【正文】 即 OP⊥ PC， ∴ CP 是 ⊙ O 的切線． 【點評】 本題考查的是切線的判定定理、等腰三角形的性質(zhì)、圓周角定理及相似三角形的判定與性質(zhì)，在判定圓的切線時構(gòu)造直角三角形，再利用直角三角形的性質(zhì)去證明過圓心的直線與切線垂直． 24．等腰直角 △ ABC 和 ⊙ O 如圖放置，已知 AB=BC=1， ∠ ABC=90176。 ∴ PO∥ CH 在 Rt△ AHC 中， ∵ ∠ HAC=30176。 ∴ = ， 又 ∵ = = ， ∴ = ， ∴ = ， 又 ∵∠ AGO=∠ CGP ∴△ AOG∽△ CPG， ∴∠ GPC=∠ AOG=90176。； （ 3）證明：證法一： ∵ 設(shè) OP 交 AC 于點 G，則 ∠ AOG=∠ BOP=90176。 ∵ OB=OP， ∴∠ OBP=∠ OPB=45176。﹣ 30176。 ∵ BP∥ DE， ∴∠ PBC=∠ EDC=30176。﹣ 75176。 ∴∠ EDC=180176。） =75176。 ∴∠ DCE=∠ ABC= （ 180176。故可得出 CP 是 ⊙ O 的切線． 【解答】 （ 1）解： BD=DC． 連接 AD，如圖 1， ∵ AB 是直徑， ∴∠ ADB=90176。在 Rt△ AOG 中，由 ∠ OAG=30176。； （ 3）設(shè) OP 交 AC 于點 G，由 ∠ BOP=90176。由三角形內(nèi)角和定理得出 ∠ EDC 的度數(shù)，再根據(jù) BP∥ DE 可知 ∠ PBC=∠ EDC=30176。再由 AB=AC 可知 △ ABC 是等腰三角形，故 BD=DC； （ 2）由于 AD 是等腰三角形 ABC 底邊上的中線，所以 ∠ BAD=∠ CAD，故 = ，進(jìn)而可得出 BD=DE，故 BD=DE=DC， 所以 ∠ DEC=∠ DCE， △ ABC 中由等腰三 角形的性質(zhì)可得出 ∠ ABC=75176。 ∴ OH= OE， ∴ OH＞ OA， ∴ 直線 EF 與 ⊙ O 相離． 【 點評】 本題考查了切線的判定：經(jīng)過半徑的外端且垂直于這條半徑的直線是圓的切線．要證某線是圓的切線，已知此線過圓上某點，連接圓心與這點（即為半徑），再證垂直即可．也考查了等腰直角三角形的性質(zhì)和直線與圓的位置關(guān)系． 23．如圖，在 △ ABC 中， AB=AC， ∠ A=30176。 ∴∠ AEC≤ 30176。 ∴ 60176。 ∴△ ABE 是等腰直角三角形 （ 2）解：直線 EF 與 ⊙ O 相離．理由如下： ∵∠ DCB＜ 90176?！堋?DCE＜ 90176。于是可判斷 △ ABE 是等腰直角三角形 （ 2）由于 ∠ ACD=∠ ABC， ∠ ACE≥ 30176。當(dāng) ∠ ACE≥ 30176。 ∠ DCB＜ 90176。 ∴ BH= BD， 同理可得 CN= OC， ∴ BE+CF= OB+ OC= BC， ∵ BD=OB?cos30176。 ∵∠ EDF=120176。 ∴ AB⊥ OB， ∴ AB 是 ⊙ O 的切線； （ 2）解： BE+CF 的值是為定值． 作 DH⊥ AB 于 H， DN⊥ AC 于 N，連結(jié) AD，如圖 2， ∵△ ABC 為正三角形， D 為 BC 的中點， ∴ AD 平分 ∠ BAC， ∠ BAC=60176。+30176。 ∵△ ABC 為正三角形， ∴∠ ABC=60176。 ∵∠ BMC= ∠ BOC， ∴∠ BOD=∠ M=60176。由于 ∠ EDF=120176。于是根據(jù)切線的判定定理得 AB 是 ⊙ O 的切線； （ 2）作 DM⊥ AB 于 M， DN⊥ AC 于 N，連結(jié) AD，如圖 2，根據(jù)等邊三角形三角形的性質(zhì)得 AD 平分 ∠ BAC， ∠ BAC=60176。則 ∠ OBD=30176。． （ 1）求證： AB 是 ⊙ O 的切線； （ 2）若 E， F 分別是邊 AB， AC 上的兩個動點，且 ∠ EDF=120176。= x； ∵ AB=AC， AD⊥ BC， ∴ BD=CD= BC=2， ∴ DP=2﹣ x， ∴ y= PD?QN= （ 2﹣ x） ? x=﹣ x2+ x； （ 3）當(dāng) 0＜ x＜ 2 時，在 Rt△ QNC 中， QC=2x， ∠ C=60176。 ∴ PC=2CQ， ∴ 4﹣ x=2 2x， ∴ x= ； （ 2） y=﹣ x2+ x， 如圖，當(dāng) 0＜ x＜ 2 時， P 在 BD 上， Q 在 AC 上，過點 Q 作 QN⊥ BC 于 N； ∵∠ C=60176。角的性質(zhì)及等腰三角形和矩形的有關(guān)性質(zhì)，關(guān)鍵是找出恰當(dāng)?shù)牡攘筷P(guān)系式： AC=AB，設(shè)未知數(shù)，列關(guān)于 x 的一元一次方程得出結(jié)論． 20．如圖，在 △ ABC 中，已知 AB=BC=CA=4cm， AD⊥ BC 于 D，點 P、 Q 分別從 B、 C 兩點同時出發(fā)，其中點 P 沿 BC 向終點 C 運(yùn)動，速度為 1cm/s；點 Q 沿 CA、 AB 向終點 B 運(yùn)動，速度為 2cm/s，設(shè)它們運(yùn)動的時間為 x（ s）． （ 1）求 x 為何值時， PQ⊥ AC； （ 2）設(shè) △ PQD 的面積為 y（ cm2），當(dāng) 0＜ x＜ 2 時，求 y 與 x 的函數(shù)關(guān)系式； （ 3）當(dāng) 0＜ x＜ 2 時，求證： AD 平分 △ PQD 的面積； （ 4）探索以 PQ 為直徑的圓與 AC 的位置關(guān)系，請寫出相應(yīng)位置關(guān)系的 x 的取值范圍（不要求寫出過程）． 【分析】 （ 1）若使 PQ⊥ AC，則根據(jù)路程 =速度 時間表示出 CP 和 CQ 的長，再根據(jù) 30度的直角三角形的性質(zhì) 列方程求解； （ 2）首先畫出符合題意的圖形，再根據(jù)路程 =速度 時間表示出 BP， CQ 的長，根據(jù)等邊三角形的三線合一求得 PD 的長，根據(jù) 30 度的直角三角形的性質(zhì)求得 PD 邊上的高，再根據(jù)面積公式進(jìn)行求解； （ 3）根據(jù)三角形的面積公式，要證明 AD 平分 △ PQD 的面積，只需證明 O 是 PQ 的中點．根據(jù)題意可以證明 BP=CN，則 PD=DN，再根據(jù)平行線等分線段定理即可證明； （ 4）根據(jù)（ 1）中求得的值即可分情況進(jìn)行討論． 【解答】 解：（ 1）當(dāng) Q 在 AB 上時，顯然 PQ 不垂直于 AC， 當(dāng) Q 在 AC 上時，由題意得， BP=x， CQ=2x， PC=4﹣ x； ∵ AB=BC=CA=4， ∴∠ C=60176。 cos30= ， OF= =2247。=30176。﹣ 75176。 CD=2﹣ ，求 ⊙ O 的半徑和BF 的長． 【分析】 （ 1）連接 OE，根據(jù)切線性質(zhì)得 OE⊥ DE，與已知中的 ED⊥ AC 得平行，由此得∠ 1=∠ C，再根據(jù)同圓的半徑相等得 ∠ 1=∠ B，可得出三角形為等腰三角形； （ 2）通過作輔助線構(gòu)建矩形 OGDE，再設(shè)與半徑有關(guān)系的邊 OG=x，通過 AB=AC 列等量關(guān)系式，可求得結(jié)論． 【解答】 解：（ 1） △ ABC 是等腰三角形，理由是： 如圖 1，連接 OE， ∵ DE 是 ⊙ O 的切線， ∴ OE⊥ DE， ∵ ED⊥ AC， ∴ AC∥ OE， ∴∠ 1=∠ C， ∵ OB=OE， ∴∠ 1=∠ B， ∴∠ B=∠ C， ∴△ ABC 是等腰三角形； （ 2）如圖 2，過點 O 作 OG⊥ AC，垂足為 G，則得四邊形 OGDE 是矩形， ∵△ ABC 是等腰三角形， ∴∠ B=∠ C=75176。． 【點評】 本題考查了矩形的性質(zhì)，各內(nèi)角為 90176。﹣ 90176。﹣ ∠ AOC﹣ ∠ CAO=180176。． 又 ∠ AOC=2∠ ABD=50176。 ∴∠ CAD=∠ BAG． 【點評】 此題運(yùn)用了切線的性質(zhì)定理、圓周角定理的推論．注意根據(jù)等角的余角相等是證明角相等的一種常用方法 ． 18．完成下列各題： （ 1）如圖，在矩形 ABCD 中， AF=BE，求證： DE=CF； （ 2）如圖， AB 是 ⊙ O 的直徑， CA 與 ⊙ O 相切于點 A，連接 CO 交 ⊙ O 于點 D， CO 的延長線交 ⊙ O 于點 E，連接 BE， BD， ∠ ABD=25176。． ∴∠ ACD=∠ ABG． ∵ AB 是 ⊙ O 的直徑， ∴∠ BAG+∠ ABG=90176。即可；注意利用特殊的三角形和三角函數(shù)來求得相應(yīng)的線段長． 17．如圖一， AB 是 ⊙ O 的直徑， AC 是弦，直線 EF 和 ⊙ O 相切于點 C， AD⊥ EF，垂足為D． （ 1）求證： ∠ CAD=∠ BAC； （ 2）如圖二，若把直線 EF 向上移動，使得 EF 與 ⊙ O 相交于 G， C 兩點（點 C 在點 G 的右側(cè)），連接 AC， AG，若題中其他條件不變，這時圖中是否存在與 ∠ CAD 相等的角？若存在，找出一個這樣的角，并證明；若不存在，說明理由． 【分析】 （ 1）連接 OC，根據(jù)切線的性質(zhì)定理以及等角的余角相等即可證明； （ 2）構(gòu)造直徑所對的圓周角，根據(jù)等弧所對的圓周角相等以及等角的余角相等，發(fā)現(xiàn) ∠BAC=∠ GAD，再根據(jù)等式的性質(zhì)即可證明 ∠ BAG=∠ DAC． 【解答】 （ 1）證明：如圖一，連接 OC，則 OC⊥ EF，且 OC=OA， 易得 ∠ OCA=∠ OAC． ∵ AD⊥ EF， ∴ OC∥ AD． ∴∠ OCA=∠ CAD， ∴∠ CAD=∠ OAC． 即 ∠ CAD=∠ BAC． （ 2）解：與 ∠ CAD 相等的角是 ∠ BAG． 證明如下： 如圖二，連接 BG． ∵ 四邊形 ACGB 是 ⊙ O 的內(nèi)接四邊形， ∴∠ ABG+∠ ACG=180176。 ∴ FG=AFsin60176。 ∴ CF= CD= 6=3， ∴ AF=AC﹣ CF=12﹣ 3=9， ∵ FG⊥ AB， ∴∠ FGA=90176。 ∴ BD=OB=OD=6， ∴ CD=BC﹣ BD=AB﹣ BD=12﹣ 6=6， ∵ 在 Rt△ CFD 中， ∠ C=60176。 ∴ OD∥ AC， ∵ DF⊥ AC， ∴∠ CFD=∠ ODF=90176。的直角三角形可求得 AF 長，同理可利用 △ FHC 中的 60176。 ∴ CD 是 ⊙ P 的切線． 【點評】 本題考查了切線的判定，垂徑定理，勾股定理，全等三角形的判定與性質(zhì)等知識點．要證某線是圓的切線，已知此線過圓上某點，連接圓心與這點（即為半徑），再證垂直即可． 16．已知等邊三角形 ABC， AB=12，以 AB 為直徑的半圓與 BC 邊交于點 D，過點 D 作 DF⊥ AC，垂足為 F，過點 F 作 FG⊥ AB，垂足為 G，連接 GD， （ 1）求證： DF 與 ⊙ O 的位置關(guān)系并證明； （ 2）求 FG 的長． 【分析】 （ 1）連接 OD，證 ∠ ODF=90176。 ∴∠ DCA+∠ ACB=90176。． 在 Rt△ ABC 中， ∵∠ CAB=90176。．解 Rt△ ABC，得出AC= =2，由垂徑定理得出 OB=OA=2，根據(jù)三角形中位線定理得出 OP= AC=1，從而求出點 B、 P、 C 的坐標(biāo)； （ 2）將 C（﹣ 2， 2）代入 y=2x+b，利用待定系數(shù)法求出過點 C 的直線解析式為 y=2x+6，得到 D（﹣ 3， 0）， AD=1．再利用 SAS 證明 △ ADC≌△ OPB，得出 ∠ DCA=∠ B，然后證明 ∠ BCD=90176。=∠ OHE， ∵∠ OEH=∠ FEA， ∴△ OHE∽△ FAE， ∴ = 即 = ， ∴ EF= ， ∵ CE?ED=BE?AE， ∴ 6k?5k=3a?2a， ∴ a2=5k2， ∴ EF=10k， ∴ 點 D 是 EF 中點， ∴ AD=ED=DF=5k， ∴△ DEA、 △ BCE 都是等腰三角形， ∴ BC=BE=3a， ∵ AB 是直徑， ∴∠ ACB=90176。 ∴∠ CDP=∠ A+∠ APD=45176。 ∴∠ COP+∠ OPC=90176。． （ 2） ∠ CDP 的大小不發(fā)生變化． ∵ PC 是 ⊙ O 的切線， ∴∠ OCP=90176。 ∵ PD 平分 ∠ APC， ∴∠ APD=15176。 ∴∠ COP=60176。．所以 ∠ CDP 的大小不發(fā)生變化． 【解答】 解：（ 1）連接 OC， ∵ PC 是 ⊙ O 的切線， ∴ OC⊥ PC ∴∠ OCP=90176。則 ∠ COP+∠ OPC=90176。． （ 2）由 PC 是 ⊙ O 的切線，得 ∠ OCP=90176。根據(jù) ∠ CPA=30176。 ∴ OD⊥ CD， ∵ OD 是 ⊙ O 半徑， ∴ CD 是 ⊙ O 的切線 （ 2）解： ∵∠ C=∠ C， ∠ CDA=∠ CBD ∴△ CDA∽△ CBD ∴ ∵ ， BC=6， ∴ CD=4， ∵ CE， BE 是 ⊙ O 的切線 ∴ BE=DE， BE⊥ BC ∴ BE2+BC2=EC2，即 BE2+62=（ 4+BE） 2 解得： BE= ． 【點評】 本題考查了切線的判定與性質(zhì)：過半徑的外端點與半徑垂直的直線是圓的切線；也考查了圓