【正文】 最后，限于編者水平的限制，資料中錯誤和疏漏在所難免，希望同學們積極指出，以便互相學習改進。高等數(shù)學期末復(fù)習資料 第 1 頁（共 9 頁） 高等數(shù)學 （本科少學時類型） 第一章 函數(shù)與極限 第一節(jié) 函數(shù) ○ 函數(shù)基礎(chǔ)（高中函數(shù)部分相關(guān)知識） （ ★★★ ） ○ 鄰域 （去心鄰域） （ ★ ） ? ? ? ?,|U a x x a??? ? ? ? ? ? ?, | 0U a x x a? ? ? ? 第二節(jié) 數(shù)列的極限 ○ 數(shù)列極限的證明 （ ★ ） 【 題型 示例 】已知數(shù)列 ??nx ， 證明 ? ?limnx xa?? ? 【證明 示例 】 N?? 語言 1． 由 nxa???化簡得 ? ??gn? ， ∴ ? ?Ng?????? 2． 即對 0??? ， ? ?Ng???????，當 Nn? 時，始終有不等式 nxa???成立， ∴ ? ? axnx ???lim 第三節(jié) 函數(shù)的極限 ○ 0xx? 時 函數(shù)極 限的證明 （ ★ ） 【題型 示例 】已知函數(shù) ??xf ， 證明 ? ? Axfxx ?? 0lim 【證明 示例 】 ??? 語言 1． 由 ? ?f x A ???化簡得 ? ?00 x x g ?? ? ? ， ∴ ? ??? g? 2． 即對 0??? ， ? ??? g?? ，當 00 xx ?? ? ? 時，始終有不等式 ? ?f x A ???成立， ∴ ? ? Axfxx ?? 0lim ○ ??x 時 函數(shù)極 限的證明 （ ★ ） 【題型 示例 】已知函數(shù) ??xf ， 證明 ? ? Axfx ???lim 【證明 示例 】 X?? 語言 1． 由 ? ?f x A ???化簡得 ? ?xg?? ， ∴ ? ??gX? 2． 即對 0??? ， ? ??gX?? ，當 Xx? 時，始終有不等式 ? ?f x A ???成立， ∴ ? ? Axfx ???lim 第四節(jié) 無窮小與無窮大 ○無窮小與無窮大的本質(zhì) （ ★ ） 函數(shù) ??xf 無窮小 ? ? ? 0lim ?xf 函數(shù) ??xf 無窮大 ? ? ? ??xflim ○無窮小與無窮大的相關(guān)定理與推論 （ ★★ ） （ 定理 三 ） 假設(shè) ??xf 為 有界函數(shù)， ??xg 為 無窮小 ，則 ? ? ? ?lim 0f x g x?????? （定理四） 在自變量的某個變化過程中，若 ??xf 為無窮大，則 ? ?1fx? 為無窮?。环粗?，若 ??xf 為無窮小，且 ? ? 0fx? ，則 ??xf 1? 為無窮大 【題型 示例 】計算： ? ? ? ?0limxx f x g x? ?????（或 ??x ） 1． ∵ ? ?fx ≤ M ∴函數(shù) ? ?fx 在 0xx? 的任一去心鄰域 ? ??,0xU? 內(nèi)是有界的； （ ∵ ? ?fx ≤ M ，∴函數(shù) ? ?fx 在 Dx? 上有界 ； ） 2． ? ? 0lim0 ?? xgxx即函數(shù) ??xg 是 0xx? 時的無窮小； （ ? ? 0lim ??? xgx即函數(shù) ??xg 是 ??x 時的無窮小； ） 3． 由定理可知 ? ? ? ?0lim 0xx f x g x? ?????? （ ? ? ? ?lim 0x f x g x?? ??????） 第五節(jié) 極限運算法則 ○極限的四則運算法則 （ ★★ ） （ 定理一）加減法則 （定理二）乘除法則 關(guān)于 多項式 ??px、 ??xq 商式的極限運算 設(shè)： ? ?? ??????????????????nnnmmm bxbxbxq axaxaxp110110 則有 ? ?? ????????????0lim00baxqxpx mnmnmn??? ? ?? ?? ?? ?000lim00xxfxgxfxgx???????????? ? ?? ? ? ?? ? ? ?0000000 , 00gxg x f xg x f x????? （ 特別地，當 ? ?? ?00lim 0xxfxgx? ?（ 不定型 ）時，通常 分子分母 約去公因式 即約去可去間斷 點便 可求解出極限值 ，也可以用羅比達法則求解 ） 【題型 示例 】求值23 3lim 9x xx? ?? 高等數(shù)學期末復(fù)習資料 第 2 頁（共 9 頁） 【求解 示例 】解：因為 3?x ， 從而可得 3?x ，所以原式 ? ? ? ?23 3 33 3 1 1l im l im l im9 3 3 3 6x x xxxx x x x? ? ???? ? ? ?? ? ? ? 其中 3x? 為函數(shù) ? ?2 39xfx x ?? ?的可去間斷點 倘若 運用羅比達法則求解 （詳見第三章第二節(jié)） ： 解： ? ?? ?0023 3 3233 1 1l i m l i m l i m9 2 69x L x xxxxxx?? ? ???? ? ? ?? ?? ○連續(xù)函數(shù)穿 越 定理 （復(fù)合函數(shù)的極限求解） （ ★★ ） （定理五）若函數(shù) ??xf 是定義域上的連續(xù)函數(shù)，那么， ? ? ? ?00lim limx x x xf x f x??????????? ???? 【題型 示例 】求值：93lim 23 ??? xxx 【求解 示例 】22333 3 1 6l im l im9 9 6 6xxxx????? ? ? 第六節(jié) 極限存在準則及兩個重要極限 ○夾迫準則（ P53） （ ★★★ ） 第一個重要極限： 1sinlim0 ?? xxx ∵ ???????? 2,0 ?x， xxx tansin ?? ∴ 1sinlim0 ?? xxx 0000l im 11l im l im 1sin sinsin l im xxxxx x xx x x????? ? ??????? （特別地，000sin ( )lim 1xxxxxx?? ?? ） ○單調(diào)有界收斂準則（ P57） （ ★★★ ） 第二個重要極限： exxx ??????? ???11lim （一般地， ? ? ? ? ? ? ? ?li ml im l img x g xf x f x?? ? ? ?? ? ? ?，其中? ? 0lim ?xf ） 【題型 示例 】求值： 112 32lim??? ?????? ?? xx xx 【求解 示例 】 ? ?? ?21 1 121212 1 2 2 1 2112 2 1 22 1 2 1l im212212 3 2 1 2 2l i m l i m l i m 12 1 2 1 2 122l i m 1 l i m 12 1 2 12l i m 121x x xx x xxxx xxxxxxxxxx x xxxx? ? ?? ? ? ? ? ? ????? ?? ? ??? ? ? ? ? ??? ? ?? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ?? ? ? ? ? ???? ? ? ???? ? ? ?? ? ? ???? ? ? ??????????? ???????解 ：? ?? ?1 2l im 1212121212122l im121xxxxxxxxxee e e? ? ??????????? ? ?? ???????????????????? ? ? 第七節(jié) 無窮小量的階（ 無窮 小的比較 ） ○等價無窮小 （ ★★ ） 1． ? ?~ s in ~ ta n ~ a r c s in ~ a r c ta n ~ l n ( 1 )~1UU U U U U Ue ?? 2． UU cos1~21 2 ? （乘除可替，加減不行） 【題型 示例 】求值： ? ? ? ?xx xxxx 3 1ln1lnlim 20 ? ???? 【求解 示例 】 ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ?3131l i m31l i m31ln1l i m31ln1lnl i m,0,000020????? ???? ???????????????xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx所以原式即解：因為 第八節(jié) 函數(shù)的連續(xù)性 ○函數(shù)連續(xù)的