【正文】 因 CR，接受矩陣 A，求出 A對應(yīng)于 λmax的標(biāo)準(zhǔn)化特征向量 W= ( , ， )T，以 W的分量作為 C C C3在目標(biāo) O中所占的權(quán)重。 11???niiwm a x1nCIn? ???CICRRI??現(xiàn)對本節(jié)例 （即合理利用利潤問題的例子）進(jìn)行層次單排序。否則必需重新作比較，修正 A中的元素。綜上所述，在步 3中應(yīng)先求出 A的最大特征根 λmax及 λmax對應(yīng)的特征向量 W=（ w1,…, w n） T，進(jìn)行標(biāo)準(zhǔn)化， 使得 。 表 N 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 RI 0 0 （ 3）將 CI與 RI作比較，定義 CICRRI?稱 CR隨機(jī)一致性比率。為此， Saaty等人又研究了他們認(rèn)為最不一致的矩陣 —— 用從 1~9及其倒數(shù)中隨機(jī)抽取的數(shù)字構(gòu)造的正互反矩陣，取充分大的子樣，求得最大特征根的平均值 ， 并定義 max??m a x1nRIn? ? ???稱 RI為平均隨機(jī)一致性指標(biāo)。 （ 2）上面定義的 CI值雖然能反映出非一致性的嚴(yán)重程度，但仍未能指明該非一致性是否應(yīng)當(dāng)被認(rèn)為是可以允許的。若 A是一致矩陣，其余 n－ 1個特征根均為零，故CI=0；否則， CI0，其值隨 A非一致性程度的加重而連續(xù)地增大。 CI的值越大， A的非一致性越嚴(yán)重。 為確定多大程度的非一致性是可以允忍的， Saaty等人采用了如下辦法： （ 1）求出 ，稱 CI為 A的一致性指標(biāo)。由于特征根連續(xù)地依賴于 aij，故 λmax比 n大得越多， A的非一致性程度也就越為嚴(yán)重， λmax對應(yīng)的標(biāo)準(zhǔn)化特征向量也就越不能真實地反映出 X={x1,…, xn}在對因素 Z的影響中所占的比重。 ijij wwajiij wwa ?ijij wwa?當(dāng) A非一致矩陣時，（ ）式中的等號不能對一切 i， j成立，從而必有λmaxn。由于 21 ??ijijijijwwawwa() 當(dāng)且僅當(dāng) =1（即 ）時（ ）式中的等號成立， 故由（ ）式 λmax=n。 ( 1)2nn?（ ） 現(xiàn)證明必要性，由一致矩陣性質(zhì)（ 5），有 ， 故由（ ）式，得 λmax=n。 由定理， λmax0且 wi 0， i=1， … ， n。 定理 n階正互反矩陣 A為一致矩陣當(dāng)且僅當(dāng)其最大特征根 λmax=n，且當(dāng)正互反矩陣 A非一致時，必有 λmaxn。 （ 5）若 A的最大特征根 λmax對應(yīng)的特征向量為 W=（ w1,…, w n） I，則 aij=wi /wj， i,j = 1,2,…, n。 （ 4） A的最大特征根 λmax=n，其中 n為矩陣 A的階。 （ 2） A的轉(zhuǎn)置矩陣 AT也是一致矩陣。 A的其余特征根的模均嚴(yán)格小于 λmax。如何檢驗構(gòu)造出來的（正互反）判斷矩陣 A是否嚴(yán)重地非一致，以便確定是否接受 A，并用它作為進(jìn)一步分析研究的工具？ Saaty等人在研究正互反矩陣和一致矩陣性質(zhì)的基礎(chǔ)上，找到了解決這一困難的辦法，給出了確定矩陣 A中的非一致性是否可以允忍的檢驗方法。但構(gòu)造成對比較判斷矩陣 A共計要作 次比較（設(shè)有 n個因素要兩兩比較），保證 A是正互反矩陣是較容易辦到的，但要求所有比較結(jié)果嚴(yán)格滿足一致性，在 n較大時幾乎可以說是無法辦到的，其中多少帶有一定程度的非一致性。如果比較結(jié)果是前后完全一致的，則矩陣 A的元素還應(yīng)當(dāng)滿足： i、 j、 k = 1,2,…, n ,ij ik ika a a??定義 滿足（ ）關(guān)系式的正互反矩陣稱為一致矩陣。 步 3 層次單排序及一致性檢驗 上述構(gòu)造成對比較判斷矩陣的辦法雖能減少其他因素的干擾影響，較客觀地反映出一對因子影響力的差別。 Saaty等人還用實驗方法比較了在各種不同標(biāo)度下人們判斷結(jié)果的正確性，實驗結(jié)果也表明，采用 1~9標(biāo)度最為合適。在成對事物的差別介于兩者之間難以定奪時， aij可分別取值 8。他們認(rèn)為，人們在成對比較差別時，用 5種判斷級較為合適。 1jiija a?定義 若矩陣 A=(aij)n n滿足 （ i） aij 0， （ ii） （ i, j = 1,2,…, n）， 則稱之為正互反矩陣（易見 aii =1, i = 1, …, n）。即每次取兩個因子 xi和 xj，以 aij表示 xi和 xj對 Z的影響大小之比，全部比較結(jié)果用矩陣 A=(aij)n n表示，稱 A為 Z－ X之間的成對比較判斷矩陣（簡稱判斷矩陣）?，F(xiàn)在，請人估計這 n小塊的重量占總重量的比例（不能讓他知道各小石塊的重量），此人不僅很難給出精確的比值，而且完全可能因顧此失彼而提供彼此矛盾的數(shù)據(jù)。此外，當(dāng)影響某因素的因子較多時，直接考慮各因子對該因素有多大程度的影響時，常常會因考慮不周全、顧此失彼而使決策者提出與他實際認(rèn)為的重要性程度不相一致的數(shù)據(jù)，甚至有可能提出一組隱含矛盾的數(shù)據(jù)。 在確定影響某因素的諸因子在該因素中所占的比重時，遇到的主要困難是這些比重常常不易定量化。 步 2 構(gòu)造判斷矩陣 層次結(jié)構(gòu)反映了因素之間的關(guān)系，例如圖 可由準(zhǔn)則層中的各準(zhǔn)則反映出來。例如，在選購電冰箱時，如以質(zhì)量、外觀、價格、品牌及信譽(yù)等為準(zhǔn)則，也許在衡量質(zhì)量優(yōu)劣時又可分出若干個不同的子準(zhǔn)則，如制冷性能、結(jié)霜情況、耗電量大小等等。 合理利用企業(yè)利潤 調(diào)動職工積極性 C1 提高企業(yè)技術(shù)水平 C2 改善職工工作生活條件 C3 發(fā)獎金 P1 擴(kuò)建福利 事業(yè) P2 引進(jìn)新設(shè)備 P3 目標(biāo)層 O 準(zhǔn)則層 C 措施層 P 圖中的連線反映了因素間存在的關(guān)聯(lián)關(guān)系，哪些因素存在關(guān)聯(lián)關(guān)系也應(yīng)由決策者決定。分析者可以提出自己的看法，但標(biāo)準(zhǔn)的最終確定將由決策者決定。對于本例，如果分析者自行決定分配比例，廠領(lǐng)導(dǎo)必定會詢問為什么要按此比例分配，符合決策者要求的決策來自于對決策者意圖的真實了解。較簡單的問題通?？煞纸鉃槟繕?biāo)層（最高層）、準(zhǔn)則層（中間層）和方案措施層（最低層）。工廠領(lǐng)導(dǎo)希望知道按怎樣的比例來使用這筆資金較為合理。 例 某工廠有一筆企業(yè)留成利潤要由廠領(lǐng)導(dǎo)決定如何使用。 一、層次分析的基本步驟 層次分析過程可分為四個基本步驟：（ 1）建立層次結(jié)構(gòu)模型；（ 2）構(gòu)造出各層次中的所有判斷矩陣；（ 3）層次單排序及一致性檢驗；（ 4）層次總排序及一致性檢驗。在處理這類比較復(fù)雜而又比較模糊的問題時，如何盡可能克服因主觀臆斷而造成的片面性，較系統(tǒng)、全面地比較分析并作出較為明智的決策呢？ 70年代提出了一種以定性與定量相結(jié)合，系統(tǒng)化、層次化分析問題的方法，稱為層次分析法（ Analytic Hiearchy Process，簡稱AHP）。例如，生產(chǎn)者面對消費(fèi)者的各種喜好或競爭對手的策略要作出最佳決策；消費(fèi)者面對琳瑯滿目的商品要根據(jù)它們的性能質(zhì)量的好壞、價格的高低、外形的美觀程度等選擇自己最為滿意的商品；畢業(yè)生要根據(jù)自己的專業(yè)特長、社會的需求情況、福利待遇的好壞等挑選最為合意的工作；科研單位要根據(jù)項目的科學(xué)意義和實用價值的大小、項目的可行性、項目的資助情況及周期長短等選擇最合適的研究課題 …… 。 層次分析法建模 層次分析法是對一些較為復(fù)雜、較為模糊的問題作出決策的簡易方法，它特別適用于那些難于完全定量分析的問題。 故燒雞的最佳制作量為 28只。 表 概率 P( ) 30 29 28 27 26 25 需求量 ??解：根據(jù)題意，單位過剩損失 k0=，單位不足損失 ku = 5， 。 例 某燒雞店每賣出一只燒雞可賺 5元，如出現(xiàn)過剩將于下午 5點(diǎn)另作處理，每剩一只將損失 。 ? ? ? ? ?? ? ?? ?解：當(dāng) ≥ 時，將有過量損失 k0（ － ）；當(dāng) 時，將有不足損失 ku（ － ）。記該商品的進(jìn)貨量為 （決策變量），若 ，進(jìn)貨過量，每單位進(jìn)貨過剩將造成 k0元過量損失；反之，若 ，進(jìn)貨不足，每單位進(jìn)貨不足將造成 ku元的不足損失。要作出較符合實際情況的決策，還需決策者多作些調(diào)查研究，以便對未來自然狀態(tài)的出現(xiàn)作出較符合客觀實際的預(yù)測，才能收到較好的效果。但是，在決策購買何種股票時，因為關(guān)系重大，也許他為了保險又會采取悲觀法。例如，在決定購買幾元錢一張的對獎券時，決策者也許會采用樂觀法。事實上，采取什么方法決策與決策者的心理狀態(tài)有關(guān)。對于例 ，如取各狀態(tài)出現(xiàn)的概率均為 ，用期望值法決策，將選取策略 2。 ?m a x (1 ) m inij ijjjt a t a??m a x (1 ) m inij ijjjt a t a???（ 4）等可能法（ Laplace 準(zhǔn)則） 由于不能估計各狀態(tài)出現(xiàn)的概率，決策者認(rèn)為它們相差不會過大。在例 ，若取 t=，采用樂觀系數(shù)法決策，將選取 方案 2。 ?（ 3）樂觀系數(shù)法（ Hurwicz決策準(zhǔn)則） 樂觀系數(shù)法采用折中的辦法，引入一個參數(shù) t， 0≤t≤1，稱 t為樂觀系數(shù)。對于例 ， min a1j = 4， min a2j = 3， min a3j = 1， min a4j = 3。 ?（ 2）悲觀法（ max min原則） 采用悲觀法時，決策者意在安全保險。有四種可供選擇的行動方案，相應(yīng)的收益值見表 表 6 6 6 5 3 4 1 5 9 6 4 3 8 7 5 4 3 2 6 6 5 4 4 1 5 4 3 2 1 自然狀態(tài) 方案 ? ? ? ??????（ 1）樂觀法（ max max原則） 采用樂觀法時，決策者意在追求最大可能收益。下面結(jié)合一個例子，介紹幾種處理這類問題的方法。實際應(yīng)用時應(yīng)根據(jù)具體情況作出分析，選取期望收益最大或期望損失最小的方案。如出現(xiàn)陰雨天氣，仍維持正常速度施工；如出現(xiàn)小風(fēng)暴，則采取應(yīng)急措施；如出現(xiàn)大風(fēng)暴，也按正常速度施工，整個方案總損失的期望值為－ 14900元。 （ 4）在第二級決策點(diǎn) A處進(jìn)行方案比較，劃去提前緊急加班，將－ 14900標(biāo)在 A點(diǎn)旁。遇到?jīng)Q策點(diǎn)則比較各方案分枝的效益期望值以決定方案的優(yōu)劣，并且用雙線劃去淘汰掉的方案分枝，在決策點(diǎn)旁標(biāo)上最佳方案的效益期望值，計算步驟如下： （ 1）在機(jī)會節(jié)點(diǎn) E、 F處計算它們的效益期望值 E(E) = （－ 24000）＋ （－ 18000）＋ （－ 12022） =－ 19800 E(F) = （－ 54000）＋ （－ 46000）＋ （－ 38000） =－ 50800 （ 2）在第一級決策點(diǎn) C、 D處進(jìn)行比較，在 C點(diǎn)處劃去正常速度分枝，在D處劃去應(yīng)急分枝?！鞣Q為未梢節(jié)點(diǎn)，右邊的數(shù)字表示相應(yīng)的收益值或損失值。 根據(jù)題意，作決策樹如圖 圖 ，□表示決策點(diǎn)，從它分出的分枝稱為方案分枝，分枝的數(shù)目就是方案的個數(shù)。如按正常速度施工，則 15天后還需根據(jù)天氣狀況再作一次決策，以決定是否采取應(yīng)急措施，故本例為多階段（兩階段）決策問題。 解：由于未來的天氣狀態(tài)未知，但各種天氣狀況出現(xiàn)的概率已知，本例是一個風(fēng)險型決策問題，所謂的額外費(fèi)用應(yīng)理解為期望值。實施此應(yīng)急措施也有三種可能結(jié)果：有 70%可能減少誤工期 2天，支付應(yīng)急費(fèi)及誤工費(fèi)共 54000元；有 20%可能減少誤工期 3天，支付應(yīng)急費(fèi)及誤工費(fèi)共 46000元；有10%可能減少誤工期 4天，支付應(yīng)急費(fèi)和誤工費(fèi)共 38000元。 如遇大風(fēng)暴，也有兩個方案可供選擇：（ i）維持正常速度施工，支付工程延期損失費(fèi) 50000元。（ ii）采取應(yīng)急措施。 如遇到陰雨天氣，則維持正常速度，不必支付額外費(fèi)用。對于可能出現(xiàn)的情況，考慮兩種方案： （ 1）提前緊急加班，在 15天內(nèi)完成工程，實施此方案需增加開支 18000元。但根據(jù)天氣預(yù)報， 15天后天氣肯定變壞。 ?對于較為復(fù)雜的決策問題，尤其是需要作多階段決策的問題，常采用較直觀的決策樹方法，但從本質(zhì)上講，決策樹方法仍然是一種期望值法。 ? ? m a xij k j ijkl a a??? maxkjk a定理 最大期望收益法與最小期望后悔值法等價，即兩者選出的最佳 策略相同。在例 ，如采用期望后悔值法，則 E（ 1）=6， E（ 2） =22，取 1為最佳策略。因為鉆井可收益 40萬元，但決策者作了不鉆井的決策，未獲得本來可以獲得的 4