[工學(xué)]第四章桿單元和梁單元(參考版)
2025-01-22 12:18本頁面
【正文】 xaau 10 ?? 01x d d x? ??230 1 2 3v b b x b x b x? ? ? ?230 1 2 3w c c x c x c x? ? ? ? 設(shè)梁單元橫截面面積為 A，在 xz面內(nèi)截面慣性矩為 Iy，在 xy面內(nèi)截面慣性矩為 Iz ，單元的扭轉(zhuǎn)慣性矩為 Jk，長度為 l，材料彈性模量和剪切模量為 E、 G。 ? 計(jì)算步驟簡述如下： （ 1）由給定的單元兩端節(jié)點(diǎn)在整體坐標(biāo)系下的坐標(biāo) 和 ，按式（ ）和式 ()算出 、 、 。 ? ?k k kX ,Y , Z （ 3）按式 ()算出 A A A A 。 沿矢量 方向取矢量 g， g在整體坐標(biāo)系中的三個(gè)分量是 1g 2g 3gKikDXX ??KikDYY ??KikDZZ ?? () ? ? 2/1222 )()()( ikikikk ZZYYXXD ?????? () ?ik 空間梁單元的坐標(biāo)變換 因 z軸垂直于 oxy平面，而 e1和 g均在平面 oxy上，故可取 3egege???11 () e1和 e3既已確定，只需按右手直角坐標(biāo)系條件確定 e2即可。首先，由節(jié)點(diǎn) i、j 在整體坐標(biāo)系下的坐標(biāo)即可確定 e1在整體坐標(biāo)系中的三個(gè)方向余弦，即 LXX ij ??11? LYY ij ??12? LZZ ij ??13? () 空間梁單元的坐標(biāo)變換 其中 ? ? ? ? ? ?? ? 2/1222 ijijij ZZYYXXL ?????? () 下面計(jì)算 e2和 e3。坐標(biāo)變換公式具有如下形式： 1 2 31 2 31 2 3 33l l lm m mn n n ??????????t1 2 1 2tttt??????????T () O2, EY1, EX3, EZ 3, ez 2, ey 1, exi jko圖 47 空間梁單元的坐標(biāo)變換 由局部坐標(biāo)向整體坐標(biāo)的位移變換公式是 Te?δ T δ () 節(jié)點(diǎn)力的變換公式是 Te?F T F () 單元?jiǎng)偠染仃囎儞Q公式是 Te?K T K T () 在三維空間中，設(shè) x,y,z是局部坐標(biāo)系， X， Y， Z是整體坐標(biāo)系 , 單元局部坐標(biāo)系的三個(gè)坐標(biāo)軸的方向余弦分別如下式： 111c o s ( , ^ )c o s ( , ^ )( , ^ )l x Xm x Yn c o s x Z???222c o s ( , ^ )c o s ( , ^ )c o s ( , ^ )l y Xm y Yn y Z???333c o s ( , ^ )c o s ( , ^ )c o s ( , ^ )l z Xm z Yn z Z??? () 空間梁單元的坐標(biāo)變換 坐標(biāo)變換矩陣的具體求算方法包括如下步驟。設(shè)一方形截面的懸臂梁，截面每邊長為 5cm，長度為 10m，在左端約束固定，在右端施以一個(gè)沿 y軸負(fù)方向的集中力 w=100N，求其撓度與轉(zhuǎn)角?？梢宰C明，轉(zhuǎn)換矩陣 T的逆矩陣等于它的轉(zhuǎn)置矩陣，所以，在整體坐標(biāo)系下的單元?jiǎng)偠染仃嚍? ?39。 （ 8）進(jìn)而再求出單元的應(yīng)力應(yīng)變等。 （ 6）引入約束條件。e e T?k T k T() 平面梁單元的推導(dǎo) b) 進(jìn)行整體剛度矩陣的組集。1ee ??k T k T 其中坐標(biāo)變換矩陣為 c os si n 0 0si n c os 0 00 0 c os si n0 0 si n c os???????????????????T () 式中， 是 x’軸相對于 x軸的夾角。ee?R TR 39。在這里直接根據(jù)瑞利法，也可以導(dǎo)出以節(jié)點(diǎn)位移的形式來表達(dá)梁單元的應(yīng)變能。 — 節(jié)點(diǎn)位移向量， 。在局部坐標(biāo)系內(nèi)，平面梁單元定義有 6個(gè)自由度 1u1v 1? 2u2v 2?xy 圖 45平面梁單元模型 { , , , , , }ijeTi i z j j zu v u v???δ () 平面梁單元的推導(dǎo) 略去軸向位移，可以設(shè)平面梁單元有如下 4個(gè)自由度 { , , , }ijeTi z j zvv???δ () 對于平面梁單元，其彎曲變形的位移場 可以設(shè)為下式 )(xv342321)( xxxxv ???? ???? () 因此，梁的斜率是（ Hermite型） 22 3 423zdv xxdx? ? ? ?? ? ? ? () 位移模式寫成矩陣形式 1232234() 1 () 01 23zvx x xxx xx??? ?????????? ???? ? ? ????? ?? ?????? () 平面梁單元的推導(dǎo) （ 3）推導(dǎo)形函數(shù)矩陣 代入節(jié)點(diǎn)位移和節(jié)點(diǎn)坐標(biāo)，有 ivv ?)0(0|xidvdx ?? ?jvLv ?)( |x L jdvdx ?? ? 其中， L—— 梁單元的長度。 （ 2） 建立平面梁單元的位移模式。 0?vEIWLv33??? ?22 336621 yxLxEIWyuxvxy ?? ?????????????????? （ ） 梁中性面（ y=0）上的轉(zhuǎn)角為 ? ?2366)0,( xLxEIWxxy ???? 左端點(diǎn)（ x=0）為懸臂點(diǎn)，轉(zhuǎn)角為 0?xy? 平面懸臂梁問題的解析分析 受載荷作用的懸臂梁的應(yīng)力場可在應(yīng)變場的基礎(chǔ)上，由彈性力學(xué)物理方程直接求出 右端點(diǎn)（ x=L）為受集中載荷點(diǎn)，轉(zhuǎn)角為 EIWLxy 22??? 受載荷作用的懸臂梁的應(yīng)變場可由彈性力學(xué)幾何方程求出 ? ?xLEIWyxux ?????? yxLEIWyvy )( ?????? ?? 0??????? xvyuxy? （ ） ? ?yxx E ????? ??? 21 ? ? ? ? ?????? ????? yxLEIWxLEIWyE 221?? ? ?yxLIW ??? ? 01 2 ???? xyy E ????? 0?? xyxy G ?? （ ） 平面梁單元的推導(dǎo) （ 1） 建立坐標(biāo)系，進(jìn)行單元離散。2326 xWLxWE Iv ?? （ ） 平面懸臂梁問題的解析分析 將懸臂梁的右端受載荷 W處的橫坐標(biāo) x=l代入以上兩式，得右端受載荷截面的轉(zhuǎn)角和撓度分別為 （ 2）平面懸臂梁的彈性力學(xué)求解 EIWLvBB 239。DCxxWLxWE Iv ???? 23 26（ ） 平面懸臂梁問題的解析分析
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