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正文內(nèi)容

醫(yī)用基礎(chǔ)化學(xué)第1章(參考版)

2025-01-16 10:50本頁面
  

【正文】 2. 設(shè) 時(shí), 提示 : 為 連續(xù)函數(shù)。 在 在 設(shè) ,則 1. 任給一張面積為 A的紙片 (如圖 ), 證明必可 思考與練習(xí): 將它一刀剪為面積相等的兩片 . 提示 : 建立坐標(biāo)系如圖 . xoy???則面積函數(shù) ],[)( ??? CS ?因 ,0)( ??S AS ?)(?故由介值定理可知 : ,),(0 ??? ?? .2)( 0 AS ??使)(?S證明至少存 使 提示 :令 則 易證 2. 設(shè) 在 一點(diǎn) 證: 至少有一個(gè)不超過 4的正根 . 令 連續(xù) ,且 根據(jù)零點(diǎn)定理 , 原命題得證。 上可取最大與最小值之間的任何值 。 解: 令 ,它為初等函數(shù) ,在閉區(qū) 間 [0,1]上連續(xù) ,且 f(0)=10,f(1)=30,由定 理 9推論 7可知 ,在開區(qū)間 (0,1)內(nèi)至少存在一 在 (0,1)內(nèi)至少有一個(gè)實(shí)根。 3?CBa 2?xo1?Ay1P 3P2P)( xfy ?b 連續(xù)曲線 y=f(x)與水平直線 y=c至少相交于一點(diǎn) ?axoyb)( xfy ?【 推論 7】 y=f(x)在區(qū)間 上連續(xù) ,且 時(shí) ,則在開區(qū)間 內(nèi)至少存在一點(diǎn) ,使 如圖所示。 若函數(shù)在開區(qū)間上連續(xù) ,或在閉區(qū)間內(nèi)有 例如 , 無最大值和最小值 xoy11xoy1122也無最大值和最小值 又如 , 閉區(qū)間 [a,b]上的連續(xù)函數(shù) f(x)一定有界。 作業(yè): 【 定理 8】 (最大值最小值定理) 閉區(qū)間[a,b]上的連續(xù)函數(shù) f(x)在該區(qū)間上至少取得它的最大值 M和最小值 m各一次。 注意 : 初等函數(shù)求極限的方法代入法 : )()(lim 00xfxfxx ??x∈ 定義區(qū)間。 解: 續(xù)區(qū)間就是它的定義區(qū)間 ,f(x)在 (∞, 1)及在 因?yàn)? 是初等函數(shù) ,所以 f(x)的連 (1,1)∪(1,+∞) 上有定義 ,故 f(x)的連續(xù)區(qū)間 為 (∞ 1)∪( 1,1)∪(1,+∞). 又因?yàn)?x=0為 f(x) 連續(xù)區(qū)間內(nèi)一點(diǎn) ,所以 ,即 函數(shù) y=f(x)在區(qū)間上單值 ,單調(diào)增加 (或單調(diào)減少 )且連續(xù) ,則其反函數(shù) 在對(duì)應(yīng)的區(qū)間上也單值、單調(diào)增加 (或單調(diào)減少 )且連續(xù)。 練習(xí) 1: 求 解 : 原式 練習(xí) 2: 求 解 :令 ,1?? xat 則 ,)1(lo g tx a ??原式 )1(l o glim 0 ttat ?? ?說明 :當(dāng) 時(shí) ,有 xx ~)1ln ( ? xe x ~1?是由連續(xù)函數(shù) ),0()0,( ??????x在 上連續(xù) . xyoxy1si n?練習(xí) 4: 討論 的連續(xù)性 解: 因此 復(fù)合而成 , ),0()0,( ??????x練習(xí) 3 求 解: 初等函數(shù)在其定義區(qū)間內(nèi)是連續(xù)的 ,所謂定義區(qū)間是只包含在定義域內(nèi)的區(qū)間。 解: 連續(xù) ,根據(jù)定理 7有 函數(shù) 可看作由 復(fù)合而成 ,因?yàn)? ,而 在相應(yīng)點(diǎn) 例 21 討論函數(shù) 的連續(xù)性。函數(shù) y=f(u)在相應(yīng)點(diǎn) 連續(xù) ,即 ,則復(fù)合函數(shù) 當(dāng) 時(shí)的極限也存在且等于 ,即 。 在其定義域內(nèi)連續(xù)。 內(nèi)容小結(jié) 左連續(xù) 右連續(xù) 在點(diǎn) 連續(xù)的等價(jià)形式 一切基本初等函數(shù)在其定義域內(nèi)都是連續(xù)的。 為其無窮間斷點(diǎn) . 為其振蕩間斷點(diǎn) . 例如 : xy tan?2? xyoxy xy 1sin?01顯然 為其可去間斷點(diǎn)。 根據(jù)定義 12可知 ,當(dāng)函數(shù) f(x)在點(diǎn) x0有下列三 例 18 函數(shù) 在 x=1點(diǎn)無意義 ,所以x=1是此函數(shù)的間斷點(diǎn) ,見圖 . 如例 7中 ,函數(shù) 在 x=0點(diǎn)有定義 , 但 所以 不存在 ,因此 x=0是該函數(shù)的間斷點(diǎn) , 如圖所示。 在 在 (2)函數(shù) f(x) 不存在 。如果 f(x)在 x=a點(diǎn)右連續(xù) ,而在 x=b點(diǎn)左連續(xù) ,則稱 f(x)在區(qū)間 [a,b]上連續(xù). 例如 , 在 上連續(xù) ,即 : (有理整函數(shù) ) 又如 ,有理分式函數(shù) 義域內(nèi)連續(xù)。如圖所示。 同理可定義函數(shù) f(x)在 x0點(diǎn)右連續(xù),即 )()(lim)(lim 000xfxfxf xxxx ?? ?? ?? 函數(shù) f(x)在 x0 點(diǎn)連續(xù)的充分必要條件是它在 x0 點(diǎn)既左連續(xù)又右連續(xù),即 如例 7中 ,函數(shù) 在 x=0點(diǎn)有定義 , 但 所以 不存在。 。 ~ xxarc sin ~ x20c o s1l i mxxx??220si n2lim xx ??22)(4 x21?故 時(shí) , 是關(guān)于 x的高階無窮小 , ~ 且 又如 , 當(dāng) x→3 時(shí) ,x29與 x3是 同階無窮小 . 內(nèi)容小結(jié) 1. 無窮小的比較 設(shè) ?,? 對(duì)同一自變量的變化過程為無窮小 ,且 ? 是 ? 的 高階 無窮小 ? 是 ? 的 低階 無窮小 ? 是 ? 的 同階 無窮小 ? 是 ? 的 等價(jià) 無窮小 ? 是 ? 的 k 階 無窮小 ~ ~ ~ ~ 常用等價(jià)無窮小 : 函數(shù)的連續(xù)性 函數(shù)的連續(xù)性 設(shè)函數(shù) y=f(x)在點(diǎn) x0的某一鄰域內(nèi)有定義 ,當(dāng)自變量由點(diǎn) x0變到另一點(diǎn) x時(shí) ,稱 x x0值為自變量的增量 ,記為 Δx=x x0,相應(yīng)地f(x0+Δx) f(x0)值為函數(shù)的增量 ,記為Δy=f(x) f(x0). 【 增量定義 】 因?yàn)? ,故有 xoyx?y?0x x【 定義 11】 )()(lim 00xfxfxx ??0l im 0 ???? yx 設(shè)函數(shù) y=f(
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