【正文】 應(yīng)變 ： {?}=[?x ?y ?xy]T= z{?}。 板彎曲的有限元 薄板小 撓度 彎曲問(wèn)題 (1) 基本假定 1）直法線假定： ?z=0， ?zx=0， ?yz=0； 2）不計(jì) ?z引起的變形（物理方程與平面應(yīng) 力 問(wèn)題相同）； 3）小撓度假定：變形后中面無(wú)面內(nèi)位移。 假設(shè)剪切應(yīng)變 —— 對(duì)剪應(yīng)變 ?另行假定插值形式； 替代插值函數(shù) —— 計(jì)算剪應(yīng)變時(shí)，對(duì) ?采用低一階的插值函數(shù)，如兩結(jié)點(diǎn)梁?jiǎn)卧洳逯岛瘮?shù)為常數(shù) 1/2，即 2211 ??? NN ?? 。這是由于 v、 ?同階插值 （實(shí)際上放大了剪切應(yīng)變項(xiàng)的量級(jí)） ，故 dv/dx 與 ?不同階，從而導(dǎo)致剪應(yīng)變?=dv/dx????不能處處滿足（ dv/dx 為常數(shù)， ?為一次式），除非 ?=常數(shù)，意味著梁不能發(fā)生彎曲。 (2) Timoshenko 梁?jiǎn)卧? 對(duì) u、 v、 ?均獨(dú)立插值： u=N1ui+N2 u2， v= N1v1+ N2v2， ?=N1?1+ N2?2 式中 ?：截面的轉(zhuǎn)角， dv/dx：桿軸線的斜率。 vs用線性插值： vs = N7vsi+ N8vsj lxNlxN ??? 87 ,1 。假設(shè)自整體坐標(biāo) Ox’軸沿轉(zhuǎn)角正方向（即 順 時(shí)針 方向）轉(zhuǎn)到局部坐標(biāo) Ox 軸的角度為 ?，則 ???????????????????1000c o ss i n0s i nc o s][,0 0][ ????tttT {F’}=[k’]{?’}e 坐標(biāo)變換矩陣 [T]是一個(gè)正交矩陣，即 [T]?1=[T]T，故結(jié)點(diǎn)位移和結(jié)點(diǎn)力由整體向局部坐標(biāo)的變換式為 {?}e=[T]{?’}e， {F}e=[T]{F’}e 考慮剪切變形的梁?jiǎn)卧? 基本假定：垂直于梁軸線的截面在變形后仍保持為平面，但不再垂直于變形后的 38 軸線。單元?jiǎng)偠染仃囀且粋€(gè)對(duì)稱矩陣，即 krs=ksr，這可由反力互等定理證明；單元?jiǎng)偠染仃囘€是一個(gè)奇異矩陣，這是由于單元中包含剛體位移。 x y x’ y’ vi ui vj uj ?i ?j ? 36 將單元位移寫(xiě)成結(jié)點(diǎn)位移的顯式，有 u=N1ui+N4 uj v= N2vi+ N3?i+ N5vj+ N6?j 23263322542323332221,23,2,231,1lxlxNlxlxNlxNlxlxxNlxlxNlxN?????????????? 位移模式的矩陣表示 eNvuf }]{[}{ ????????? ??????? 6532 41 00 0000][ NNNN NNN u、 v 獨(dú)立插值，但 ?不獨(dú)立插值，故要求 C1連續(xù)：不僅 u、 v 本身連續(xù)， v 的一階導(dǎo)數(shù)也要連續(xù)。,)(00:。 33 圖 平面問(wèn)題主體分析程序框圖 讀入控制數(shù)據(jù) 開(kāi)始 讀入幾何 、物性、荷載數(shù)據(jù) 平面應(yīng)力 /應(yīng)變 ? E=E0/(1?02), ?=?0/(1?0) E=E0, ?=?0 計(jì)算單元?jiǎng)偠仍? 疊加到整體剛度矩陣中 計(jì)算等效結(jié)點(diǎn)荷載 引入位移約束條件 解線性代數(shù)方程得結(jié)點(diǎn)位移 計(jì)算單元應(yīng)力、反力等 輸出結(jié)果 結(jié)束 34 平面桿系結(jié)構(gòu)的有限元 等截面直梁?jiǎn)卧ê雎约羟凶冃危? (1) 基本方程 圖 受任意荷載的等截面直梁 幾何關(guān)系： 22dd,dd xvxux ??? ?? 寫(xiě)成矩陣系數(shù)， }]{[}{ fLx ???????? ??? ， {f}=[ u v]T， ??????????????22dd00dd][xxL 內(nèi)力 位移關(guān)系： 22ddddxvEIEIMxuEAEANx??????? }]{[}{ ?? DMN ???????? ??????? EIEAD 0 0][ 平衡關(guān)系： x y p(x) q(x) 35 )(dddddddd)(dd223322xqxMxQxvEIxMQxpxuEA???????? 邊界條件： ? ?? ? 00:。 輸入數(shù)據(jù)及分類 1. 控制數(shù)據(jù)：結(jié)點(diǎn)總數(shù)、單元總數(shù)、約束總數(shù) 、荷載總數(shù)、 問(wèn)題類型數(shù)等 2. 幾何數(shù)據(jù)：結(jié)點(diǎn)坐標(biāo)、單元信息（各單元的結(jié)點(diǎn)編號(hào)）、約束條件、單元類型數(shù)（ 彈性模量 E、 泊松比 ?、厚度 t 不同為一類） 3. 物性數(shù)據(jù)： 彈性模量 E、泊松比 ?、厚度 t 4. 荷載數(shù)據(jù)：荷載類型（集中、分布）、位置、方向、大小等 三結(jié)點(diǎn) 三角形單元分析平面問(wèn)題的主 體 程序 1. 程序框圖 （參見(jiàn)圖 ） 2. 結(jié)構(gòu)化程序設(shè)計(jì)方法 模塊化 —— 由 1 個(gè)主程序和若干子程序組成。 1 2 3 4 6 (1) (2) 5 x y P ??4 ??1 2 3 1 2 P 32 有限元程序設(shè)計(jì)的一般步驟 1. 算法描述和列式推導(dǎo)； 2. 框圖設(shè)計(jì)； 3. 代碼編寫(xiě)； 4. 上機(jī)調(diào)試、考 核； 5. 編寫(xiě)應(yīng)用說(shuō)明； 6. 修改、補(bǔ)充、完善。 例 牛腿受豎向集中力作用，且結(jié)點(diǎn) 2 發(fā)生 已知的 水平位移，求應(yīng)力。 單元上下短邊 ，長(zhǎng)邊 。 (a) 基本單元 (b) 實(shí)際單元 例 圖 （三角形單元） 1. 三結(jié)點(diǎn)三角形單元分析 (1) 離散化：劃分 為 4 個(gè)單元，共 6 個(gè)結(jié)點(diǎn)。 為確保坐標(biāo)變換一一對(duì)應(yīng)，在單元?jiǎng)澐謺r(shí)應(yīng)避免 ： (1) 使任意兩個(gè)結(jié)點(diǎn)退化為一個(gè)結(jié)點(diǎn)而使 ?d??=0 或 ?d??=0； (2) 還應(yīng)避免因單元過(guò) 于歪斜而導(dǎo)致 d?與 d?發(fā)生共線。 等參變換的應(yīng)用條件 等參單元的應(yīng)用條件是母單元與實(shí)際單元之間存在一一對(duì)應(yīng)關(guān)系。 單元應(yīng)力向量： {?}=[S]{?}e=[D][B]{?}e 單元?jiǎng)偠染仃嚕? ? ???? ?? ?11 1 1 dd||]][[][dd]][[][][ ??JtBDByxtBDBk TA Te 單元等效結(jié)點(diǎn)荷載列陣： 29 eqepe RRR }{}{}{ ?? 式中 {Rp}e、 {Rq}e分別為體積力和表面力引起的等效結(jié)點(diǎn)荷載，且 ??? ???? ?? ?eeS TeqTA TepstqNRJtpNyxtpNRd}{][}{dd||}{][dd}{][}{ 11 1 1 ?? 對(duì)其中一個(gè)局部坐標(biāo)（ ?或 ?）為常數(shù)的邊界，線積分 ds 為 )(])()[( 2/122 常數(shù)???????? ????? sddyxds 或 )(])()[( 2/122 常數(shù)???????? ????? sddyxds 上述積分式通常采用 NewtonCotes 或高斯（ Gauss）數(shù)值積分求得。 面積微分的變換： dA=dxdy=?J?d?d?。子單元的位移模式仍為： ???? ?? 4 14 1 , i iii ii vNvuNu 利用等參變換可以構(gòu)造 8 結(jié)點(diǎn)、 12 結(jié)點(diǎn)、 20 結(jié)點(diǎn)等更高 次的四邊形曲邊等參單元 （參見(jiàn)圖 ） 。 例如對(duì) 12 邊， 因此上述變換式正確地反映了局部（自然）與整體（直角）坐標(biāo)之間的映射關(guān)系。 如果單元 邊界的局部坐標(biāo)分別為 ?1，則在局部坐標(biāo)下，單元的形態(tài)就是圖示的4 結(jié)點(diǎn)正方形單元，該單元稱為基本單元或母單元，其形函數(shù)為 )4,3,2,1()1)(1(41 ???? iN iii ???? 。 四結(jié)點(diǎn)四邊形等參元 對(duì)于 4 結(jié)點(diǎn)任意四邊形單元，若采用雙線性的位移模式，則位移在單元斜邊界上呈二次拋物線分布，由兩個(gè)結(jié)點(diǎn)位移不能唯一確定。有限元中最常用的變換方法是等參變換，即坐標(biāo)變換采用與單元位移插值一致的形函數(shù)。 利用該方法可以很方便地構(gòu)造一些過(guò)渡單元的形函數(shù)。原 21 ~,~ NN 不滿足 0)~(,0)~( 5251 ?? NN ，需對(duì)其進(jìn)行修正才能滿足： (N1)5=0， (N2)5=0，且保證 N1， N2在除 5 結(jié)點(diǎn)外的其他 4 個(gè)結(jié)點(diǎn)取值不變。 圖 Lagrange 矩形單元及插值模式 圖 Pascal 三角形 包含項(xiàng)數(shù) . Serendipity 矩形單元 (1) 結(jié)點(diǎn)布置特點(diǎn) 這類單元 只在 其 邊界上布置結(jié)點(diǎn)， 但 不同邊界上可 布置 有不同數(shù)目的結(jié)點(diǎn)。 這類 單元 包含較多的內(nèi)部結(jié)點(diǎn)，增加了單元的自由度，而 實(shí)踐證明 這些自由度的增加通常并不能有效提高單元 的 精度。 (2) Lagrange 矩形單元的形函數(shù) 在矩形的各個(gè)網(wǎng)格交點(diǎn)上均 布置 結(jié)點(diǎn)， x x1 x2 x3 xn xi 1 24 如水平方向 r+1 個(gè)，豎向 p+1 個(gè)。 若令 x1=0， x2= l，則 lxxll xlxl ??? )(,)( )1(2)1(1 。前者 在 單元縱橫 網(wǎng)格 線的 交 23 點(diǎn) 上 均布置結(jié)點(diǎn) ， 而后者僅在單元的邊界線上 布置結(jié)點(diǎn) ，如圖 所示。 位移模式為： ??????4141 , i iii ii vNvuNu Ni（ i=1, 2, 3, 4）可根據(jù)形函數(shù)的性質(zhì)直接構(gòu)造出來(lái)： )1)(1(41),1)(1(41)1)(1(41),1)(1(414321????????????????????NNNN 或 )4,3,2,1()1)(1(41 ???? iN iii ???? (3) 單元應(yīng)變矩陣和應(yīng)力矩陣 單元應(yīng)變?yōu)椋? {?}=[B]{?}e 其中 [B]=[B1 B2 B3 B4]，)4,3,2,1(00100][ ??????????????????????????????????????????????????????? iNbNaNaNbabxNyNyNxNBiiiiiiiii????。 若寫(xiě)成形函數(shù)形式，則為 ???? ?? 4 14 1 , i iii ii vNvuNu 四結(jié)點(diǎn) 矩形單元 這里 的 Ni（ i=1, 2, 3, 4） 可以先求出 8 個(gè)待定系數(shù)在獲得， 也 可以 根據(jù)形函數(shù)的性質(zhì)直接構(gòu)造，例如對(duì) N1，可設(shè) ))(( 321 yyxxN ??? ? 該表達(dá)式滿足在結(jié)點(diǎn) 4 取值均為零的性質(zhì) ； 再令 Ni(1)=1， 可得待定系數(shù) ab41?? 這里設(shè)矩形 單元的邊長(zhǎng)各為 2a、 2b。如果采用三角形單元內(nèi)的一種局部坐標(biāo) —— 面積坐標(biāo)作為自然坐標(biāo)，則可以使列式推導(dǎo)大為簡(jiǎn)化。 (2) 十結(jié)點(diǎn)三角形單元（三次單元 T10） 位移模式取坐標(biāo)的 完整三次式： u=?1+?2 x+?3 y+?4 x2+?5 xy+?6 y2+?7x3+?8x2y+?9xy2+?10y3 v=?1+? 2 x+? 3 y+? 4 x2+?5 xy+?6 y2+?7x3+?8x2y+?9xy2+?10y3 該位移模式包含了坐標(biāo)的完整一次式 （常數(shù)項(xiàng)和純一次項(xiàng)） ，滿足完備性要求；在單元的邊界上位移呈三次曲線分布，可由 4 個(gè)結(jié)點(diǎn)位移唯一確定，故又滿足協(xié)調(diào)性的要求，是一種協(xié)調(diào)單元。由位移元得到的近似解答總體上是精確解 的一個(gè)下限。對(duì)于平面問(wèn)題，位移模式中的 x 和 y 的各階項(xiàng)應(yīng)保持對(duì)稱，即有了 xmyn項(xiàng)，則應(yīng)同時(shí)具有y x (1) i j m p (2) 19 xnym項(xiàng)。 證明如下： 單元內(nèi)：?jiǎn)沃颠B續(xù)； 相鄰單元之間： uij(1)= uij(2)？ vij(1)= vij(2)？ ij 邊的方程： y=ax+b，則 uij=?1+ ?2x+?3(ax+b)= cx+d uij(1)、 uij(2)均為坐標(biāo)的線性函數(shù)， 故可由 i、 j 兩點(diǎn)的結(jié)點(diǎn)位移唯一確定。對(duì)有些問(wèn)題，可以放松對(duì)協(xié)調(diào)性的要求，只要通過(guò)分片試驗(yàn)，那么也能保證解答的收斂性。 如果位移模式同時(shí)滿足上述 完備