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[理學(xué)]第2講向量組的秩(參考版)

2025-01-22 14:58本頁(yè)面
　　

【正文】 定理： ( ) ,0. Sm n A R A r nA x S R n r??? ? ?設(shè) 矩 陣 的 秩 則 元 齊 次 線 性 方 程組 的 解 集 的 秩01 ( ) , ,R A n?當(dāng) 時(shí) 方 程 組 只 有 零 解 故 沒(méi) 有 基 礎(chǔ) 解 系() .,R A r n n r? ? ?02 當(dāng) 時(shí) 方 程 組 必 有 含 個(gè) 向 量 的 基 礎(chǔ) 解 系總結(jié)： 0Ax ?對(duì) 于( , 0 ) 。求法： 設(shè)系數(shù)矩陣 A的秩為 r , 于是 A的行最簡(jiǎn)形矩陣為： 并不妨設(shè) A的前 r 個(gè)列向量線性無(wú)關(guān)． ??????????????????????00001001~,1,111????????????????????????rnrrrnbbbbA00000100121,1,111???????????????????????????????????????????nrnrrrnxxxbbbb?????????????????????????????????????????????nrn,rrrrnrn,rxbxbxxbxbx?????????????11111110?Ax ?即： 1111100rbbC????????????????????????1222010rCbb?????????????????????????1,001nrnrr n rbbC?????????????????????????????1 ,rnxx?將 作 為 自 由 未 知 量 ， 1, nrCC并 令 它 們 依 次 等 于可得（ 1）的通解： 11rrnxxxx??????????????????????1? 2? nr? ?12, , , nr? ? ? ?則 為 基 礎(chǔ) 解 系 。02 最 大 無(wú) 關(guān) 組 不 唯 一 量 組 與 它 的 最 大 無(wú) 關(guān) 組 是 等 價(jià) 的 04. 一 個(gè) 向 量 組 的 任 意 兩 個(gè) 最 大 無(wú) 關(guān) 組 是 等 價(jià) 的?????????????????????97963422644121121112 A設(shè)矩陣 例1.用最大無(wú)關(guān)組線性表示屬最大無(wú)關(guān)組的列向量無(wú)關(guān)組，并把不的列向量組的一個(gè)最大求矩陣 A行階梯形矩陣施行初等行變換變?yōu)閷?duì) A解，知 3)( ?ARA ，?????????????????00000310000111041211初等行變換 ~ .3 個(gè)向量組含故列向量組的最大無(wú)關(guān)三列，、元在而三個(gè)非零行的非零首 421., 421 無(wú)關(guān)組為列向量組的一個(gè)最大故 aaa線性無(wú)關(guān)，故知 421421 ,3),( aaaaaaR ?., 42153成行最簡(jiǎn)形矩陣再變線性表示，必須將用要把 Aaaaaa?), 421 aaa（事實(shí)上 ?????????????????763264111112??????????????000100110111初等行變換 ~ ?????????????????00000310003011040101 ~初等行變換A?????????4215213334,aaaaaaa 即得. 的秩的秩不大于向量組量組線性表示，則向能由向量組設(shè)向量組ABAB.., : ,: 1010srsraaAAbbBBsr?? 倘若不然，要證的一個(gè)最大無(wú)關(guān)組為向量組，的一個(gè)最大無(wú)關(guān)組為設(shè)向量組?? 證定理２ . 00組線性表示組能由表示，組線性組能由組線性表示，組能由因AAABBB.00 組線性表示組能由故 AB使得即存在系數(shù)矩陣 ),( ijsr kK ?三、向量組秩的重要結(jié)論 ???????????srsrsrkkkkaa
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【摘要】?傳綽????????便????尥耂笩???燌??頿偘?粠?圿?撦倲??ê圿?胝??肅??眱楨