【正文】 ⑨ ⑧若| + |=| － |則 |=| |易產(chǎn)生概念性錯(cuò)誤?！揪?34】 （2022 年全國(guó)卷Ⅰ統(tǒng)一考試?yán)砜茢?shù)學(xué)）（Ⅰ）設(shè)函數(shù) ，求 的最小值；)10( )1log)(log)(22 ????xxxf )(xf（Ⅱ）設(shè)正數(shù) 滿足 ，證明npp31,? 23??np? nn???2322221 llllog?32答案：（Ⅰ） （Ⅱ）用數(shù)學(xué)歸納法證明。由這兩步可以看出，數(shù)學(xué)歸納法是由遞推實(shí)現(xiàn)歸納的，關(guān)鍵是 n＝k＋1 時(shí)命題成立的推證，此步證明要具有目標(biāo)意識(shí)，注意與最終要達(dá)到的解題目標(biāo)進(jìn)行分析比較，以此確定和調(diào)控解題的方向，使差異逐步減小，最終實(shí)現(xiàn)目標(biāo)完成解題。它是一個(gè)遞推的數(shù)學(xué)論證方法，論證的第一步是證明命題在 n＝1(或 n )時(shí)成立，這是遞0推的基礎(chǔ)；第二步是假設(shè)在 n＝k 時(shí)命題成立，再證明 n＝k＋1 時(shí)命題也成立，這是無(wú)限遞推下去的理論依據(jù)，它判斷命題的正確性能否由特殊推廣到一般，實(shí)際上它使命題的正確性突破了有限，達(dá)到無(wú)限。完全歸納推理是在考察了一類事物的全部對(duì)象后歸納得出結(jié)論來(lái)。歸納推理分完全歸納推理與不完全歸納推理兩種。2ncx21nxabcx??????*11nncN????31 （II）若每年年初魚(yú)群總量保持不變，則 恒等于 ， ，從而由上式得 恒nx1*N???nnxabc?等于零, 故 即 因?yàn)?0，所以 .猜測(cè)：當(dāng)且僅當(dāng) ，*nN?10abc??1abc?x??且 時(shí)，?1 （Ⅲ）若 b 的值使得 0， ，由 知 , 特nx*??13nnxbx?03nxb??*N?別地，有 . 即 ，而 ∈(0, 2)，所以 ，由此猜測(cè) b 的最103b??0??1]1(大允許值是 1. 下證 當(dāng) ∈(0, 2) ，b=1 時(shí)，都有 ∈(0, 2), 。2022 年高考主要涉及兩種類型應(yīng)用題，一種類型為概率，另一種為數(shù)列。 （Ⅰ）求 與 的關(guān)系式；（Ⅱ）猜測(cè)：當(dāng)且僅當(dāng) ，a，b，c 滿足什么條件時(shí)，每年年1? 1初魚(yú)群的總量保持不變？（不要求證明） （Ⅲ）設(shè) a＝2，b＝1，為保證對(duì)任意 ∈（0,2） ，都有1＞0， ，則捕撈強(qiáng)度 b 的最大允許值是多少？證明你的結(jié)論。用 表示某魚(yú)群在第 n 年年初的總量，n∈N＊，且 ＞0。學(xué)生易缺乏應(yīng)用數(shù)學(xué)歸納法解決與自然數(shù)有關(guān)問(wèn)題的意識(shí)，忽視其步驟的規(guī)范性及不理解數(shù)學(xué)歸納法的每一步的意義所在。}3|{?x且 ?a2| ax?或（2） （2022 全國(guó)卷Ⅱ）設(shè)函數(shù) ,求使 ≥的 的 x 取值范圍。3?【知識(shí)點(diǎn)分類點(diǎn)拔】函數(shù)的單調(diào)性實(shí)質(zhì)是就體現(xiàn)了不等關(guān)系，故函數(shù)與不等式的結(jié)合歷來(lái)都是高考的熱點(diǎn)內(nèi)容，也是我們解答不等式問(wèn)題的重要工具，在解題過(guò)程中要加意應(yīng)用意識(shí)，如指數(shù)不等式、對(duì)數(shù)不等式、涉及抽象函數(shù)類型的不等式等等都與函數(shù)的單調(diào)性密切相關(guān)。20axbc?? ??2,??解析：由題意知 ，且 故二次函數(shù)在區(qū)間??????1213fxaxax???0a?上是增函數(shù)。例 3記 ，若不等式 的解集為 ，試解關(guān)于 t 的不等式??2fxabxc?????0fx???1,3。ac?[1,]x?是單調(diào)的，求證： 或()gx()fmxR0m?.（1） （2）運(yùn)用重要不等式（3）略.?30【易錯(cuò)點(diǎn) 33】利用函數(shù)的的單調(diào)性構(gòu)造不等關(guān)系。一般地，我們?cè)诮忸}中要抓住二次函數(shù)及圖像、二次不等式、二次方程三者之間的緊密聯(lián)系，將問(wèn)題進(jìn)行相互轉(zhuǎn)化。有時(shí)，還實(shí)現(xiàn)函數(shù)與方程的互相轉(zhuǎn)化、接軌，達(dá)到解決問(wèn)題的目的。29解：（1）由已知令 得： 1x?21())f???(1).f?（2）令 由 得：2()(0)fabc??)(,(?ff 01abc??????即 則 對(duì)任意實(shí)數(shù) 恒1,bc???21()fxaa??2())xfx?x成立就是 對(duì)任意實(shí)數(shù)恒成立，即：20(1)2axa???????則2120,()04a????????1,4c??21()4fxx??（3）由（2）知 故2()1)fx?24()(1)2)fkk?? 14()k???14()34nif n????? )??故原不等式成立．2n【知識(shí)點(diǎn)歸類點(diǎn)拔】函數(shù)與方程的思想方法是高中數(shù)學(xué)的重要數(shù)學(xué)思想方法函數(shù)思想，是指用函數(shù)的概念和性質(zhì)去分析問(wèn)題、轉(zhuǎn)化問(wèn)題和解決問(wèn)題。學(xué)生不能明確和利用三者的關(guān)系在解題中相互轉(zhuǎn)化尋找解題思路。例 3已知 a＞0，b＞0，且 a+b=：( a+ )(b+ )≥ .145【易錯(cuò)點(diǎn)分析】此題若直接應(yīng)用重要不等式證明，顯然 a+ 和 b+ 不能同時(shí)取得等號(hào)，本題可有如下1證明方法。答案：（1） 或 （2） 或?3?1??a??【易錯(cuò)點(diǎn) 31】不等式的證明方法。再者本題中函數(shù)的定義域和值域?yàn)?R 是兩個(gè)不同的概念，前者是對(duì)任意的自變量 x 的值函數(shù)值恒正，后者是函數(shù)值必須取遍所有的正值二者有本質(zhì)上的區(qū)別。20??????94??94?【知識(shí)點(diǎn)歸類點(diǎn)拔】對(duì)于二次型函數(shù)或二次型不等式若二次項(xiàng)系數(shù)含有字母，要注意對(duì)字母是否為零進(jìn)行討論即函數(shù)是一次函數(shù)還是二次函數(shù)不等式是一次不等式還是二次不等式。230????????1?94??94?（2）如果函數(shù) 的值域?yàn)?R 即對(duì)數(shù)的真數(shù) 能取到任意的正??fx????22315xx????27數(shù)，令 當(dāng) =0 時(shí)，即 或 。解析：（1）據(jù)題意知若函數(shù)的定義域?yàn)?R 即對(duì)任意的 x 值恒成立，令????22315mxmx???0?，當(dāng) =0 時(shí)，即 或 。f【易錯(cuò)點(diǎn)分析】此題學(xué)生易忽視對(duì) 是否為零的討論，而導(dǎo)致思維不全面而漏解。????(1,2,).k【易錯(cuò)點(diǎn) 30】求函數(shù)的定義域與求函數(shù)值域錯(cuò)位例 已知函數(shù) （1）如果函數(shù) 的定義域?????22lg35fxmxmx? ?????? ???fx為 R 求實(shí)數(shù) m 的取值范圍。解：原不等式可化為： ＞0，即［(a－1) x+(2－a) ］(x－2)＞0.))(?a當(dāng) a＞1 時(shí)，原不等式與(x － )(x－2)＞0 ≥2，即 0≤a＜1 時(shí)，原不等式無(wú)解；若12??＜2，即 a＜0 或 a＞1，于是 a＞1 時(shí)原不等式的解為(－∞， )∪(2，+∞).?當(dāng) a＜1 時(shí)，若 a＜0，解集為( ，2) ；若 0＜a＜1，解集為(2， )21a26綜上所述：當(dāng) a＞1 時(shí)解集為(－∞ ， )∪(2，+∞)；當(dāng) 0＜a＜1 時(shí)，解集為(2， )；當(dāng) a=0 時(shí)，12?a 12?解集為 ；當(dāng) a＜0 時(shí)，解集為( ，2).?【知識(shí)點(diǎn)分類點(diǎn)拔】解不等式對(duì)學(xué)生的運(yùn)算化簡(jiǎn)等價(jià)轉(zhuǎn)化能力有較高的要求，隨著高考命題原則向能力立意的進(jìn)一步轉(zhuǎn)化，對(duì)解不等式的考查將會(huì)更是熱點(diǎn)，解不等式需要注意下面幾個(gè)問(wèn)題：(1)熟練掌握一元一次不等式( 組)、一元二次不等式(組)的解法.(2)掌握用序軸標(biāo)根法解高次不等式和分式不等式，特別要注意因式的處理方法.(3)掌握無(wú)理不等式的三種類型的等價(jià)形式，指數(shù)和對(duì)數(shù)不等式的幾種基本類型的解法.(4)掌握含絕對(duì)值不等式的幾種基本類型的解法.(5)在解不等式的過(guò)程中，要充分運(yùn)用自己的分析能力，把原不等式等價(jià)地轉(zhuǎn)化為易解的不等式.(6) 對(duì)于含字母的不等式，要能按照正確的分類標(biāo)準(zhǔn)，進(jìn)行分類討論.【練 29】 （2022 年江西高考）已知函數(shù) 為常數(shù)）,且方程 有兩2()(xfab??()120fx???個(gè)實(shí)根為 123,?（1）求函數(shù) 的解析式；（2）設(shè) ,解關(guān)于 的不等式：()f 1k?x()2kxf??答案： ①當(dāng) 時(shí),解集為 ②當(dāng) 時(shí),不等式為).xf???2?(,),)。易對(duì)分類討論的標(biāo)準(zhǔn)把握不準(zhǔn)，分類討論達(dá)不到不重不漏的目的。求∠A 和 的值。【練 28】 （1） （2022 年北京春季高考）在 中，a，b，c 分別是 的對(duì)邊長(zhǎng)，已知?ABC?ABC， ，a，b ，c 成等比數(shù)列，且 ，求 的大小及 的值。（Ⅰ）解法一：由正弦定理 得 將RCcbA2sinsi?.sin2,si,sinRcba上式代入已知 ?????得 .0)sin(cos??CBAA+B+C= ，?)i( ????A??.21,0i???25角， . ?32??B解法二：由余弦定理得 將上式代入bcaCacbB2os,2cos??????2abC???得 .22acb??為三角形的內(nèi)角， . cB???.1?3B（Ⅱ）將 代入余弦定理 得?32,4,13?Bab cabos22??.).1(61os2)(2 ???cc .34in1???BaSABC【知識(shí)點(diǎn)歸類點(diǎn)拔】三角形中的三角函數(shù)問(wèn)題一直是高考的熱點(diǎn)內(nèi)容之一。例 2 （1） （2022 湖南高考）已知在△ABC 中，sinA（sinB＋cosB）－sinC＝0，sinB ＋cos2C＝0，求角A、B、C 的大小.【易錯(cuò)點(diǎn)分析】本題在解答過(guò)程中若忽視三角形中三內(nèi)角的聯(lián)系及三角形各內(nèi)角大小范圍的限制，易使思維受阻或解答出現(xiàn)增解現(xiàn)象。如：在中，已知 a,b 和 A 解的情況如下：ABC?（1） 當(dāng) A 為銳角（2）若 A 為直角或鈍角【練 27】 （2022 全國(guó)）如果滿足 ， ， 的三角表恰有一個(gè)那么 k 的取值60ABC???2BCk?范圍是（）A、 B、 C、 D、 或83012k???1??83答案：D24【易錯(cuò)點(diǎn) 28】三角形中的三角函數(shù)問(wèn)題。這時(shí)有且只有一解。但由于正弦函數(shù)在區(qū)間 內(nèi)不嚴(yán)格格單調(diào)所以滿足條件1sin2bc????0,?的角可能不唯一，這時(shí)要借助已知條件加以檢驗(yàn)，務(wù)必做到不漏解、不多解。例 2在 中， ?！揪?26】 （1） （2022 年高考江蘇卷 18）已知函數(shù) 上 R 上的偶函數(shù)，)0,)(si)( ????f其圖象關(guān)于點(diǎn) 對(duì)稱，且在區(qū)間 上是單調(diào)函數(shù)，求 和 ω 的值.)0,43(?M]2,0[?23答案： 或 。8x???04ff?????????1a??【知識(shí)點(diǎn)歸類點(diǎn)拔】對(duì)于正弦型函數(shù) 及余弦型函數(shù) 它們有sinyAx??????cosyAx???無(wú)窮多條對(duì)稱軸及無(wú)數(shù)多個(gè)對(duì)稱中心，它們的意義是分別使得函數(shù)取得最值的 x 值和使得函數(shù)值為零的 x值，這是它們的幾何和代數(shù)特征。例 2如果函數(shù) 的圖象關(guān)于直線 對(duì)稱，那么 a 等于（ ）si2cosxa??8x??A. B.－ D.－12【易錯(cuò)點(diǎn)分析】函數(shù) 的對(duì)稱軸一定經(jīng)過(guò)圖象的波峰頂或波谷底，且與 y 軸平行，而??sinyAx??對(duì)稱中心是圖象與 x 軸的交點(diǎn)，學(xué)生對(duì)函數(shù)的對(duì)稱性不理解誤認(rèn)為當(dāng) 時(shí)，y=0，導(dǎo)致解答出錯(cuò)?！揪?25】（1）在三角形 中，已知 ，求三角形的內(nèi)角 C 的大小。??0,?解析：由 且 、 均為銳角知解析：由 且51sin,si?????510sin,si???、 均為銳角知 ,則?230co,cos?由 、 均為銳角即 故??53102cos?????????0,????????【知識(shí)點(diǎn)歸類點(diǎn)拔】根據(jù)已知條件確定角的大小，一定要轉(zhuǎn)化為確定該角的某個(gè)三角函數(shù)值，再根據(jù)此三角函數(shù)值確定角這是求角的必然步驟，在這里要注意兩點(diǎn)一就是要結(jié)合角的范圍選擇合適的三角函數(shù)名稱同時(shí)要注意盡量用已知角表示待求角，這就需要一定的角的變換技巧如： 等。例 2若 ，且 、 均為銳角，求 的值。0,2?????????sinco1???,2?????????【練 24】（1994 全國(guó)高考）已知 ，則 的值是 。ta5【知識(shí)點(diǎn)歸類點(diǎn)拔】在三角函數(shù)的化簡(jiǎn)求值過(guò)程中，角的范圍的確定一直是其重點(diǎn)和難點(diǎn)，在解題過(guò)程中要注意在已有條件的基礎(chǔ)上挖掘隱含條件如：結(jié)合角的三角函數(shù)值的符號(hào)、三角形中各內(nèi)角均在區(qū)間內(nèi)、與已知角的三角函數(shù)值的大小比較結(jié)合三角函數(shù)的單調(diào)性等。但在解題過(guò)程中易忽視 這個(gè)隱含條件來(lái)確定角 范圍，主觀認(rèn)?sn0??為 的值可正可負(fù)從而造成增解。例 2已知 ， 求 的值。D、橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)為原來(lái)的 2 倍（縱坐標(biāo)不變），再向右平移 個(gè)單位長(zhǎng)度。B、橫坐標(biāo)縮短為原來(lái)的2?倍（縱坐標(biāo)不變），再向左平移 個(gè)單位長(zhǎng)度。不論哪一種變換都要注意一點(diǎn)就是不論哪一種變換都是對(duì)1???sinywx???純粹的變量 x 來(lái)說(shuō)的。2sinyx?6?i3????????20或者先進(jìn)行相位變換，即將 的圖象上各點(diǎn)的縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)向右平移 個(gè)單位，得1sin2yx? 23?到函數(shù) 的圖象，再將其橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的 4 倍即得即得函數(shù)1sini233yx?????????????????的圖象。3?解析：由 變形為 常見(jiàn)有兩種變換方式，一種先進(jìn)行周期變換，即將1sin2yx?sin23yx????????的圖象上各點(diǎn)的縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的 倍得到函數(shù) 的圖象，i 142sinyx?再將函數(shù) 的圖象縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)向右平移 單位。6D、 先把每個(gè) x 值縮小到原來(lái)的 倍，y 值不變，再向右平移 個(gè)單位。3?B、 先將每個(gè) x 值縮小到原來(lái)的 倍，y 值不變，再向左平移 個(gè)單位。易將 和 求錯(cuò)。例如利用三角函數(shù)線易知 ，0,sinta2???????????等。tat??sini?【知識(shí)點(diǎn)歸類點(diǎn)拔】單位圓的三角函數(shù)線將抽象的角的三角函數(shù)值同直觀的有向線段的數(shù)量對(duì)應(yīng)起來(lái)，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想，要注意一點(diǎn)的就是角的三角函數(shù)值是有向線段的數(shù)量而不是長(zhǎng)度。正確。（2）思維轉(zhuǎn)向利用三角函數(shù)的單調(diào)性，沒(méi)有應(yīng)用三角函數(shù)線比較兩角三角函數(shù)值大小的意識(shí)而使思維受阻。例 2下列命題正確的是（）A、 、 都是第二象限角，若 ，則 B、 、 都是第三象限角，若??sini???tant???，則 C、 、 都是第四象限角，若 ，則cos? sini??D、 、 都是第一象限角，若 ，則 。18【知識(shí)點(diǎn)歸類點(diǎn)拔】 以數(shù)列為數(shù)學(xué)模型的應(yīng)用題曾是高考考查的熱點(diǎn)內(nèi)容之一，其中有很多問(wèn)題都是涉及到等差或