【正文】 江蘇 ) 設(shè)集合 Pn＝ { 1 , 2 ， ? ， n } ， n ∈ N*. 記f ( n ) 為同時滿足下列條件的集合 A 的個數(shù)： ① A ? Pn； ② 若x ∈ A ，則 2 x ? A ； ③ 若 x ∈ ?PnA ，則 2 x ??Pn A . ( 1 ) 求 f ( 4 ) ； ( 2 ) 求 f ( n ) 的解析式 ( 用 n 表示 ) ． 解 ( 1 ) 當(dāng) n ＝ 4 時，符合條件的集合 A 為： { 2 } ， { 1 , 4 } ， { 2 , 3 } ， { 1 , 3 , 4 } ，故 f ( 4 ) ＝ 4. ( 2 ) 任取偶數(shù) x ∈ Pn，將 x 除以 2 ，若商仍為偶數(shù)， 再除以 2 ， ? ，經(jīng)過 k 次以后，商必為奇數(shù)， 此時記商為 m ，于是 x ＝ m 2 ， 所以函數(shù)的定義域可以是 {0 ， 2 } ， {0 ，－ 2 } ， {0 ， 2 ，－ 2 } ，故值域為 { 1,3} 的同族函數(shù)共有 3 個． 答案 C 4 ． (2022 x ＋ 1 的定義域為 [0 ，＋ ∞ ) ，而 g ( x ) ＝ x ? x ＋ 1 ? 的定義域為 ( － ∞ ，－ 1] ∪ [0 ，＋ ∞ ) ，它們的定義域不同，所以它們不是同一個函數(shù)． 答案 C 2 ． ( 2 0 1 2 x ＋ 1 ， g ( x ) ＝ x ? x ＋ 1 ? 解析 對于選項 A ，由于 f ( x ) ＝ x2＝ | x |， g ( x ) ＝3x3＝ x ，故它們的值域及對應(yīng)法則都不相同，所以它們不是同一個函數(shù)；對于選項 B ，由于函數(shù) f ( x ) 的定義域為 ( －∞ ， 0) ∪ (0 ，＋ ∞ ) ，而 g ( x ) 的定義域為 R ，所以它們不是同一個函數(shù)；對于選項 C ，由于當(dāng) n ∈ N*時， 2 n 177。湖北 ) 定義在 ( － ∞ ， 0) ∪ (0 ，＋ ∞ ) 上的函數(shù) f ( x ) ，如果對于任意給定的等比數(shù)列 { an} ， { f ( an)} 仍是等比數(shù)列，則稱 f ( x ) 為 “ 保等比數(shù)列函數(shù) ” ． 現(xiàn)有定義在 ( － ∞ ， 0) ∪ (0 ，＋ ∞ ) 上的如下函數(shù)： ①f ( x ) ＝ x2； ② f ( x ) ＝ 2x； ③f ( x ) ＝ | x |； ④ f ( x ) ＝ ln | x |. 則其中是 “ 保等比數(shù)列函數(shù) ” 的 f ( x ) 的序號為( ) ． A ． ①② B ． ③④ C ． ①③ D ． ②④ 結(jié)束放映 返回目錄 獲取詳細(xì)資料請瀏覽： 解析 ① f ( x 1 ) f ( x 2 ) ＝ 10x1＋ x2＝ 1 ，只需 x 1 ＋ x 2＝ 0 ， x 2 唯一； ② f ( x 1 ) f ( x 2 ) ＝ lg1x 1 f ( 4 ) ≠ [ f ( 2) ]2，故函數(shù) f ( x ) ＝ 2x不是 “ 保等比數(shù)列函數(shù) ” ，可排除 A ， D ；對于函數(shù) f ( x ) ＝ l n | x |，有 f ( 1 ) ＝ 0 ， f ( 2 ) ＝ l n 2 ， f ( 4 ) ＝ l n 4 ，所以f ( 1 ) 江蘇 ) 設(shè) f ( x ) 是定義在 R 上且周期為 2 的函數(shù)，在區(qū)間 [ － 1 , 1 ] 上， f ( x ) ＝????? ax ＋ 1 ，－ 1 ≤ x 0 ，bx ＋ 2x ＋ 1， 0 ≤ x ≤ 1 ，其中 a ， b ∈ R. 若 f??????12＝ f??????32，則 a ＋ 3 b 的值為 _ _ _ _ _ _ _ _ ． 解析 因為 f ( x ) 是定義在 R 上且周期為 2 的函數(shù)， 所以 f??????32＝ f??????－12，且 f ( － 1) ＝ f ( 1 ) ，故 f??????12＝ f??????－12， 從而12b ＋ 212＋ 1＝－12a ＋ 1 , 3 a ＋ 2 b ＝－ 2. ① 由 f ( － 1) ＝ f ( 1 ) ，得－ a ＋ 1 ＝b ＋ 22，故 b ＝－ 2 a .② 由 ①② 得 a ＝ 2 ， b ＝－ 4 ，從而 a ＋ 3 b ＝－ 1 0 . 答案 － 10 對于解決分段函數(shù)問題，其基本方法是 “ 分段歸類 ” 即自變量涉及到哪一段就用這一段的解析式． 本題考查分段函數(shù)及函數(shù)的周期性等知識，題目中挖掘隱含條件 f(－ 1)＝f(1)對于解決本題至關(guān)重要． [審題視點 ] 結(jié)束放映 返回目錄 獲取詳細(xì)資料請瀏覽： 【訓(xùn)練 3 】 已知函數(shù) f ( x ) ＝??? lo g2x ， x 0 ，2x， x ≤ 0 ， 若 f ( a ) ＝12，則 a 的值為 ( ) ． A ．－ 1 B . 2 C ．－ 1 或12 D ．－ 1 或 2 解析 若 a 0 ，有 lo g2a ＝12， a ＝ 2 ； 若 a ≤ 0 ，有 2a＝12， a ＝－ 1. 答案 D 考向三 分段函數(shù)及其應(yīng)用 【 方法錦囊 】 對于解決分段函數(shù)問題，其基本方法是 “ 分段歸類 ” 即自變量涉及到哪一段就用這一段的解析式． 本題考查分段函數(shù)及函數(shù)的周期性等知識，題目中挖掘隱含條件 f(－ 1)＝f(1)對于解決本題至關(guān)重要． [審題視點 ] 結(jié)束放映 返回目錄 獲取詳細(xì)資料請瀏覽： 熱點突破 3 函數(shù)新定義問題 【命題研究】 以高等數(shù)學(xué)知識為背景的新定義問題是近年來高考命題的熱點，在近年的高考題中常能找到它的影子，如 2022年福建卷第 10題、 2022年湖北卷第 7題等．此類試題著重考查考生的閱讀理解能力、分析問題和解決問題的能力，求解時可通過選取滿足題設(shè)條件的特殊函數(shù)，化抽象為直觀，使得此類問題得以突破．預(yù)測 2022年高考仍會有函數(shù)新定義題出現(xiàn)． 揭秘 3年高考 結(jié)束放映 返回目錄 獲取詳細(xì)資料請瀏覽： [ 教你審題 ] 本題是一道自主定義的新函數(shù)試題，如果 “ 單刀直入，強行突破 ” ，解題過程會很繁雜，因此，我們可以選擇對四個選項中的函數(shù)逐一推理論證，看其是否滿足 “ 保等比數(shù)列函數(shù) ” 的定義 ( 見法一 ) ；也可以利用問題在某一特殊情況下不真，則它在一般情況下也不真的原理，對所給函數(shù)選取特殊值進(jìn)行驗證 ( 見法二 ) ． [ 解法 ] 法一 設(shè)數(shù)列 { an} 的公比為 q ( q ≠ 0) ．對于 ① ，f ? an ＋ 1?f ? an?＝a2n ＋ 1a2n＝ q2，是常數(shù)，故 ① 符合條件；對于 ② ，f ? an ＋ 1?f ? an?＝2 an ＋ 12 an＝ 2 an ＋ 1－ an，不是常數(shù)，故 ② 不符合條件；對于 ③ ，f ? an ＋ 1?f ? an?＝| an ＋ 1|| an|＝ ??????an ＋ 1an＝ | q |，是常數(shù)，故 ③ 符合條件；對于 ④ ，f ? an ＋ 1?f ? an?＝l n | an ＋ 1|l n | an|＝l o g | an|| an ＋ 1|，不是常數(shù)，故 ④ 不符合條件． 由 “ 保等比數(shù)列函數(shù) ” 的定義，知選 C. 【真題探究】 ? ( 2 0 1 2 (2)待定系數(shù)法：若已知函數(shù)的類型，可用待定系數(shù)法； (3)換元法：已知復(fù)合函數(shù) f(g(x))的解析