【正文】 七 .特殊化法 一般問題 特殊化 ， 主要用來解決選擇和填空題 ， 當(dāng)選擇題 、 填空題的結(jié)論唯一或其值為 “ 定值 ” 時 ， 可以取一個 （ 或一些 ） 特殊數(shù)值 （ 或特殊位置 ， 特殊函數(shù) 、 特殊點(diǎn) 、 特殊方程 、 特殊數(shù)列 、 特殊圖形等等 ） 來確定其結(jié)果 ， 從而節(jié)省推理 、 論證 、 演算的過程 ， 加快解題速度 . 例 1. (2022 江西理 ) 在直角三角形 ABC 中，點(diǎn) D 是 斜邊 AB 的中點(diǎn)，點(diǎn) P 為線段 CD 的中點(diǎn)，則 222P A P BPC? =( ) A .2 B . 4 C . 5 D . 10 yxPDB ( 0 ,4)A ( 4 ,0)C【解析】依題將直角三角形放入直角坐 標(biāo)系中， 如圖， 設(shè) ( 4 , 0 )A ， ( 0 , 4 )B ，則 ( 2 , 2 )D ， ( 1 , 1 )P ， 所以2 221 1 2PC ? ? ?， 2 221 ( 1 4 ) 1 0PB ? ? ? ?，2 22( 1 4 ) 1 1 0PA ? ? ? ?， 所以22 20P A P B??，所以 22220102PA PBPC???. 故選 D . D【 感悟 】若本題設(shè)一般的直角三角形求解，計算量要大一些 . 由于本題為定值問題，故可取特殊的等腰直角三角形計算確 定其選項 . 例 2. (2022 高考湖南文 7) 設(shè) 1ab ?? ， 0c ? ，給出下列三個結(jié)論： ① ccab ? ；② ccab ? ； ③ l o g ( ) l o g ( )bb a c b c? ? ?， 其中所有的正確結(jié)論的序號是 ( ) A . ① B . ① ② C . ② ③ D . ① ②③ 例 2. (2022 高考湖南文 7) 設(shè) 1ab ?? ， 0c ? ，給出下列三個結(jié)論： ① ccab ? ；② ccab ? ； ③ l o g ( ) l o g ( )bb a c b c? ? ?， 其中所有的正確結(jié)論的序號是 ( ) A . ① B . ① ② C . ② ③ D . ① ②③ 【解析】由于對于任意的滿足 1ab ?? , 0c ? 的 a , b , c ① , ② , ③ 的大小關(guān)系是唯一確定的，故取 4a ? ， 2b ? ， 2c ?? 求解 . 因為2142ca?? ? ?，212cb?? ? ?，所以ccab?. ①正確； 因為2 1416ca ???，2 124cb ???，所以 ccab ? . ② 正確； 因為22l og ( ) l og ( 4 2) l og 6 1b ac ? ? ? ? ?,4l og ( ) l og ( 2 2) 1a bc ? ? ? ?， 所以l o g ( ) l o g ( )ba a c b c? ? ?. ③ 正確 . 故選 D . D【 感悟 】 用一般推理確定大小比較抽象 , 難度較大 . 由于本題中 ①， ②，③的大小關(guān)系是唯一確定 ， 故可取特殊值求解 . 例 3. (2022 安徽理數(shù) ) 設(shè)? ?na是任意等比數(shù)列，它的前 n 項和， 前 2 n 項和與前 3 n 項和分別為 ,X Y Z ，則下列等式中恒成立的是 ( ) A . 2X Y Z?? B . ( ) ( )Y Y X Z Z X? ? ? C . 2Y X Z? D . ( ) ( )Y Y X X Z X? ? ? 例 3. (2022 安徽理數(shù) ) 設(shè)? ?na是任意等比數(shù)列，它的前 n 項和， 前 2 n 項和與前 3 n 項和分別為 ,X Y Z ，則下列等式中恒成立的是 ( ) A . 2X Y Z?? B . ( ) ( )Y Y X Z Z X? ? ? C . 2Y X Z? D . ( ) ( )Y Y X X Z X? ? ? 【解析】依題 取等比數(shù)列 1 ， 2 ， 4 ，令 1n ? 得 1X ? ， 3Y ? ， 7Z ? 代入驗算，只有選項 D 滿足 . 故選 D . D【 感悟 】 用一般方法解答計算量較大，用等比中項（整體思想） 求解計算量適中 . 由于此題除最特殊不為 0 的 常數(shù)列外，其他的 等比數(shù)量均成立，故取 1n ? ， 特殊的等比數(shù)列 1 ， 2 ， 4 求解 . 例 3. (2022 安徽理數(shù) ) 設(shè)? ?na是任意等比數(shù)列，它的前 n 項和， 前 2 n 項和與前 3 n 項和分別為 ,X Y Z ，則下列等式中恒成立的是 ( ) A . 2X Y Z?? B . ( ) ( )Y Y X Z Z X? ? ? C . 2Y X Z? D . ( ) ( )Y Y X X Z X? ? ? D直接法： 依題得,X Y X Z Y??成 等比數(shù)列， 則2( ) ( )Y X X Z Y? ? ?. 整理得 ( ) ( )Y Y X X Z X? ? ?. 例 4. （ 2022 重慶文數(shù)） 如題圖，圖中的實線是由三段圓弧 連接而成的一條封閉曲線 C ，各段弧所在的圓經(jīng)過同一點(diǎn) P （點(diǎn) P 不在 C 上）且半徑相等 . 設(shè)第 i 段弧所對的圓心角為 ( 1 , 2 , 3 )iai ? ， 則 2 3 2 311c o s c o s s in s in3 3 3 3? ? ? ??? ?? ??_____ . Pα 3α 2α 1 P【解析】本題為定值問題， 故可取特殊圖求解， 由圖 得1 2 34 π3? ? ?? ? ?. 因為2 3 2 3 1 2 311c o s c o s s in s in c o s3 3 3 3 3? ? ? ? ? ? ??? ? ? ? ???， 所以1 2 3 1c o s32? ? ??? ??. 答案： 12? 12?例 5. （ 2022 湖北文數(shù)）已知橢圓 2 2:12xCy ??的兩焦點(diǎn)為12,FF， 點(diǎn)00( , )P x y滿足 2 20001 2x y? ? ? ，則 12P F P F? 的取值范圍為 ____ ， 直線 00 12xx yy??與橢圓 C 的公共點(diǎn)個數(shù) _____. 【解析】依題意知，點(diǎn) P 在橢圓內(nèi)部 . 畫出圖形，由數(shù)形結(jié)合可得， 當(dāng) P 在原點(diǎn)處時12 2PF PF??，當(dāng) P 在橢圓頂點(diǎn)處時， 取到12 22P F P F??. 故范圍為 [ 2 , 2 2 ) . 答案 ： [ 2 , 2 2 ) [2,2 2)例 5. （ 2022 湖北文數(shù)）已知橢圓 2 2:12xCy ??的兩焦點(diǎn)為12,FF， 點(diǎn)00( , )P x y滿足 2 20001 2x y? ? ? ，則 12P F P F? 的取值范圍為 ____ ， 直線 00 12xx yy??與橢圓 C 的公共點(diǎn)個數(shù) _____. [2,2 2)因為00( , )P x y在橢圓 22:12xCy ?? 的內(nèi)部，故取特殊點(diǎn) 2 ( 1 , 0 )F 則直線方程為：12x ?， 即 2x ? ， 顯然此直線與橢圓沒有交點(diǎn)， 故交點(diǎn)數(shù)為 0 個 . 答案： 0 0答案： 1 [ 注意 ] 本題中的△ ABC 不能取成等邊三角形，否則有 0O A O B O C? ? ?， 0OH ? ，此時 m 取任意實數(shù)，值不唯一解 . HOCBA例 6. （ 2022 年全國高考卷）△ ABC 的外接圓的圓心為 O ，兩條 邊 上的高的交點(diǎn)為 H ， ()O H m O A O B O C? ? ?， 則實數(shù) m 的值是 . 【解析】 由于本題對任意三角形結(jié)論成立， 故可取特殊的等腰 直角三角形 ABC 求解， 設(shè) π2BAC??, AB AC? ， 則 H 與 A 重合 , O 是 BC 邊的中點(diǎn) , 此時 0OB OC?? , 所以 OH mO A? , 所以 1m ? . 1例 7. 過橢圓 22:143xyC ??的焦點(diǎn) F 作直線 l 交橢圓 C 于,PQ兩點(diǎn) . 若,F P p F Q q??, 則11pq??（ ） A . 3 B . 32 C .43 D .54 yxOQPQP F2F 1【 解析 】 依題得11pq??值與直線 l 的位置無關(guān)， 故取直線為 x 軸，由圖得 : 3 , 1F P p F Q q? ? ? ?， 所以1 1 1 4133pq? ? ? ?. 故選 C . C例 8 . 已知函數(shù)()fx的圖像如圖所示，()fx?是()fx的導(dǎo)函數(shù)，則下 列排序正確的是 ( ) A . 0 ( ) ( 1 ) ( 1 。 當(dāng) 10m ? 時，直線與圓相離，排除 D ， 估算， 省去了很多推導(dǎo)過程和比較復(fù)雜的計算，節(jié)省了時間，從而顯得快捷。2f x O A O B? ? ? ? 當(dāng) 點(diǎn) A 在2A處時，,O A O B??最大值為2 π3， m i n1( ) c o s ,2f x O A O B? ? ? ? ?. 故選 C . C例 7 . （ 2022 浙江 高考） 已知,ab平面內(nèi)兩個 互相垂直的 單位向量 . 若向量 c 滿足 ( ) ( ) 0a c b c? ? ? ?， 則c的最大值 是（ ） A. 1 B. 2 C. 2 D. 22 b ca cccba【解析】 數(shù)形轉(zhuǎn)化 1 ： 由( ) ( ) 0a c b c? ? ? ?， 得( ) ( )a c b c? ? ?. 又 ab? ，則,ab，,a c b c?? 構(gòu)成的四邊形是圓內(nèi)接四邊形，且 c 恰好是四邊形的對角線， 當(dāng) c 為直徑時，c取得最大值，此時圓內(nèi)接四邊形是以,ab為 相鄰兩邊的 正方形，所以m a x( ) 2c ?， 故選 C . C例 7 . （ 2022 浙江 高考） 已知 ,ab 平面內(nèi)兩個 互相垂直的 單位向量 . 若向量 c 滿足 ( ) ( ) 0a c b c? ? ? ?， 則c的最大值 是（ ） A. 1 B. 2 C. 2 D. 22 Cc( 1 ,1)(12,12)Oyx【解析】 數(shù)形轉(zhuǎn)化 2 ： 設(shè)( 1 , 0) , ( 0 , 1 ) , ( , )a b c x y? ? ?. 由( ) ( ) 0a c b c? ? ? ?得( 1 ) ( ) ( ) ( 1 ) 0x x y y? ? ? ? ? ? ? 即221 1 1( ) ( )2 2 2xy ? ? ? ?. 所以 c 的起點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)， 終點(diǎn)在以11( , )22為圓心，22為半徑的圓上， 故m a x2c ?. 例 8 . 過點(diǎn) ( 1 , 0 )A 斜率為 2 的直線與圓 22 4xy ?? 相交于 ,EF 兩點(diǎn) , 則 A E A F? ( ) A. 2 B. 2? C. 3 D. 3? HG 1 22FEAyO x【解析】 由相交弦定理得： 3 1 3A E A F A G A H? ? ? ? ? ? ? ?. 故選 D . D例 9 . 已知函數(shù)213( ) 2() 24l og 2.x xfxxx????? ?? ??? ， 0若函數(shù) ( ) ( )g x f x k?? . 有兩個不同的零點(diǎn)，則實數(shù) k 的取值范圍是 . 341Oyx【解析】 數(shù)形結(jié)合 : 由圖得 , k 的取值范圍是 3( , 1 )4 . 答案： 3( , 1 )4 3( ,1)4例 9 . （ 2022 湖北理數(shù)）若直線y x b??與曲線 234y x x? ? ? 有公共點(diǎn)，則 b 的取值范圍是 ( ) A. [ 1 , 1 2 2 ]?? B. [ 1 2 2 , 1 2 2 ]?? C.