【正文】 ， , . 32 ? 。 。 （ 3） 0， 0. 全部是 ?H 的本征函數(shù) ；全部是 2L 的本征函數(shù) ；23321211 , dz???是 ?zL 的本證函數(shù)。（ 3） 2223()cc? ， 0. （ 1） 222 312()4 9 16ccc R? ? ? ， 21c 。 2L 有確定值， 22 2??L . （ 1） 222 312()444ccc R? ? ? ， 2221 cc? 。 y 軸 : 無確定值 , 0?yL。 04a 。 3 sin cosxpY ???。 23 sin sin 2xydY ??? 2 sin cosxpY ???。 )( 2 Rdrdrdrd + RRreErm e ??? ?? )4(2 0222? （ 1） ??????? 2s i n)(s i ns i n1 ?????dddd （ 2） ?22?dd = ??? （ 3） 其中 ??? ， 是分離變量 時引入的常數(shù)。 解： )C()C(1 EEI ?? ? ?C 組態(tài) 1s22s22p1, ?s? , RRRnZE )()()C( 2 22 21s ????????? ? ?????s? , RRE )()C( 2 22s ?????? ?????p? , RRE )()C( 2 22p ?????? )C()C(2)C(2)C( 2p2s1s ??????? ???? REEEE eV C 組態(tài) 1s22s22p2： ?s? ， RRRnZE )()()C( 2 22 21s ???????? ? ?????s? ， RRE )()C( 2 22s ????? ?????p? RRE )()C( 2 22p ????? 0 2 )C(2)C(2)C(2)C( 2p2s1s ??????? REEEE eV 0 2 0 1 5)C()C(1 ?????? ? EEI eV 寫出 Be 原子基組態(tài)的行列式波函數(shù) 。 Be 基組態(tài) 為 1s22s2 ?s? ， 2 2 ? ? ? ? ? 22E R R????? ?? ? ? ?? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ? ? ? ?? ? ?? ? ? ??? ??? R eV 求 N 原子第 1 電離能 。 解： 用變分法 得到 氦原子 的能量為 26 252 ( )16E Z R? ? ? ? 2eLi Li?????? 22 ( ) ( )I E L i E L i???? 232223( ) 91ZE Li R R Rn? ? ? ? ? ? ? 2255( ) 2 ( ) 2 ( 3 ) 1 4 . 4 51 6 1 6E Li Z R R R? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 2 9 ( 1 4 .4 5 ) 5 .4 5 7 4 .1I R R R? ? ? ? ? ? eV 由氦原子基態(tài)能量的實驗結(jié)果為 eV，求 1s 電子間的屏蔽 系 數(shù)。 3 2 123 2 12 )1(? ?? ??? lll , ??? 6)1( ??? lll 1cos 6zll? ??, ??? 求氫原子 3p 電子的總角動量 j 與 z 軸的夾角。 x iy? ， x iy? 是否是算符 ?zL 的本征函數(shù)？若是，本征值是多少？ 解： zL? )( xyyxi ??????? ? )()())(()(? iyxyixyixiiyxxyyxiiyxL z ???????????????? ????? ? ( ) ( ) ( ) ( ) ( )zL x iy i x y x iy i ix y x i y x iyyx??? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ??? 函數(shù) x iy? ， x iy? 均 是算符 ?zL 的本征函數(shù) ，其本征值分別為 和 . 321? 的電子，其角動量 l 與 z 軸的夾角。 23321211 , , dz???和 322320 ??? ?? 中哪些是 ?H 的本征函數(shù)，哪些是 2L 的本征函數(shù)，哪些是 ?zL 的本征函數(shù)。 解：（ 1） 222 2 2 2331 2 1 24 9 1 6 4 9 1 6ccc c c cE R R? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?, 能量22R?出現(xiàn)的幾率 為 21c 。 解： （ 1） 2222 2 2 3121 2 34 4 9 4 9cccRRRE c c c R?????? ? ? ? ? ? ? ??????? ?? 能量22R?出現(xiàn)的幾率 ： 2221 cc? （ 2）角動量 2 出現(xiàn)的幾率 為 2221 2 3ccc?? , 由于 ? 是歸一化的，所以 2221 2 3 1ccc? ? ? 即 角動量 2 出現(xiàn)的幾率 為 1. （ 3） ???? )()(0 2322232221 cccccL z ????????? 角動量 z 分量 2 出現(xiàn)的幾率 為 0。 ??????? s i ns i n)c oss i nc oss i n?3 ?? iiL z ????? （）（ 角動量在 z 軸 上無 確定值 . 氫原子中處于 xp2 的電子，測量其角動量 z 分量，得什么結(jié)果 ？ 解：2 1212112 ??? ??xp 狀態(tài) 211 211??和 出現(xiàn)的幾率均為 21122 ?（ ）， 所以 測量其角動量 z 分量，得 不到確定值，得到 ? 和 ? 的幾率各位 50%. 氫原子中處于 xyd3 的電子，測量其角動量 z 分量，得什么結(jié)果 ？ 解： 322 3223 2xyd i??? ?? 無確定值， 得到 2? 和 2? 的幾率各位 50%. 氫原子中處于 31023111 ??? cc ?? ( 310321 , , ??? 都是歸一化的 )電子，其 zL 和 23 L2 有無確定值？若有，求其確定值 ； 若沒有，求其平均值。 解： ???? c oss i n)1(24 1 )2/(2/502 0arp reax ?? 0 )s i nc o sc o sc o sc o s( s i n )s i ns i nc o sc o sc o s( s i n c o ss i n)c o s( s i nc o ss i n?1????????????????????????????????????ic t gic t giL x）（ 所以， 角動量在 x 軸 上 有確定值 ， 0?xL 。 解： 2 2 ,1 2 ,1( ) ( ) c oszzppR r Y k R r???? ??cos?xL ???????? s i ns i nc os )c os(s i n ?? ic t gi ??????? ??cos?yL ???????? s i nc osc os)s i nc os( ?? ictgi ??????? 角動量在 x 軸和 y 軸上的投影 均沒有 確定 值。 解： 21 L r p?? zyx pppzyxkji ???? kLjLiL zyx ??? ??? xL = yz zpyp ? ， yL = zx xpzp ? ， zL = xy ypxp ? 在量子力學(xué)中，把動量算符化 xL? = yz pzpy ?? ? ， yL? = zx pxpz ?? ? ， zL? = zy pypx ?? ? xL? = )( yzzyi ?????? ? ， yL? = )( zxxzi ?????? ? ， zL? = )( xyyxi ?????? ? 。 解：225332 335 ( c o s ) 3 ( c o s ) 5 c o s 3 c o sz z rf r r rY r?? ??? ?? ? ? 2cos (5 cos 3)???? （ 1）節(jié)面： 令2253 0z zrfY ? ?， 2c os (5 c os 3) 0??? ＝ 由 cos 0?＝ ，得 1 90?? ， 由 25cos 3 0? ? ＝ ，得 3c o s 0 .7 7 55? ? ? ? ?， 2 ? ? ， 2 ? ? （ 2）極大 值： 2253 221 5 c o s s in 3 s in 3 s in ( 1 5 c o s ) 0z z rfdY d ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? 4 0?? ， 2 ? ? ， 3 ? ? （ 3）作圖： 按2253 2c o s ( 5 c o s 3 )z z rfY ??? ??算出不同 ? 值時的2253z zrfY ?值，如下表所示 ?（度） 0 15 30 45 60 75 90 18 180 165 150 135 120 105 270 2253z zrfY ? ?2 ? ? 0 0 2253z zrfY ?? ?1 ? ? 0 0 在 xz 平面上作圖，所得之圖形如下圖所示 ++ +xz－－－ 畫出原子軌道 xnp 的角度分布圖在 xy 平面上的截面圖 。 解：（ 1） ? ? 224 nsns rrD ??? ? ?2/203022/02/3022222002181 2124144rearaeararrrDararss????????????????????????????????）（）（????? 02 ?drdDs ，即 0}2{ 0/202 ?? ? arearrdrd ）（ 046 2022 ??? arar 00 53 aar ?? 01 ar ? , ? (2) 00 /203022/02/3022 2132 12124 1 arars ea raea ra ?? ?????????????????? ?????????? ）（）（ ??? ,022 ?sdrd? 即 0}2{ 0/20 ?? ? areardrd ）（ 0)1(2)1)(2(2 00 /020/00 ?????? ?? arar eaareaar ）（ 0)1(2)1)(2(2 02022 ?????? aaraar ）（ 17 0)]1(2)2)[(2( 0000 ?????? aaraar ）（ 0)4)(2( 2000???? araar 01 4ar? ， 02 2ar?