shè) nAAA , 21 ? 是 ? 的一個劃分，且 0)( ?iAP ，),2,1( ni ?? ，則對任何事件 FB? ，有 ??ni ii ABPAPBP 1 )|()()( ＝，稱為全概率公式 . （ 2） 貝葉斯 (Bayes)公式： 設(shè) nAAA , 21 ? 是 ? 的一個劃分，且0)( ?iAP ),2,1( ni ?? ，則對任何事件 FB? ，有),1(,)|()()|()()|(1njABPAPABPAPBAPni iijjj ??? ??， 稱為貝葉斯公式或逆概率公式 . 事件的獨立性 （ 1）兩事件的獨立 ： 設(shè) ),( PF? 為一概率空間，事件 FBA ?、 ，且0)( ?AP ，若 )|()( ABPBP ? ，則稱事件 A 與 B 相互獨立；等價于：)()()( BPAPABP ? . （ 2） 多個事件的獨立： 設(shè) nAAA , 21 ? 是 n 個事件，如果對任意的)1( nkk ?? ，任意的 niii k ????? ?211 ，具有等式)()()()( 2121 kk iiiiii APAPAPAAAP ?? ?，稱 n 個事件 nAA , 21 ? 相互獨立． 貝努里 (Bernoulli)概型 （ 1） 只有兩個可能結(jié)果的試驗稱為貝努里試驗，常記為 E ． E 也叫做 “成功 — 失敗”試驗 ,“ 成 功”的概率常用 )(APp? 表示，其中 A ＝“成功” . 6 （ 2） 把 E 重復(fù)獨立地進行 n 次，所得的試驗稱為 n 重貝努里試驗，記為 nE ． （ 3） 把 E 重復(fù)獨立地進行可列多次，所得的試驗稱為可列重貝努里試驗，記為 ?E ． 以上三種貝努里試驗統(tǒng)稱為貝努里概型． （ 4） nE 中成功 k 次的概率是： )0(,)1( nkqpCppC knkknknkkn ???? ?? 其中 1??qp . 疑 難 分 析 必然事件與不可能事件 必然事件是在一定條件下必然發(fā)生的事件，不可能事件指的是在一定條件下必然不發(fā)生的事件 .它們都不具有隨機性，是確定性的現(xiàn)象，但為研究的方便，把它們看作特殊的隨機事件 . 互逆事件與互斥事件 如果兩個事件 A 與 B 必有一個事件發(fā)生，且至多有一個事件發(fā)生，則 A 、 B為互逆事件；如果兩個事件 A 與 B 不能同時發(fā)生，則 A 、 B 為互斥事件 .因而，互逆必定互斥，互斥未必互逆 .區(qū)別兩者的關(guān)鍵是：當(dāng)樣本空間只有兩個事件時，兩事件才可能互逆，而互斥適用與多個事件的情形 .作為互斥事件在一次試 驗中兩者可以都不發(fā)生，而互逆事件必發(fā)生一個且只發(fā)生 一個 . 兩事件獨立與兩事件互斥 兩事件 A 、 B 獨立，則 A 與 B 中任一個事件的發(fā)生與另一個事件的發(fā)生無關(guān)，這時 )()()( BPAPABP ? ；而兩事件互斥，則其中任一個事件的發(fā)生必然導(dǎo)致另一個事件不發(fā)生，這兩事件的發(fā)生是有影響的， 這時 0)(, ??? ABPAB .可以用圖形作一 直觀 解釋 .在圖 左邊的正方形中， 圖 A B AB A B 7 )(21)(,41)( BPAPABP ??? ，表示樣本空間中兩事件的獨立關(guān)系，而在右邊的正方形中， 0)( ?ABP ，表示樣本空間中兩事件的互斥關(guān)系 . 條件概率 )|( BAP 與積事件概率 )(ABP )(ABP 是在樣本空間 ? 內(nèi)，事件 AB 的概率，而 )|( BAP 是在試驗 E 增加了新條件 B 發(fā)生后的縮減的樣本空間 B? 中計算事件 A 的概率 .雖然 A 、 B 都發(fā)生，但兩者是不同 的，一般說來，當(dāng) A 、 B 同時發(fā)生時，常用 )(ABP ，而在有包含關(guān)系或明確的主從關(guān)系時，用 )|( BAP .如袋中有 9 個白球 1 個紅球，作不放回抽樣，每次任取一球，取 2 次，求：（ 1）第二次才取到白球的概率；（ 2）第一次取到的是白球的條件下，第二次取到白球的概率 .問題（ 1）求的就是一個積事件概率的問題，而問題（ 2）求的就是一個條件概率的問題 . 全概率公式與貝葉斯 (Bayes)公式 當(dāng)所求的事件概率為許多因素引發(fā)的某種結(jié)果，而該結(jié)果又不能簡單地看作這諸多事件之和時，可考慮用全概率公式，在對樣本空間進行劃分時，一定要注意它必須滿足的兩個條件 .貝葉斯公式用于試驗結(jié)果已知，追查是何種原因（情況、條件）下引發(fā)的概率 . 例 題 解 析 【例 1】 寫出下列隨機試驗的樣本空間及下列事件包含的樣本點： （ 1）擲一棵骰子，出現(xiàn)奇數(shù)點 . （ 2）投擲一枚均勻硬幣兩次： 1）第一次出現(xiàn)正面； 2）兩次出現(xiàn)同一面； 3）至少有一次出現(xiàn)正面 . 8 （ 3）在 1， 2， 3， 4 四個數(shù)中可重復(fù)地抽取兩個數(shù)，其中一個數(shù) 是另一個數(shù)的兩倍 . （ 4）將 a,b 兩只球隨機地放到 3 個盒子中去，第一個盒子中至少有一個球 . 分析：可對照集合的概念來理解樣本空間和樣本點：樣本空間可指全集，樣本點是元素，事件則是包含在全集中的子集 . 解 :(1) 擲一棵骰子，有六種可能結(jié)果，如果用 “1” 表示 “ 出現(xiàn) 1 點 ” 這個樣本點，其余類似 .則樣本空間為： ? ={1， 2， 3， 4， 5， 6}，出現(xiàn)奇數(shù)點的事件為： {1， 3， 5}. （ 2）投擲一枚均勻硬幣兩次，其結(jié)果有四種可能，若用（正，反）表示 “ 第一次出現(xiàn)正面，第二次出現(xiàn)反面 ” 這一樣本點，其余類似 .則樣本空間為： ? ={（正 ,正） ,（正 ,反） ,（反 ,正） ,（反 ,反） }，用 CBA 、 分別表示上述事件 1）、 2）、3），則事件 A ={（正 ,正） ,（正 ,反） }；事件 B ={（正 ,正），（反 ,反） }；事件 C ={（正 ,正） ,（正 ,反） ,（反 ,正） }. （ 3）在 1， 2， 3， 4 四個數(shù)中可重復(fù)地抽取兩個 數(shù)，共有 1642? 種可 能，若用 ),( ji 表示 “ 第一次取數(shù) i ，第二次取數(shù) j ” 這一樣本點，則樣本空間為：? ={ ),( ji } )4,3,2,1,( ?ji ；其中一個數(shù)是另一個數(shù)的兩倍的事件為： {（ 1,2） ,（ 2,1） ,（ 2,4） ,（ 4,2） }. (4)三個盒子分別記為甲、乙 、丙，將 a,b 兩只球隨機地放到 3 個盒子中去共有九種結(jié)果 .若用（甲、乙）表示 “a 球放入甲盒， b 球放入乙盒 ” 這一樣本點，其余類似 .則樣本空間為： ? ={（甲，甲），（甲，乙），（甲，丙），（乙，乙），（乙，甲），（乙，丙），（丙，甲），（丙，乙），（丙，丙） }；第一個盒子中至少有一個球的事件為： {（甲，甲），（甲，乙），