【正文】 ，則 ab ? 的最小值是 ( ) A . 22? B . 533? C . 3? D . 72? C整體 換元 ： t a b?? ，則 t 的最值 當(dāng) 直線 t a b?? 與橢圓 22163ab??相切時(shí)取得，將 a b t?? 代入 22 26ab ?? 整 理 得 223 2 6 0b t b t? ? ? ?，由224 4 3 ( 6) 0tt ? ? ? ?解得 3t ?? . 例 4 . （ 2022 重慶高考）已知函數(shù) 13y x x? ? ? ? 的最大值為 M , 最小值為 m ，則 mM的值為（ ） A . 14 B . 12 C . 22 D . 32 【解析】 1. 三角換元法： 設(shè)1 , 3xx?? ? ? ? ?， 平方和得22 4( 0 , 0)? ? ? ?? ? ? ?. 令π2 c o s , 2 s in ( 0 )2? ? ? ? ?? ? ? ?， 則π2 2 si n ( ) ( 0 )42?? ? ? ?? ? ? ? ?. 當(dāng) 0? ? 或π2? ?時(shí)，m i n( ) 2?? ??； 當(dāng) π4? ?時(shí)，m a x( ) 2 2?? ??. 所以 22mM ?. 故選 C . C例 4 . （ 2022 重慶高考）已知函數(shù) 13y x x? ? ? ? 的最大值為 M , 最小值為 m ，則 mM的值為（ ） A . 14 B . 12 C . 22 D . 32 C【解析】 2 . 整體換元 ： 設(shè)1 , 3xx?? ? ? ? ?，平方和得22 4( 0 , 0)? ? ? ?? ? ? ?. 令t ????，則 t 的幾何意義為：直線t ????與圓的部分 22 4( 0 2 , 0 2)? ? ? ?? ? ? ? ? ?有公共點(diǎn)時(shí)，直線t ???? 在?軸上的取值范圍，由圖易得：m in m a x2 , 2 2tt ??. 例 4 . （ 2022 重慶高考）已知函數(shù) 13y x x? ? ? ? 的最大值為 M , 最小值為 m ，則 mM的值為（ ） A . 14 B . 12 C . 22 D . 32 C【解析】 由13y x x? ? ? ?平方得： 2 1 3 2 ( 1 ) ( 3 ) 4 2 ( 1 ) ( 3 )y x x x x x x? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?. 顯然當(dāng) 1x ? 或 3x ?? 時(shí)， 2m ? ； 當(dāng) 1x ?? 時(shí) 22M ? . 所以 22mM?. 故選 C. 3 . 直接 法： 三角換元： 應(yīng)用于去根號(hào)，或者變換為三角形式易求時(shí)，主要利用已知代數(shù)式中與三角知識(shí)中有某點(diǎn)聯(lián)系進(jìn)行換元。 當(dāng) 10m ? 時(shí)，直線與圓相離，排除 D ， 估算， 省去了很多推導(dǎo)過程和比較復(fù)雜的計(jì)算，節(jié)省了時(shí)間，從而顯得快捷。2f x O A O B? ? ? ? 當(dāng) 點(diǎn) A 在2A處時(shí)，,O A O B??最大值為2 π3， m i n1( ) c o s ,2f x O A O B? ? ? ? ?. 故選 C . C例 7 . （ 2022 浙江 高考） 已知,ab平面內(nèi)兩個(gè) 互相垂直的 單位向量 . 若向量 c 滿足 ( ) ( ) 0a c b c? ? ? ?， 則c的最大值 是（ ） A. 1 B. 2 C. 2 D. 22 b ca cccba【解析】 數(shù)形轉(zhuǎn)化 1 ： 由( ) ( ) 0a c b c? ? ? ?， 得( ) ( )a c b c? ? ?. 又 ab? ，則,ab，,a c b c?? 構(gòu)成的四邊形是圓內(nèi)接四邊形，且 c 恰好是四邊形的對(duì)角線， 當(dāng) c 為直徑時(shí)，c取得最大值，此時(shí)圓內(nèi)接四邊形是以,ab為 相鄰兩邊的 正方形，所以m a x( ) 2c ?， 故選 C . C例 7 . （ 2022 浙江 高考） 已知 ,ab 平面內(nèi)兩個(gè) 互相垂直的 單位向量 . 若向量 c 滿足 ( ) ( ) 0a c b c? ? ? ?， 則c的最大值 是（ ） A. 1 B. 2 C. 2 D. 22 Cc( 1 ,1)(12,12)Oyx【解析】 數(shù)形轉(zhuǎn)化 2 ： 設(shè)( 1 , 0) , ( 0 , 1 ) , ( , )a b c x y? ? ?. 由( ) ( ) 0a c b c? ? ? ?得( 1 ) ( ) ( ) ( 1 ) 0x x y y? ? ? ? ? ? ? 即221 1 1( ) ( )2 2 2xy ? ? ? ?. 所以 c 的起點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)， 終點(diǎn)在以11( , )22為圓心，22為半徑的圓上， 故m a x2c ?. 例 8 . 過點(diǎn) ( 1 , 0 )A 斜率為 2 的直線與圓 22 4xy ?? 相交于 ,EF 兩點(diǎn) , 則 A E A F? ( ) A. 2 B. 2? C. 3 D. 3? HG 1 22FEAyO x【解析】 由相交弦定理得： 3 1 3A E A F A G A H? ? ? ? ? ? ? ?. 故選 D . D例 9 . 已知函數(shù)213( ) 2() 24l og 2.x xfxxx????? ?? ??? ， 0若函數(shù) ( ) ( )g x f x k?? . 有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，則實(shí)數(shù) k 的取值范圍是 . 341Oyx【解析】 數(shù)形結(jié)合 : 由圖得 , k 的取值范圍是 3( , 1 )4 . 答案： 3( , 1 )4 3( ,1)4例 9 . （ 2022 湖北理數(shù)）若直線y x b??與曲線 234y x x? ? ? 有公共點(diǎn)，則 b 的取值范圍是 ( ) A. [ 1 , 1 2 2 ]?? B. [ 1 2 2 , 1 2 2 ]?? C. [ 1 2 2 , 3 ]? D. [ 3 , 1 2 2 ]? Oyx( 0 ,3) ( 2 ,3)【解析】曲線方程可化簡(jiǎn)為22( 2 ) ( 3 ) 4 ( 1 3 )x y y? ? ? ? ? ?， 即表示圓心為( 2 , 3 )半徑為 2 的半圓，依據(jù)數(shù)形結(jié)合，當(dāng)直 線y x b??與此半圓相切時(shí)須滿足圓心( 2 , 3 )到直線y x b?? 距離等于 2 ，解得 1 2 2b ?? 或 1 2 2b ?? ，因?yàn)槭窍掳雸A故 可得 1 2 2b ?? （舍），當(dāng)直線過( 0 , 3 )時(shí)，解得3b ?， 所以 1 2 2 3b? ? ? ， 故選 C . C五 .配湊方法 數(shù)學(xué)思想方法是解答數(shù)學(xué)問題的核心，我們研究的是數(shù)學(xué)思想方法中的一種 ——配湊法 .配湊法是從整體來考察，通過適當(dāng)?shù)呐錅悾箚栴}明了化、簡(jiǎn)單化，猶如化學(xué)反應(yīng)中的催化劑，加快了化學(xué)反應(yīng)的速度，而本身沒有發(fā)生任何變化，從而比較容易解決問題的方法，常見的配湊方法有：裂項(xiàng)法、配角法、配方法、常量代換法等 . 例 1 . （ 2022 全國(guó)卷 1 理數(shù)） 復(fù)數(shù) 3223ii? ??( ) （ A ） i （ B ） i? （ C ） 1 2 1 3 i? （ D ） 1 2 1 3 i? 【 解析 】 因?yàn)?3 2 ( 3 2 ) ( 3 2 )2 3 ( 2 3 ) 3 2i i i i i ii i i i? ? ????? ? ?. 故選 A . A例 2 ． （ 2022 四川文數(shù)） 設(shè) 0ab ?? ， 則2 11()aa b a a b??? 的最小值是 ( ) （ A ） 1 （ B ） 2 （ C ） 3 （ D ） 4 【 解析 】2 11()aa b a a b???2 11()a a b a ba b a a b? ? ? ? ?? 11()()a a b a ba a b a b? ? ? ? ??2 2 4? ? ? 當(dāng)且僅當(dāng)1ab ?,( ) 1a a b??時(shí)等號(hào)成立 . 如取 2a ? ,22a ?滿足條件 . 故選 D . D例 3 . （ 2022 高考新課標(biāo) ）設(shè)函數(shù) 22( 1 ) s in() 1xxfx x??? ? 的最大值為 M ，最小值為 m ，則 Mm ? = . 【 解析 】2222( 1 ) s in 1 2 s in()11x x x x xfxxx? ? ? ? ????? 22 sin11xxx????. 令22 sin()1xxgxx???， 則()gx為奇函數(shù)，對(duì)于一個(gè)奇函數(shù)來說，其最大值 與最小值之和為 0 ，即m a x m in( ) ( ) 0g x g x??， 而m a x m a x( ) 1 ( )f x g x??，m in m in( ) 1 ( )f x g x??， 所以m a x m in( ) ( ) 2f x f x??. 答案： 2 2例 4 ． （ 2022 高考江蘇）設(shè) ? 為銳角，若 π 4c os ( )65? ??， 則 πsin ( 2 )12? ?的值為 ． 【解析】因?yàn)?? 為銳角，即 π02???，所以 π π 2 π6 6 3?? ? ?. 因?yàn)?π 4c os ( )65? ??，所以 π 3sin( )65? ??. 所以 π π π 3 4 2 4s in ( 2 ) 2 s in ( ) c o s ( ) 23 6 6 5 5 2 5? ? ?? ? ? ? ? ? ? ?. 所以 π 7c o s ( 2 )3 2 5? ??. 所以 π π πs in ( 2 ) s in [ ( 2 ) ]1 2 3 4?? ? ? ? ? π π π πs in ( 2 ) c o s c o s ( 2 ) s in3 4 3 4??? ? ? ? 2 4 2 7 22 5 2 2 5 2? ? ? ? 17 250?. 答案： 17 250 17250【解析】21 1 1 31 1 1 12 1 2 2 2? ? ? ? ? ? ??. 221 1 1 1 1 51 1 22 3 1 . 2 2 . 3 3 3? ? ? ? ? ? ? ?. 2 2 21 1 1 1 7122 3 4 4 4? ? ? ? ? ? …… 221 1 1 2 1122 ( 1 ) 1 1nn n n?? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ?. 答案：221 1 2 11 2 ( 1 ) 1nnn ?? ? ? ? ? ? ? ??? 221 1 2 112 ( 1 ) 1nnn?? ? ??? ? ? ???213122?? 221 1 512 3 3? ? ? 2 2 21 1 1 712 3 4 4? ? ? ? …… 照此規(guī)律， 第．n個(gè)．不等式為 . 【解析】1 1 79 2aaa ?? , 1 1 79 2bbb ?? 1 17 1 179 171 17 1 179 171 7 ( )2 1 7 3 3 7221 7 ( ) 3 1 7 1 5 022a a a aaSb b b bbT????? ? ? ? ? ??? ??. 例 6 ． 已知兩個(gè)等差數(shù)列 ? ?na與 ? ?nb