【正文】 lmax + l ]代入數(shù)據(jù)，得 f = 110．85mm 111mm故透鏡孔徑至少應(yīng)達(dá)到111mm，才能保證在頻譜面上進(jìn)行成功的濾波操作。 白光 Om d f（）答：設(shè)：f0 = 100線/mm，d = 20cm，ab = 66cm，lmax= 650．0nm，lmin= 444．4cm，而調(diào)制物Om的最大線度為 2l =（a2+b2）1/2 = 6√2cm l = 3√2cm欲在頻譜面上進(jìn)行成功的濾波操作，必須使所有物點的一級衍射波都能進(jìn)入透 鏡，最大衍射角θmax應(yīng)與lmax相應(yīng)，即 sinθmax / f0 = lmax由幾何關(guān)系得到 sinθmax = [（f / 2） l ] / d 所以有 f = 2 [d（—）。8．12 用一個單透鏡系統(tǒng)對圖象進(jìn)行θ調(diào)制假彩色編碼，如圖855所示。證明：，匹配濾波器置于濾波平面fx上，根據(jù)（）（）式有匹配濾波器的振幅透過率當(dāng)物在輸入面上平移后形成的輸入光場為則在4f系統(tǒng)的濾波平面上有序的輸入頻譜為通過匹配濾波器以后成為再通過第二個透鏡在傅立葉反變換，在如圖的倒置X‘0坐標(biāo)中光場分布為方括號內(nèi)為g(x,y)的自相關(guān)，與卷積說明該自相關(guān)即相關(guān)亮點的峰值將位于的位置上。l f l / 2d （6）因而復(fù)合光柵的空間頻率差應(yīng)滿足（6）式關(guān)系，才能得到微分圖像。f （4） 其中f是透鏡焦距。8．10 在4f系統(tǒng)中用復(fù)合光柵濾波器實現(xiàn)圖象的一維微分 ?g / ?x ，若輸入圖象g在x方向的寬度為l，光柵頻率應(yīng)如何選??？答：設(shè)復(fù)合光柵的空間頻率為f0和f0+d，則濾波的結(jié)果使像平面上得到兩套物的三重像，兩個正一級像的位相差等于π，它們離零級像的角間距qq2分別由下式確定 sin q1 = f0l， （1） sin q2 =（ f0 +d）l （2）因而正一級像離零級像的線間距分別為l1 = sin q1tH= m2 x3,y3 頻譜面后的光場為 UH39。在4f系統(tǒng)中，將O2置于輸入平面（x1，y1），全息圖置于頻譜平面（x2，y2），如圖 x1,y1 x2,y2 L1 H L2 O1H O2 O2(x1,y1) O2幾何像 O1? O2 f1 f1 39。 答：第一步，制作O1的傅里葉變換全息圖，光路如下： (x1，y1) L (x2，y2) O1 R b H f f全息圖H的透過率為tH = | m1 |2 + R02 + R0m1（fx，fy）exp_[ j 2πfx b] +R0m1?（fx，fy）exp_[ j 2πfx b] 其中m1= ? [O1]，R0為平面參考波的振幅，b為參考點源的橫向位移量。證畢。不失一般性，假設(shè)對輸入面的垂直照明光束為振幅為1的平面波，因而輸入面上出射的光場復(fù)振幅分布即為經(jīng)過透鏡做傅立葉變換平面上得到的光場復(fù)振幅分布為：式中 且 通過原點置于周期的1/4處的光柵以后，透過的光場復(fù)振幅分布為：這是因為，進(jìn)一步展開應(yīng)當(dāng)有六項，但其中四項將含有帶變量的指數(shù)項，在做第二次傅立葉變換時會產(chǎn)生不位于面中心的函數(shù)，與圖像卷積產(chǎn)生不在原點處的圖像，可以不予考慮，余下兩項為：再經(jīng)過的傅立葉反變換得到： 常系數(shù)對于圖像相減不產(chǎn)生影響，因此在面原點處得到的是圖像A和B的相減結(jié)果。8．8 在用一維正弦光柵實現(xiàn)兩個圖象相加或相減的相干處理系統(tǒng)中，設(shè)圖象A、B置于輸入平面P1原點兩側(cè)，其振幅透過率分別為：tA（x1 l，y1）和 tB（x1+ l，y1）；P2平面上光柵的空間頻率為f0，它與l的關(guān)系為：f0 = l /λf，其中λ和f 分別表示入射光的波長和透鏡的焦距；又設(shè)坐標(biāo)原點處于光柵周期的1/4處，光柵的振幅透過率表示為： 試從數(shù)學(xué)上證明： 1）在輸出平面的原點位置得到圖象A、B的相減運算； 2）當(dāng)光柵原點與坐標(biāo)原點重合時，在輸出平面得到它們的相加運算。為改善此照片質(zhì)量，試設(shè)計一個逆濾波器，給出濾波函數(shù)。 t’（x）? =[1 j sin（2πf0x3）][1+ j sin（2πf0x3）] =+ sin2（2πf0x3） 像平面得到的仍是一周期函數(shù)，其周期縮小1倍，振幅減小4倍，本底也有所變化，并且出現(xiàn)圖形的橫向位移，位移量為1/2周期。 t’（x）231。H = d（fx）+ d（fx f0）答：將復(fù)振幅透過率函數(shù)變換為 t（x）= cos 2πf0 x = [1+cos 2πf0 x ] / 2 其頻譜為 T（fx）= ? [t（x）] d（fx）+ ? [cos 2πf0 x] = d（fx）+ d（fx f0）+ d（fx+ f0） 其中第一項為零級譜，后兩項以次為+1級和1級譜。在針孔光欄的作用下，除了焦點處的光以外的高頻分量均不能通過L2傳播出去，就會減少造成光束不均勻的衍射光，從而減少照明光場中的不均勻。L1L2 針孔 激光器 圖答：，激光器通過兩透鏡產(chǎn)生平行光時會出現(xiàn)不均勻照明的主要原因常常是激光器出射窗口及第一個透鏡L1表面上污物，使光束產(chǎn)生衍射造成的。exp [ j f（x1，y1）] 對于弱位相物有f 1弧度，上式近似為（忽略A）t0（x1，y1） 1+ j f（x1，y1）濾波平面得到T（fx，fy）= ? [t0（x1，y1）]=d（fx，fy）+ jF（fx，fy）其中 F（fx，fy）= ? [f（x1，y1）]。 y39。 證明希爾伯特濾波能夠?qū)⑷跷幌辔矬w的位相變化轉(zhuǎn)變?yōu)楣鈴姷淖兓?。H（f x）= = 輸出平面上的復(fù)振幅為 t (x3) = ? 1[T（f x） 0 x3（d）將一個p位相濾波器置于零頻上。 答：將8．1題結(jié)果代入，其中b1 = d = 4，a1 = a = 1，除去與y分量有關(guān)的項，可得（a）P2平面上的頻譜分布為：（b）輸出平面： 復(fù)振幅 t（x3）= ? 1 [T（fx）]若不考慮透鏡尺寸的影響，它應(yīng)該是原物的幾何像，即 t (x3) = *光強分布 I (x3) = | t (x3)| 2 = *(c)擋住零頻分量，輸出平面情況與8．1題（3）相同，即 t (x3) = * I = | t (x3) | 2 由于a = d / 4，所以強度將出現(xiàn)對比度反轉(zhuǎn)，像光柵常數(shù)仍為d = 4，線寬為a’= 3，見下圖 t（x3） I（x3） 0 x3 故干板上記錄到的光柵頻率是基頻的4倍，即400線/mm。答：根據(jù)對8．1題的分析，當(dāng)濾波器僅允許+ 2級頻譜通過時，輸出平面上的光振幅應(yīng)表達(dá)為 t’（x3）= ? 1 { } = 其振幅分布為一周期函數(shù)，空間頻率是基頻的2倍。F ] = {* } {* } 輸出強度分布為有兩種可能的結(jié)果，見課本中圖8．9和圖8．10。（2）用濾波器（c）時，其透過率函數(shù)可寫為 濾波后的光振幅函數(shù)為 TF = 輸出平面光振幅函數(shù)為 t’（x3，y3）= ? 1[ T? [] } *{? [分別用圖853（b）（c）（d）所示的三種濾波器進(jìn)行濾波，求輸出面上的光強分布（圖中陰影區(qū)表示不透明屏）。第八章 習(xí) 題解答8．1利用4f系統(tǒng)做阿貝—波特實驗，設(shè)物函數(shù)t（x1，y1）為一無限大正交光柵 其中aa2分別為x、y方向上縫的寬度，bb2則是相應(yīng)的縫間隔。而光刻膠曝光機理是，曝光