【正文】 ∴ PD2=BP2+BD2=BP2+CQ2， ∵ PM 垂直平分 DQ， ∴ PQ=PD， ∴ PQ2=BP2+CQ2． 【點評】本題考查了相似三角形的判定與性質，以及勾股定理的綜合應用，解題的關鍵是熟練掌握垂直的定義、直角三角形中的兩個銳角互余，相似三角形的判定與性質，平行四邊形的性質，勾股定理，線段垂直平分線的性質等知識點，綜合性較強，難度較大． 。（直角三角形的兩個銳角互余）， 第 25 頁（共 25 頁） ∴∠ PBM=∠ QNM（等量代換）． ∴△ PBM∽△ QNM； （ 2） PQ2=BP2+CQ2． 證明如下：如圖 1，延長 QM 至點 D，使 MD=MQ．連接 PD、 BD， BQ， CD ∵ BC、 DQ 互相平分， ∴ 四邊形 BDCQ 為平行四邊形， ∴ BD∥ CQ， BD=CQ（平行四邊形的對邊平行且相等）； 又 ∵∠ BAC=90176。 ∴∠ PMB=∠ QMN（等量代換）． ∵∠ PBM+∠ C=90176。 AB＜ AC， M 是 BC 邊的中點， MN⊥ BC 交 AC 于點 N．動點 P 從點 B 出發(fā)沿射線 BA 以每秒 厘米的速度運動．同時，動點 Q 從點 N 出發(fā)沿射線 NC 運動，且始終保持 MQ⊥ MP設運動時間為 t 秒（ t＞ 0）． （ 1） △ PBM 與 △ QNM 相似嗎？以圖 1 為例說明理由； （ 2）探求 BP2， PQ2， CQ2 三者之間的數(shù)量關系，以圖 1 為例說明理由． 【考點】相似三角形的判定與性質；勾股定理． 【分析】（ 1）通過垂直的定義、直角三角形中的 兩個銳角互余以及等量代換，可以證得 △ PBM 與 △ QNM中的兩個角對應相等，所以這兩個三角形一定相似； （ 2） PQ2=BP2+CQ2．作輔助線延長 QM 至點 D，使 MD=MQ．連接 PD、 BD 構建平行四邊形 BDCQ．根據(jù)平行四邊形的對邊平行且相等推知 BD∥ CQ， BD=CQ；然后在直角三角形 BPD 中利用勾股定理求得PD2=BP2+BD2=BP2+CQ2；最后利用線段垂直平分線的性質知 PQ=PD，所以由等量代換證得該結論． 【解答】解：（ 1） △ PBM∽△ QNM．理由如下： 如圖 1， ∵ MQ⊥ MP， MN⊥ BC（已知）， ∴∠ PMB+∠ PMN=90176。 ∴△ ADC∽△ PAD， ∴ = ， ∴ ， 解得 PA=5， ∴ t=5． ②設 △ AQP 的邊 AP 上的高 h，則 △ QDC 的邊 DC 上的高為（ 10﹣ h）． ∵△ APQ∽△ CDQ， ∴ = = ， 解得 h= ， ∴ 10﹣ h= ， ∴ S△ APQ= = ， S△ DCQ= = ， 第 22 頁（共 25 頁） ∴ y=S△ APQ+S△ DCQ= + = （ 0≤ t≤ 20）． 探究： t=0， y=100； t=1， y≈ ； t=2， y≈ ； t=3， y≈ ； t=4， y≈ ； t=5， y=85； t=6， y≈ ； t=7， y≈ ； t=8， y≈ ； t=9， y≈ ； t=10， y≈ ； t=11， y≈ ； t=12， y=85； t=13， y≈ ； t=14， y≈ ； t=15， y≈ ； t=16， y≈ ； t=17， y≈ ； t=18， y≈ ； t=19， y≈ ； t=20， y=100； 觀察數(shù)據(jù)知： 當 0≤ t≤ 8 時， y 隨 t 的增大而減小； 當 9≤ t≤ 20 時， y 隨 t 的增大而增大； 故 y 在第 8 秒到第 9 秒之間取得最小值． 【點評】本題主要考查了三角形相似及相似圖形性質等問題，（ 2） ②是一道非常新穎的考點，它考察了考生對函數(shù)本身的理解，作為未知函數(shù)類型如何探索其變化趨勢是非常需要學生能力的．總體來說，本題是一道非常好、非常新的題目． 第 23 頁（共 25 頁） 25．如圖，在直角梯形 OABC 中， BC∥ AO， ∠ AOC=90176。 ∵∠ ADQ+∠ QDC=90176。 40=250kg．根據(jù)利潤表達式求出當利潤是 8000 時的售 價，從而計算銷售量，與進貨量比較得結論． 【解答】解：（ 1）當銷售單價定為每千克 55 元時，月銷售量為： 500﹣（ 55﹣ 50） 10=450（千克）， 所以月銷售利潤為：（ 55﹣ 40） 450=6750 元； （ 2）由于水產品不超過 10000247。 ， 解得： x1=1+ ， x2=1﹣ ． 【點評】此題考查了實數(shù)的運算，以及解一元二次方程﹣配方法，熟練掌握運算法則是解本題的關鍵． 18．先化簡，再求值： ，其中 a 滿足方程 a2+4a+1=0． 【考點】分式的化簡求值． 【專題】計算題． 【分析】把原式括號里的第二項 提取﹣ 1，然后把原式的各項分子分母都分解因式，找出括號里兩項分母的最簡公分母，利用分式的基本性質對括號里兩項進行通分，然后利用同分母分式的減法運算法則：分母不變，只把分子相減，計算出結果，然后利用分式的除法法則：除以一個數(shù)等于乘以這個數(shù)的倒數(shù)，變形為乘法運算，約分后即可把原式化為最簡分式，把 a 滿足的方程變形后，代入原式化簡后的式子中即可求出值． 【解答】解：原式 = = = 第 16 頁（共 25 頁） = = ，（ 6 分） ∵ a2+4a+1=0， ∴ a2+4a=﹣ 1， ∴ 原式 = ．（ 10 分 ） 【點評】此題考查了分式的混合運算，以及多項 式的運算．分式的化簡求值題，應先對原式的分子分母分解因式，在分式的化簡運算中，要通觀全局，弄清有哪些運算，然后觀察能否用法則，定律，分解因式及公式來簡化運算，同時注意運算的結果要化到最簡，然后再代值計算． 19．（ 10 分）（ 2022?南充）關于 x 的一元二次方程為（ m﹣ 1） x2﹣ 2mx+m+1=0． （ 1）求出方程的根； （ 2） m 為何整數(shù)時，此方程的兩個根都為正整數(shù)？ 【考點】解一元二次方程 公式法；一元二次方程的解． 【分析】（ 1）利用求根公式 x= 解方程； （ 2）利用（ 1）中 x 的值來確定 m 的值． 【解 答】解：（ 1）根據(jù)題意，得 m≠ 1． ∵ a=m﹣ 1， b=﹣ 2m， c=m+1， ∴△ =b2﹣ 4ac=（﹣ 2m） 2﹣ 4（ m﹣ 1）（ m+1） =4， 則 x1= = ， x2=1； （ 2）由（ 1）知， x1= =1+ ， ∵ 方程的兩個根都為正整數(shù)， ∴ 是正整數(shù)， ∴ m﹣ 1=1 或 m﹣ 1=2， 解得 m=2 或 3．即 m 為 2 或 3 時，此方程的兩個根都為正整數(shù)． 【點評】本題考查了公式法解一元二次方程．要會熟練運用公式法求得一元二次方程的解． 20．如圖， △ ABC 中， AD⊥ BC，垂足是 D，若 BC=14， AD=12， tan∠ BAD= ，求 sinC 的值． 第 17 頁（共 25 頁） 【考點】解直角三角形． 【專題】計算題． 【分析】根據(jù) tan∠ BAD= ，求得 BD 的長，在直角 △ ACD 中由勾股定理得 AC，然后利用正弦的定義求解． 【解答】解： ∵ 在直角 △ ABD 中， tan∠ BAD= = ， ∴ BD=AD?tan∠ BAD=12 =9， ∴ CD=BC﹣ BD=14﹣ 9=5， ∴ AC= = =13， ∴ sinC= = ． 【點評】本題考查了解直角三角形中三角函數(shù)的應用，要熟練掌握好邊