高中奧林匹克物理競賽解題方法三微元法(參考版)
2025-01-17 09:43本頁面
【正文】 ；(+)CD（1）；（2）繩圈掉地上，長度為原長2mgR + μmπv21015 ；2∶1kk1112πRδ1m(－v2) ，v′=11a =微元法第14頁（共14頁）。16．如圖3—32所示，空間有一水平方向的勻強(qiáng)磁場，大小為B ，一光滑導(dǎo)軌豎直放置，導(dǎo)軌上接有一電容為C的電容器，并套一可自由滑動的金屬棒，質(zhì)量為m ，釋放后，求金屬棒的加速度a 。軌道平面處于垂直向上的磁感應(yīng)強(qiáng)度為B的勻強(qiáng)磁場中。14．如圖3—30所示，在光滑的水平面上，有一垂直向下的勻強(qiáng)磁場分布在寬度為L的區(qū)域內(nèi)，現(xiàn)有一個邊長為a（a＜L），質(zhì)量為m的正方形閉合線框以初速v0垂直磁場邊界滑過磁場后，速度變?yōu)関（v＜v0），求：（1）線框在這過程中產(chǎn)生的熱量Q ；（2）線框完全進(jìn)入磁場后的速度v′。該點(diǎn)與直導(dǎo)線間垂直距離為r 。12．如圖3—28所示，有一均勻帶電的無窮長直導(dǎo)線，其電荷線密度為η 。LN的長度為2R 。10．如圖3—26所示，一根均勻帶電細(xì)線，總電量為Q ，彎成半徑為R的缺口圓環(huán)，在細(xì)線的兩端處留有很小的長為ΔL的空隙，求圓環(huán)中心處的場強(qiáng)。假設(shè)分布在質(zhì)子源 到靶之間的加速電場是均勻的，在質(zhì)子束中與質(zhì)子源相距l(xiāng)和4l的兩處，各取一段極短的相等長度的質(zhì)子流，其中質(zhì)子數(shù)分別為n1和n2，則n1∶n2 。已知質(zhì)子電荷e = 10－19C 。試求小 球從A點(diǎn)運(yùn)動到B點(diǎn)過程中F做的功WF 。已知小球與管內(nèi)壁中位于大環(huán)外側(cè) 部分的動摩擦因數(shù)為μ ，而大環(huán)內(nèi)側(cè)部分的管內(nèi)壁是光滑 的。（1）設(shè)平衡時彈性繩圈長2πb ，b =a ，求彈性系數(shù)k ；（用M 、R 、g表示，g為重力加速度）（2）設(shè)k =，求繩圈的最后平衡位置及長度。將繩圈從球的正上方輕放到球上，并用手扶著繩圈使其保持水平，并最后停留在某個靜力平衡位置。設(shè)Mm ，碰撞彈力Ng ，球與車之間的動摩擦因數(shù)為μ ，則小球彈起后的水平速度可能是（ ）A、 B、0 C、2μ D、v06．半徑為R的剛性球固定在水平桌面上?，F(xiàn)在修一條冰道ACB ，其中AC為斜面，冰道光滑，物體從A點(diǎn)由靜止釋放，用最短時間經(jīng)C到B ，不計過C點(diǎn)的能量損失。（當(dāng)回路中有電流時，該電流所產(chǎn)生的磁場可忽略不計）解析：當(dāng)開關(guān)S先合上1時，電源給電容器充電，當(dāng)開關(guān)S再合上2時，電容器通過導(dǎo)體小棒放電，在放電過程中，導(dǎo)體小棒受到安培力作用，在安培力作用下，兩小棒開始運(yùn)動，運(yùn)動速度最后均達(dá)到最大?，F(xiàn)將開關(guān)S先合向1 ，然后合向2 。L1和L2是兩根橫放在導(dǎo)軌上的導(dǎo)體小棒，質(zhì)量分別為m1和m2 ，且m1＜m2 ?，F(xiàn)給金屬桿一個水平向右的初速度v0 ，然后任其運(yùn)動，導(dǎo)軌足夠長，試求金屬桿在導(dǎo)軌上向右移動的最大距離是多少？解析：水平地從a向b看，桿在運(yùn)動過程中的受力分析如圖3—16—甲所示，這是一個典型的在變力作用下求位移的題，用我們已學(xué)過的知識好像無法解決，其實(shí)只要采用的方法得當(dāng)仍然可以求解。在圓環(huán)上取ΔL = RΔθ圓弧元，受力情況如圖3—15—甲所示。當(dāng)環(huán)勻速轉(zhuǎn)動時，環(huán)上電荷也隨環(huán)一起轉(zhuǎn)動，形成電流，電流在磁場中受力導(dǎo)致環(huán)中存在張力，顯然此張力一定與電流在磁場中受到的安培力有關(guān)?，F(xiàn)將此環(huán)平放在絕緣的光滑水平桌面上，并處于磁感應(yīng)強(qiáng)度為B的均勻磁場中，磁場方向豎直向下。例16：如圖3—15所示，一質(zhì)量均勻分布的細(xì)圓環(huán)，其半徑為R ，質(zhì)量為m 。解析：帶電圓環(huán)產(chǎn)生的電場不能看做點(diǎn)電荷產(chǎn)生的電場，故采用微元法，用點(diǎn)電荷形成的電場結(jié)合對稱性求解。注意到題目中“最初”二字，可以這樣考慮：設(shè)小孔的面積為S ，取開始時位于小孔外一薄層氣體為研究對象，令薄層厚度為ΔL ，因ΔL很小，所以其質(zhì)量Δm進(jìn)入容器過程中，不改變?nèi)萜鲏簭?qiáng)，故此薄層所受外力是恒力，該問題就可以解決了。例14：把一個容器內(nèi)的空氣抽出一些，壓強(qiáng)降為p ，容器上有一小孔，上有塞子，現(xiàn)把塞子拔掉，如圖3—13所示。作用在前、后兩個側(cè)面上的液體壓力互相平衡，作用在體積元表面兩個彎曲分界上的表面張力的合力，當(dāng)體積元的寬度較小時，這兩個力也是平衡的，圖中都未畫出?，F(xiàn)用微元法求解。已知水銀密度ρ = 103kg/m3 ，水銀的表面張力系數(shù)σ = 。OC =，O′C′=，因此：OC + O′C′= ①因Δα極小，所以EC′≈ED′，EC≈ED ，從而：OD + O′D′≈OO′－CC′ ②由于繩子總長度不變，故：OO′－ CC′= O′C′ ③由以上三式可得：OC + O′C′=，即：OC = O′C′(－1)等式兩邊同除以Δt得環(huán)O的速度為：v0 = v(－1)例13： 在水平位置的潔凈的平玻璃板上倒一些水銀，由于重力和表面張力的影響，水銀近似呈現(xiàn)圓餅形狀（側(cè)面向外凸出），過圓餅軸線的豎直截面如圖3—12所示，為了計算方便，水銀和玻璃的接觸角可按180176。解析：O 、O′之間的速度關(guān)系與O 、O′的位置有關(guān)，即與α角有關(guān)，因此要用微元法
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